又因∫(x)x收敛,故对上述,G>a,当x,x2>G时,有 现对任何x>G,取x,x2>G,且使x<x<x2x2-x1=此时由 (/(o+roo ∫)-10)+o E 便得(x)<E,x>G这就证得lmf(x)=0 说明我们由例2与例3(结合前面讨论过的问题1)知道,在(x)dx为收敛的前提下,再添加上 些合适的条件,便能保证有lmf(x)=0 例4说出以下命题成立的理由 “若7(x)x=4则m/(xk=A,(m为正整数.”并举例说明此命题一般不可逆 解设F(u)=f(x)dx,由条件 lim F(u)=A 根据函数极限的归结原则,对一切满足mun=+∞的数列{un},恒有 F(u,)=lm/(r)dx=A 特别取un=n时,亦有lnf(x)dx=A 反之不真,例如 1,x∈n-1,n- f(r) 显然,(m)=(x)x=0,从而lm!/(x)dx=0:然而却因 I2 ( ) ( )  f x  − f x   。 又因  + a f (x)dx 收敛，故对上述 ,G  a ，当 x1 , x2  G 时，有 . 2 ( ) 2 2 1    x x f x dx 现对任何 x  G ，取 x1 , x2  G ，且使 , . x1  x  x2 x2 − x1 =  此时由    = − + 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x  f x dt f t dt f t dt    − + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) x x x x f x f t dt f t dt , 2 2 2       +  便得 f (x) , x  G. 这就证得 lim ( ) = 0. →+ f x x 说明 我们由例 2 与例 3（结合前面讨论过的问题 1）知道，在  + a f (x)dx 为收敛的前提下，再添加上 一些合适的条件，便能保证有 lim ( ) = 0. →+ f x x 例 4 说出以下命题成立的理由： “若  + = a f (x)dx A, 则  = → n n a lim f (x)dx A, （n 为正整数）。”并举例说明此命题一般不可逆。 解 设  = u a F(u) f (x)dx ，由条件 lim F(u) A. u = →+ 根据函数极限的归结原则，对一切满足 = + → n n lim u 的数列 un  ，恒有  = = → → un n a n n lim F(u ) lim f (x)dx A, 特别取 un = n 时，亦有  = → u n a lim f (x)dx A. 反之不真，例如 1,2, . , , 2 1 1, , 2 1 1, 1, ( ) =                −       −  − − = n x n n x n n f x 显然，  = = n I n f x dx 0 ( ) ( ) 0 ，从而 lim ( ) 0 0 = →  f x dx n n ；然而却因  +  = + − = −      + 2 1 , 2 1 ( ) ( 1) 2 1 n n I n I n dx