使得Imln+ ≠lmn/(m),从而lm[f(x)dx不存在 如果在[a+∞)上f(x)不变号,则F()在[a+∞)上是单调的(当f(x)≥0时F(u)递增,当f(x)≤0时 F(l)递减)。对于单调函数而言,只要有一个数列un→+∞(n→∞),使得F(un)→A(n→∞),便能保证 imF(u)=A。所以,在f(x)不变号的前提下,本例所讨论的命题可逆 例5试求下列反常积分的值: In x (3)2In(sin x)dx 解(1)应用不定积分递推公式 (1+x2)”2(n-1)(1 得到 dx DX 2) l)(1+ 2(n-1) ,n=2,3, 2(n-1)J(1+x2) 由于l1= arctan ?’因此求得 2,3, (2)利用例4,并通过分段积分来计算: re"lsin xdr=lifr e sin xdx e sin xdx 2k+2)z 2le"(sin x+ cos Aug +e"(sin x+ cos xh 1s[2+2e (3)此为瑕积分,瑕点为0。令x=21,化为 I=2Insin xdx= lim 2Insin xdx 2 lim L Insin 2tdt 2 lim (1n2+Insint+Incost)dt使得 lim ( ) 2 1 2 1 lim I n I n n→ n→  = −       + ，从而 →+  u u f x dx 0 lim ( ) 不存在。 如果在 a,+) 上 f (x) 不变号，则 F(u) 在 a,+) 上是单调的（当 f (x)  0 时 F(u) 递增，当 f (x)  0 时 F(u) 递减）。对于单调函数而言，只要有一个数列 u → +(n → ) n ，使得 F(u ) → A(n → ) n ，便能保证 F u A u = →+ lim ( ) 。所以，在 f (x) 不变号的前提下，本例所讨论的命题可逆。 例 5 试求下列反常积分的值： （1） ; (1 ) 0 2 + + n x dx （2）  + − 0 e sin x dx; x （3）  2 0 1 (sin ) . x n x dx 解 （1）应用不定积分递推公式： , 2( 1) 2 3 (1 ) 2( 1)(1 ) 2 2 −1 −1 − − + − + = + = n  n n n J n n n x x x d x J 得到 1 0 2 1 0 2 2( 1) 2 3 (1 ) 2( 1)(1 ) − + − + − − + − + = + = n  n n n I n n n x x x d x I  + − = − + − = 0 2 1 , 2,3, . 2( 1) (1 ) 2 3 n  x dx n n n 由于 2 arctan 0 1  = = + I x ，因此求得 , 2,3, . (2 2)!!2 (2 3)!! 2 1 2 4 2 5 2 2 2 3  1 =  − −   = − −  − − = n n n I n n n n I n  （2）利用例 4，并通过分段积分来计算： I e x dx e x dx n x n x sin lim sin (2 2) 0 0 + − + → − = =     = + + − + − →       = − n k k k x k k x n e xdx e xdx 0 (2 2) (2 1) (2 1) 2 lim sin sin       + = + + − + − = + + + 0 (2 2) (2 1) 2 (2 1) (sin cos ) (sin cos ) 2 1 k k k k x k x e x x e x x       . 2( 1) 1 2 2 1 0 2 (2 1) (2 2) − + =  + + = + = − − + − +      e e e e e k k k k （3）此为瑕积分，瑕点为 0。令 x = 2t ，化为  → +  = = 2 0 2 0 1 sin lim 1 sin x u u I n xdx n xdx  → +  = 4 2 0 2 lim 1 sin 2  u u n tdt  = + + → + 4 2 0 2 lim (1 2 1 sin 1 cos )  u u n n t n t dt