lim In f(x)=lir In(1+x) Im lim 由对数函数的连续性,imf(x)=e=f(0),即f(x)在x=0处右连续 所以∫(x)在x=0处连续。 6.设函数f(x)满足f(0)=0,且f(0)存在,证明limx()=1。 WE lim In x/()=lim[(x)Inx]=lim /(x)-f(O). (xInx)=f(0).0=0 所以 lim 7.设函数f(x)在(a,+∞)上可导,且im[f(x)+f(x)=k,证明 limf(x)=k。 证 x+√(x)=mef(x)mef(x)+ef"(x)=imn[(x)+f(x)=k。2 0 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 1 1 lim ln ( ) lim lim lim 2 2(1 ) x x x x x x x f x → + → + xxx → + → + − + − + = = = − = − + 2 ， 由对数函数的连续性， 1 2 0 lim ( ) (0) x f x e f − → + = = ，即 f x( )在 x = 0处右连续。 所以 f (x)在 x = 0处连续。 6．设函数 f (x)满足 f (0) = 0，且 f ′(0)存在, 证明x lim →0+ x f ( x) = 1。 证 ( ) 0 0 0 ( ) (0) lim ln lim[ ( )ln ] lim ( ln ) '(0) 0 0 0 f x x x x f x f x f x x x x f → + → + → + x ⎡ ⎤ − = = ⋅ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⋅ = ， 所以 ( ) 0 0 lim 1 f x x x e → + = = 。 7．设函数 f (x)在(a,+∞)上可导，且 f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] ，证明 f x k x = →+∞ lim ( ) 。 证 = →+∞ lim f (x) x ( ) ( ) '( ) lim lim x x x x x x x e f x e f x e f x →+∞ e e →+∞ + = = f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] 。 115