(3)lm(x+mx不是型或二型的待定型,所以不能用 L'Hospital I+ In(1+sin2 x) 法则求极限。事实上,lmn(x2+1)sinx,Im(x+)sinx2smnl xh(+sin号x)Imm(1+mx)h2° (4)lim sin ax+ 不是型或型的待定型,所以不能用LHos 法则求极限。事实上,1imxe im(sin受x+e) 1+e 1+e x lim g(x) 0, 0 0 其中g(0)=0,g1(0) 求f(0 解f(0)=imx)-0)=lims3=lm(x)=im3-8(o)g0=。。 2 5.讨论函数 1 >0, ≤0 在x=0处的连续性。 解显然函数f(x)在x=0处左连续。下面考虑f(x)在x=0处的右连续 性。当x>0时 Inf(x)=n(1+x)*_1[In(1+x)-Ine=In(1+x)-x 于是（3）lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π 不是 0 0 型或 ∗ ∞ 型的待定型，所以不能用 L'Hospital 法则求极限。事实上， 2 2 1 1 2 2 1 lim( 1)sin ( 1)sin 2sin1 lim ln(1 sin ) limln(1 sin ) ln 2 x x x x x x x x x π π → → → + + = = + + 。 （4）lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 不是 0 0 型或 ∗ ∞ 型的待定型，所以不能用 L'Hospital 法则求极限。事实上， 2 2 2 2 2 1 2 1 1 lim(sin e ) sin e 1 e lim 1 e lim 1 x x x x x x x x x π π → → → + + + = = = + 。 ⒋ 设 f x g x x x x ( ) ( ) , , , = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 其中 g( ) 0 = 0 ， g′( ) 0 = 0， g′′( ) 0 = 10。求 f ′(0)。 解 2 0 0 0 0 ( ) (0) ( ) '( ) '( ) '(0) 1 '(0) lim lim lim lim ''(0) 5 x x 0 x 2 x 2( 0) 2 f x f g x g x g x g f g → → x x → x → x − − = = = = = − − = 。 ⒌ 讨论函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − e , 0, , 0, e (1 ) ( ) 2 1 1 1 x x x f x x x 在 x = 0处的连续性。 解 显然函数 f x( ) 在 x = 0处左连续。下面考虑 f x( ) 在 x = 0处的右连续 性。当 x > 0时， 1 2 1 (1 ) 1 ln(1 ) ln(1 ) ln ( ) ln ln x x x x f x e xex x x + + ⎡ ⎤ + = = − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − x ， 于是 114