lim(-sInkytanx an x (tan x) x0+lnxx→0+(ln h)1m- OS x 所以 lim|In (20)lim In(x-x) =lim-x=-1 x11-xx1(-1) 所以 m x 3.说明不能用 L'Hospital法则求下列极限 sin x (1)lim x-sIn (2 →+∞X-Sinx (x2+lsin x (4)lim sin 2x+e2x R-l In(1 +sin 2 x) 解(1)因为当x→0时,如 极限不存在,所以 d x lm不能用 L'Hospital法则求极限 SInx L 事实上,lim im(x)lim(xsin1)=10=0,极限存在 x→+0Snx (2)因为当x→+时,(x+sinx)1+0极限不存在,所wx-smx x+sin x COS x 不能用 L'Hospital法则求极限 sInx 1+ 事实上,im x+sin x =limx-=1,极限存在 →+x- sin x x→+;Slnx2 0 0 0 0 sin tan tan (tan )' lim( )( ) 0, (lim lim lim 0) ln ln (ln )' cos x x x x x x x x x → + x x → + x → + x → + x = − = = = = 所以 sin 0 0 1 lim ln 1 x x e → + x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ 。 （20） 1 1 1 1 ln limln( ) lim 1 x x x x x x − → → = − 1 1 lim 1 ( 1) x x → = = − − ， 所以 1 1 1 lim x x x − → = −1 e 。 ⒊ 说明不能用 L'Hospital 法则求下列极限： ⑴ lim sin x sin x x →0 x 2 1 ; ⑵ lim sin x sin x x →+∞ x x + − ; ⑶ lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π ; ⑷ lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 . 解（1）因为当 x → 0时， 2 1 1 1 sin 2 sin cos cos sin d x x dx x x d x x dx ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = x 极限不存在，所以 lim sin x sin x x →0 x 2 1 不能用 L'Hospital 法则求极限。 事实上， 2 1 1 0 0 0 sin lim lim( ) lim( sin ) 1 0 0 sin sin x x x x x x x x → → x x → = ⋅ = ⋅ = ，极限存在。 （2）因为当 x → +∞时，( ) sin ' 1 cos ( sin )' 1 cos x x x x x + + = − − x 极限不存在，所以 lim sin x sin x x →+∞ x x + − 不能用 L'Hospital 法则求极限。 事实上， sin 1 sin lim lim 1 sin sin 1 x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ + + = − − = ，极限存在。 113