第二学期第十二次课 定义设A是数域K上一个n阶方阵,g(x)是K上一个m次多项式.如果g(A)=0,则g(x) 称为方阵A的一个化零多项式 Hamilton- Cayley定理设A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项式,则f(A)=0. 证明A在C内相似于 Jordan形矩阵J,即有C上可逆阵T使TAT=J.显然对任意正 整数k,有J=TAkT.由此知f(A)=0当且仅当f(J)=0.设 0 1 则f(A)=∏1(-A).f的每个根1的重数≥ Jordan块J的阶数n,现在 f(J1) f(J2) 对每个i,有f(J;)=0,于是f(J)=0. 设A是数域K上一个n阶方阵,A的首项系数为1的最低次化零多项式称为A的最小多项 式 命题设A是数域K上的n阶方阵,φ(x)是A的一个最小多项式若把A看作C上的n 阶方阵,它在C内的最小多项式为v(x),则q(x)与(x)次数相同 证明q(x)是A在C内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于v(x),反之,设 v(x)=ao+a1x+…+anx 则应有 V(A=aE+a,A+.+aA=0 设A=(a),则上式可写成 a m=0 上式是m+1个未知量ao,a1,…m的齐次线性方程组,其系数属于K.已知它在C内有非零解 (x)不全为零的系数).于是它在K内也有非零解b,b,…bn,设第二学期第十二次课 定义 设 A 是数域 K 上一个 n 阶方阵,g(x)是 K 上一个 m 次多项式.如果 g(A)=0,则 g(x) 称为方阵 A 的一个化零多项式. Hamilton–Cayley 定理 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵,f 是 A 的特征多项式,则 f(A)=0. 证明 A 在 C 内相似于 Jordan 形矩阵 J,即有 C 上可逆阵 T 使 T AT J 1 = − .显然对任意正 整数 k,有 J T A T k -1 k = .由此知 f(A)=0 当且仅当 f(J)=0.设             = s 2 1 J 0 0 J J J  , i i i n n i i i 0 1 1 0 J              =      则 = = − s i 1 n i i f() (  ) .f 的每个根 i 的重数  Jordan 块 J i 的阶数 i n .现在             = f(J ) 0 0 f(J ) f(J ) f(J) s 2 1  对每个 i,有 f(J i )=0,于是 f(J)=0. 设 A 是数域 K 上一个 n 阶方阵,A 的首项系数为 1 的最低次化零多项式称为 A 的最小多项 式. 命题 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵,  (x)是 A 的一个最小多项式.若把 A 看作 C 上的 n 阶方阵,它在 C 内的最小多项式为  (x),则  (x)与  (x)次数相同. 证明  (x)是 A 在 C 内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于  (x),反之,设 m m = a + a x ++ a x 0 1 (x) ,( ai  C, am =1 ) 则应有 m (A) = a0E + a1A ++ am A =0 设 A ( ) k (k) = aij ,则上式可写成 0 (1) ( ) 1 (0) 0 + + + = m a aij a aij  amaij 上式是 m+1 个未知量 a a am , , 0 1 的齐次线性方程组,其系数属于 K.已知它在 C 内有非零解 ( 即  (x) 不全为零的系数 ). 于是它在 K 内也有非零解 b b bm , , 0 1 . 设