现在,由XcX”,并且当(AI-A)x=0时,对于任意的x∈X, 0=(x,(/-A)x)=(r-A)x,x) =(-A)x,x")=(x,(A-A)x") 即(-A)x=0,故N(I-A)cN(Ar-A) 记n=dimN(A-A”),于是n≤n”但类似于上面的证明知 n”≤n.,由此n≤n.总之n=n 例1考虑空间2上的线性算子A:12→P Ax x ,vx=(x,x2…)∈P2 首先, lAx=(∑F)2≤∑|xP)2=x T是有界线性算子.设 4:}→},Ax=(x,王…x2 则‖A‖≤1,A是有限秩算子从而是紧的.由 A-A|=sup‖(A-Ax|=sup∑| ien+l ≤SuD ∑|xP)≤1→0 s1n+1 A也是紧算子 若en=(0,…0,10,…),则Aen=-en由定义,一是A的特征值, en是相应的特征向量.x∈P,Ax=0仅当x=0,于是A是一一映 射,0不是特征值.注意到A不是到上的,例如y=(1,…)∈P.若 Ax0=y,则应有x=(1,1…),x0∈12,因此0是谱点.我们证明11 现在，由 ** X ⊂ X ，并且当 ( )0 λI Ax − = 时，对于任意的 * * x ∈ X , * * ** 0 ( ,( ) ) (( ) , ) = −= − x λ λ I Ax I A x x * * * ** * ** ** ** =− = − (( ) , ) ( ,( ) ), λ λ I Axx x I A x 即 ** ** ** ( )0 λI Ax − = ，故 ** ** NIA NI A ( ) ( ). λ λ −⊂ − 记 ** ** ** n NI A = − dim ( ) λ ，于是 ** n n ≤ ..但类似于上面的证明知 ** * n n ≤ . ，由此 * n n ≤ . 总之 * n n = . 例1 考虑空间 2 l 上的线性算子 2 2 A:l l → ， 2 3 1 ( , , , ), 2 3 x x Ax x = ⋅⋅⋅ 2 1 2 ∀x = ⋅⋅⋅ ∈ (, , ) xx l 首先， 1 1 2 2 2 2 1 1 || || ( | | ) ( | | ) || ||, n n n n x Ax xx n ∞ ∞ = = = ≤= ∑ ∑ T 是有界线性算子. 设 2 2 2 1 : , ( , , , ,0, ) 2 n n n x x A l l Ax x n → = ⋅⋅⋅ " ， 则 || || 1, A A n n ≤ 是有限秩算子从而是紧的. 由 1 2 2 || || 1 || || 1 1 || || sup || ( ) || sup( | | ) i n n x x i n x A A A Ax i ∞ ≤ ≤ = + −= − = ∑ 1 2 2 || || 1 1 1 sup ( | | ) 1 i x i n x n ∞ ≤ = + ≤ + ∑ 1 0. n 1 ≤ → + A 也是紧算子. 若 (0, ,0,10, ) n n e = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅   ，则 1 . A n n e e n = 由定义， 1 n 是 A 的特征值， n e 是相应的特征向量. 2 ∀x∈l ， Ax = 0仅当 x = 0 ，于是 A 是一一映 射，0 不是特征值. 注意到 A 不是到上的，例如 2 0 1 1 (1, , , ) . 2 3 y l = ⋅⋅⋅ ∈ 若 Ax y 0 0 = ，则应有 2 0 0 x = ⋅⋅⋅ ∉ (1,1, ), x l ，因此 0 是谱点. 我们证明：