(7分 进一步,由(i)的结论,对于(x,y)∈E, f(x,y)-f(x0,30) <If(r, y)-f(, yo)l+f(a, yo)-f(o, yo)I f(x,9+6)-f(x,0)⊥f(x,0)=f(x,30=6) /f(x0+6 ∫(xo,3o),|∫(xo,3o)-f(xo 6 ≤M|y-ol+Mx-o 于是f(x,y)在(xo,o)连续.证毕 10分) 四、(10分)设f(x)在[0.,1上 Riemann可积,在x=1可导,f(1)=0., f(1)=a.证明 lim n2/anf(r)dr=a 证明:记M=supf(x)<+∞.令r(x)=f(x)-f(1)-f(1)(x-1)= r∈0,1 f(x)-a(x-1).则由 Peano型的 Taylor展式可得ε>0,彐6∈(0,1),使得 当6<x<1时, (2分) 我们有 a'"f(ar)dr r" f()d:+/ar"(a-1)d. +a"r(r)dr Ri+ R2+R (4分) 注意到 R2=(m+1(m+2)+( 第4页(共8页). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 ©) ?Ú, d (i) (Ø, éu (x, y) ∈ Eδ, |f(x, y) − f(x0, y0)| ≤ |f(x, y) − f(x, y0)| + |f(x, y0) − f(x0, y0)| ≤ ³|f(x, y0 + δ) − f(x, y0)| δ + |f(x, y0) − f(x, y0 − δ)| δ ´ |y − y0| + ³|f(x0 + δ, y0) − f(x0, y0)| δ + |f(x0, y0) − f(x0 − δ, y0)| δ ´ |x − x0| ≤ Mδ|y − y0| + Mδ|x − x0|. u´ f(x, y) 3 (x0, y0) ëY. y.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 ©) ✷ o!(10 ©)  f(x) 3 [0, 1] þ Riemann ŒÈ, 3 x = 1 Œ, f(1) = 0, f 0 (1) = a. y²: lim n→+∞ n 2 Z 1 0 x n f(x) dx = −a. y²: P M = sup x∈[0,1] |f(x)| < +∞. - r(x) = f(x) − f(1) − f 0 (1)(x − 1) = f(x) − a(x − 1). Kd Peano . Taylor ЪŒ ∀ ε > 0, ∃ δ ∈ (0, 1), ¦  δ < x ≤ 1 ž, |r(x)| ≤ ε(1 − x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) ·‚k Z 1 0 x n f(x) dx = Z δ 0 x n f(x) dx + Z 1 δ axn (x − 1) dx + Z 1 δ x n r(x) dx = R1 + R2 + R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ©) 5¿ |R1| ≤ M Z δ 0 x n dx = M δ n+1 n + 1 , R2 = − a (n + 1)(n + 2) + a ³ δ n+1 n + 1 − δ n+2 n + 2 ´ 14 (
8)