例题:声子态密度 当色散关系为a=时,求一、二、三维空 ·对于三维情况,在q空间,等频率面为球面 间的声子态密度? 半径为 回忆:电子气能量态密预计:声子态密度? 度? V。O=2vq在球面上是常数,面积4丌q2 P(E)= E=2m P(E)= O=vqp(o)→C y 47 q p(E)→E-2 P(o) 种:∥45.24324kche國体学 政中4524l3-iche 体理学 ·二维时,等频率线实际上是一个圆环,半径为 一维时,等频率点为两个关于原点对称点,距高是 ·线长为2m 于是 ·所以 L 2 2,o(2z7 p(o)=(2n), ol 2x)2v, g 2xN'vp p(o)→C p(o)=o-12 们45.24132che回体学 邮m452413 binche体物理学 4、晶格振动总结:运动方程和解 振动特性:色散关系 ·简谐近似F=-B8U=U。+ 声学支:q0,a a'(g)=m+M)-ni'+M2+2mM cos(2gary 2 平衡位置,力常数 适动方程(一维双原子链) B(x-+x2-2x2) 光学支,q>0,a→常数 试解 0-19)=_B Am +M+n'+M+2mM cos(2qay2k 种的45.24132he园你物学 种424】3 <a2(q) 2B 66 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 31 例题：声子态密度 当色散关系为ω=vpq2 时，求一、二、三维空 间的声子态密度？ 回忆：电子气能量态密 度？ 2 2 2 k m E h = 1/ 2 (E) E 三维 ρ ⇒ E C 二维 ρ( ) ⇒ 1/ 2 ( ) ⇒ − E E 一维 ρ 预计：声子态密度？ 1/ 2 ρ(ω) ω 三维 ⇒ C 二维 ρ(ω) ⇒ 1/ 2 ( ) ⇒ − ρ ω ω 一维 2 v q ω = p http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 32 2 v q ω = p • 对于三维情况，在q空间，等频率面为球面， 半径为 p v q ω = 在球面上是常数，面积4πq2 v q q p ∇ ω = 2 • 由 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 2 2 3 3 2 2 4 2 2 / / ω π π π ω π ρ ω q p p v V v q V dS V q = = ∇ = ∫ 1/ 2 ρ(ω) ω 三维 • 即 ⇒ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 33 • 二维时，等频率线实际上是一个圆环，半径为 p v q ω = • 线长为 2πq • 所以 ( ) ( ) q ( ) p p v S v q S dl S q π π π ω π ρ ω 2 4 2 2 2 2 2 = = ∇ = ∫ • 即 C 二维 ρ(ω) ⇒ http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 34 • 一维时，等频率点为两个关于原点对称点，距离是 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 − / = = ∇ = ω π ω π π ρ ω q p p v L v q L L 1/ 2 ( ) ⇒ − ρ ω ω 一维 • 即 p v q ω = • 于是 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 35 4、晶格振动总结：运动方程和解 • 简谐近似 • 平衡位置，力常数 2 2 2 0 2 1 βδ δ δ r a r a dr d U dr dU F U U = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = + r a r a dr d U dr dU = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 0 β • 运动方程（一维双原子链） ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = + − + − + + + n n n n n n n n x x x dt d x M x x x dt d x m 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 β β • 尝试解 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − + − + iq na i t n iq n a i t n x Be x Ae ω ω 2 2 2 1 2 1 ( ) http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 36 振动特性：色散关系 • 声学支：qÆ0，ωÆ0 ( ) {( ) () [ ]} 2 2 2 1 2 2 2 / m M m M mM cos qa mM q = + − + + β ω ( ) m M M < q < = < 2 0 2 2 ω 最大 β ω ( ) m M a v q v m M a q q p p q + = = + = → 2 2 2 0 2 2 2 β ω β ω • 光学支， qÆ0 ，ωÆ常数 ( ) {( ) () [ ]} 2 2 2 1 2 2 2 / m M m M mM cos qa mM q = + + + + β ω ( ) 2 2 2 2 2 最小 ω 最大 μ β ω β ω = < q < = m