(1)、一级密封价格拍奥（招标】 (1)、一级密封价格拍卖（招标） 标人的型)，两找标人如境，立线取白发在区网 e- 8)={0-)2,=s 10. <5 价的号 (1)、一级寄封价格拍卖（招标） (1)、一级密价格拍卖（招标） >=-g -+ (2)、双方叫价拍卖 s[0.1]区 暴便花均一售素产地：-g(5)+但-与X-g一g6)=0 wm成：-g可f8+8-fam-ngf- 66 若先考虑只有两个投标人，i = 1,2。令 是投标人i的出 价， 为拍卖物品对投标人i的价值。假定 只有i自己知道（因而 是投标人i的类型），但两投标人都知道 独立地取自定义在区间 [0，1]上的均匀分布函数。投标人i的支付如下∶ si  0  i  i  i （这里假定如果两投标人出价相同，拍卖品在两人之间随机地分配， 但这个假设不重要，因为在连续分布的情况下，相同出价的概率为 0）假定投标人i 的出价 是其价值 的严格递增可微函数。显 然， 不可能是最优的，因为没有人愿意付出比物品的价值 本身更高的价格。 i i s  1              i j i i i j i i i j i i j i s s s s s s s s u s s 0, ( , ) ( ) / 2,  ； ( ) i i s   i （1）、一级密封价格拍卖（招标） ( ) * s s  g(s) 因为博弈是对称的，就只需考虑对称的均衡出价战略∶ 即投标人的出价（战略）是自己价值（类型）的函数。两个投标 人采用同样的函数f（即可以是任意的函数形式，如线性函数等）， 并假设这一函数是递增可微的，并设其反函数为g(即当投标人选 择s时他的价值是 ）， 则投标人i 的期望得益为∶ ( ) { ( )} ( ) ( ) ( ) { ) ( ) { ( )} i i j i i i i i i i i j i i i i s P g s s g s u s P s s s P s f                  ( ) i i   s { } i j P s  s 期望得益函数的第一项 第二项 的概率为0，所以两投标人出价相同时谁赢并不影响结果。 是给定赢的情况下投标人i 的净所得， 是赢的概率，j为另一个投标人。由于出价相同 （1）、一级密封价格拍卖（招标） max ( ) { } ( ) ( ) i i i i j i i i s u s P s s s g s i         ( )  (  ) '( )  0 i i i i g s  s g s 因此，投标人i 面临的问题是∶ 最优化投标人i的一阶条件是∶ 由此可解出投标人i对对手j采用f的最优反应函数，由于对称 贝叶斯均衡中每个投标人的战略是相同的，因此i s 满足一阶条件，则有∶ 取函数f应该处处  [ ( )] [  ( )] '[ ( )]  0 i i i i g f   f  g f  i i g[ f ( )]   '[ ( )] 1/ '( ) i i 由于f和g互为反函数，所以有 及 g f   f  可得∶ 0 '( ) ( )     i i i i f f     解此常数微分方程可得∶ f k i i i   2 ( ) 2    i i f( ) ( ) i f  式中的k为积分常数。由于每个投标人不会以高于自己的价值进行 投标，因此 ，同时 一阶线性微分方程 在任何时候都不应小于0， 故可得到k为0。 （1）、一级密封价格拍卖（招标） / 2 * i i s   / 2 * j j s   则结果是，拍卖的对称贝叶斯均衡战略为∶ 同理， 对投标人j也可得到相同的结论，即∶ 这就是说，在只有两个投标人时，这个博弈的贝叶斯均衡是， 每个投标人的出价是其实际价值的一半∶在均衡情况下，被拍卖 品归评价最高的投标人所有，这从资源配置的角度讲是有效的， 但卖者只得到买者价值的一半。对比之下，如果信息是完全的， 买者之间的竞争将使卖者得到买者价值的全部。 可见，在只有两个投标人的一级密封价格拍卖中，每个投标 人的最优战略是以自己价值的一半出价，投标人这时没有“说真 话”。 （1）、一级密封价格拍卖（招标）  i  i i s 可以证明，投标人出价与实际价值的差距随投标人的增加而递 减。一般地，假定有n个投标人，每个投标人的价值 的、相同的定义在[0,1]区间上的均匀分布，如果价值为 的投标人i 出价 ，则投标人i的期望得益函数为∶ 具有独立 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i n i j i i j i i i i u s P s s s g s           最优化的一阶条件为∶ ( ) ( )( 1) '( ) 0 1 2        i n i i i n g s  s n g g s 进一步可写成∶  g[ f ( i )] [ i  f ( i )](n 1)g'[ f ( i )]  0 i i n n f   1 ( )   i i n n s  * 1  解此微分方程可得∶ 即∶ * i s n   i i s  * 显然， 随着n的增加而增加。特别地，当 无穷时，卖者几乎得到买者价值的全部，也即投标人这时会倾向于 “讲真话”。因此，让更多人参加竞标是卖者的利益所在。 。即投标人越多，卖者得到的价格越高；当投标人趋于 （2）、双方叫价拍卖 与一级密封价格拍卖和二级密封价格拍卖不同的是，双方 叫价拍卖中的参与人是卖者和买者，而在一级密封价格拍卖和 二级密封价格拍卖中的参与人是不同的买者，卖者只是制定拍 卖规则。在卖者和买者都有私人信息时，则产生了双方叫价拍 卖。 在双方叫价拍卖中，潜在的卖者和买者同时开价，卖者 提出要价，买者提出出价，拍卖商然后选择成交价格p清算市 场∶所有要价低于p的卖者卖出，所有出价高于p的买者买入； 在价格p下的总供给等于总需求