第2章平衡状态下的生灭过程 21生灭过程 21.1生灭过程的定义 顾名思义,生灭过程是起源于描述群体生长消亡的随机过程。生灭过程在排队论中 起着非常重要的作用,是研究排队论的出发点,本节我们将对生灭过程进行较为详细的 讨论。生灭过程理论实际上是研究排队系统最重要的数学工具,在排队系统中,常常将 顾客的到达理解为生灭过程中的“生”,顾客服务完毕离开服务系统理解为“灭”,因此 在一定条件下,排队系统所处状态随着事件变化的进程常可用生灭过程描述。 令N()表示系统t时刻所处的状态,即群体的个数,设状态空间=012,…}或 Ix={0.2…N},即所谓的“生”表示增加了个体,所谓“灭”表示减少了个体。生灭 过程是一种特殊的马尔柯夫链。它的基本特点是:状态的转移只能在相邻状态中进行 即:若在t=t时,N()=1,则当t=1+M时,N(+△M)只能取i-1,i,i+1这三个值 中的一个,而不能取其它值。所谓的生灭过程指的是无穷多个随机变量组成的序列 N(t≥0},它是一个时间参数连续、状态空间离散的随机过程。 1、生灭过程的严格定义(数学定义) 设{N()t≥0}为具有状态空间=012…}或l=01,2…N}的连续参数齐次马 尔柯夫链,如果其转移概率P()满足:对yi,j∈,对任意1≥0,有 (1)P{N(+△)=i+1|N()==1△t+0(△7),1>0为常数。有限状态时, 0,1,2,…,N-1;可数状态时,i=0,1,2, (2)P{N(+△)=1-1|N()=}=+o(△),>0为常数。有限状态时 2,…,N;可数状态时,t=1,2, (3)P(N(+△)=N()=}=0(△),b-小2 则称系统状恋随时间变化的过程{N(t≥0}为一个生灭过程。生灭过程也称为“增 与消”过程。 2、生灭过程比较形象地说明(物理解释) 为形象直观起见,可以把生灭过程作为描述某一城市人口总数的模型。生灭过程处 于状态i,就表示人口数为i,从i到i+1的状态转移称为一个人口出生,从i到1-1的状464 第 2 章 平衡状态下的生灭过程 2.1 生灭过程 2.1.1 生灭过程的定义 顾名思义，生灭过程是起源于描述群体生长消亡的随机过程。生灭过程在排队论中 起着非常重要的作用，是研究排队论的出发点，本节我们将对生灭过程进行较为详细的 讨论。生灭过程理论实际上是研究排队系统最重要的数学工具，在排队系统中，常常将 顾客的到达理解为生灭过程中的“生”，顾客服务完毕离开服务系统理解为“灭”，因此， 在一定条件下，排队系统所处状态随着事件变化的进程常可用生灭过程描述。 令 N t 表示系统 t 时刻所处的状态，即群体的个数，设状态空间 I    0,1,2, 或 I N    0,1,2,,N ，即所谓的“生”表示增加了个体，所谓“灭”表示减少了个体。生灭 过程是一种特殊的马尔柯夫链。它的基本特点是：状态的转移只能在相邻状态中进行， 即：若在t  t 时， Nt  i ，则当t  t  t 时， Nt  t只能取i 1，i ，i 1这三个值 中的一个，而不能取其它值。所谓的生灭过程指的是无穷多个随机变量组成的序列   N t ，t  0 ，它是一个时间参数连续、状态空间离散的随机过程。 1、生灭过程的严格定义（数学定义） 设  N t ，t  0 为具有状态空间 I  0,1,2,或 I N  0,1,2,,N的连续参数齐次马 尔柯夫链，如果其转移概率 pij t 满足：对 i ， jI ，对任意t  0 ，有 （1） PNt t i Nt i t t           1 |      i   ， i  0 为常数。有限状态时， i  0,1,2,,N 1；可数状态时，i  0,1,2,。 （2） PNt t i Nt i t t           1|      i   ，  i  0 为常数。有限状态时， i 1,2,,N ；可数状态时，i 1,2,。 （3） PNt t jNt i t         |       ， i  j  2 。 则称系统状态随时间变化的过程Nt，t  0为一个生灭过程。生灭过程也称为“增 与消”过程。 2、生灭过程比较形象地说明（物理解释） 为形象直观起见，可以把生灭过程作为描述某一城市人口总数的模型。生灭过程处 于状态i ，就表示人口数为i ，从i 到i 1的状态转移称为一个人口出生，从i 到i 1的状