·806· 智能系统学报 第14卷 模型对不同形状数据聚类的适应性，将数据样本 虽然最优化式(7)对噪声具有一定的抑制能 通过非线性函数()映射至高维希尔伯特再生核 力，但难以满足医学、遥感等复杂场合影像分割 空间，它与核函数之间具有内积关系K(x,)= 的需要。为此，将最优化模型式(2)和式(7)相结 <(x),y)>,通过改变样本之间的空间分布结 合，构造一种更强噪声抑制能力的鲁棒核空间图 构，促使模糊聚类性能得到改善，相应的核空间 形模糊聚类分割算法，最优化模型表示为： 鲁棒图形模糊聚类(kernel-based PFCM_Sl, min J(U,V.n)= li.k PKFCM S1)最优化模型为： 1--专 [d(g,)+ Mik min J(U,V,n)= -）[d(,w)+ ada(gi,v+ 〉，（传i+异n) 1= (2) (8) dwl+∑∑ 传i+员n) 式中：：是当前样本x所对应的邻域窗内所有 =1= g,(r∈N)经均值估计所得。 式中：该模型约束条件与最优化模型式(1)相同， 针对最优化模型式（⑧），核函数选取局部逼近 d(x,)=‖(x)-(yP表示(x)和()之间的平 能力的高斯核函数K.(x,y)=exp(-2.lx-y),则 方欧氏距离；(，)=川()-()表示均值() 获得类似式(3)(6)的迭代表达式，相应分割算法 和v之间的平方欧氏距离；(x)和()分别表示 虽然能改善最优化模型式(2)的抑制噪声能力， 样本x和聚类中心y在高维特征空间中的像。核函数 但二者存在的共同不足是非常耗时，不利于大幅 K(x,y)常选取高斯核函数K(x,y)=exp(-c2.Ix-y) 面的医学、遥感等影像快速分割的需要。 (σ是核函数参数)，于是有d(x,y)=2(1-K(x,y) 23快速核空间图形模糊聚类 成立，相应的优化求解式(2)所对应的隶属度、中 为了提高像素邻域信息加权图像分割法的快 立度和聚类中心迭代表达式分别为： 速性，将直方图模糊聚类11引入线性加权图像 1-k-缺 (3) 鲁棒核空间图形模糊聚类，探索一种基于二维直 d(xi v)+ad(,V) 方图的鲁棒核空间图形模糊聚类分割法。 d(x,y)+ad(民，y) 假设大小为M1×N的灰度图像G=(g)M,x,不 k=k(2nk+5)/(c(0u+2E)》 (4) 同灰度级数为L,采用3×3或5×5大小的邻域模板 A=1-(u+hu)-(1-(u+P月)1B (5) 平滑所得图像为G=(g）M,。图像G与平滑滤波 (K(,)x:+aK(,)) 图像G相同位置不同像素对所对应的二维直方图 (6) 描述如下： ( 1-k-5k (K(x,)+aK(,)》 6(g-i)6(gs -j) (9) =1=1 式中：B∈(0,1)为调节因子；σ1、2为不同高斯核函 它描述了图像G与其平滑滤波图像G相同位 数参数。 置不同灰度级的分布情况，已广泛用于解决噪声 可将模型式(2)推广至FGFCM算法中，获得 干扰图像的鲁棒分割问题6m:同时，利用它可获 种快速核图形模糊聚类分割算法(fast general-- 得大幅面图像快速分割，对实时性要求高场合的 ized kernel-based PFCM,FGPKFCM),从而使得聚 目标跟踪与识别等具有较大实用价值。 类性能远优于FGFCM分割算法。 针对灰度Lena图像，与平滑滤波图像联合获 2.2 改进核空间鲁棒图形模糊聚类 得的二维直方图如图1所示。 为了进一步提高图形模糊聚类抑制噪声能 力，将文献[13]中图像邻域像素平滑滤波信息推 108 广至图形模糊聚类，相应的最优化模型为： min J(U.V,n.5) d(g,)+ 201 200 平滑滤波 .100 图像灰度级 0501001500050 图像灰度级 (7 (a)Lena图 )二维直方图 式中g:表示当前样本x所对应的邻域窗内所有样 图1Lena图及二维直方图 本估计所得的加权图像。 Fig.1 Lena image and its two-dimensional histogramΦ(·) K(x, y) = < Φ(x),Φ(y) > 模型对不同形状数据聚类的适应性，将数据样本 通过非线性函数 映射至高维希尔伯特再生核 空间，它与核函数之间具有内积关系 ，通过改变样本之间的空间分布结 构，促使模糊聚类性能得到改善，相应的核空间 鲁棒图形模糊聚类 (kernel-based PFCM_S1, PKFCM_S1) 最优化模型为： min J(U,V,η,ξ) = ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k ) m [d 2 Φ (xi , vk)+ αd 2 Φ ( ¯xi , vk)]+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (2) d 2 Φ (xi , vk) = ||Φ(xi)−Φ(vk)||2 Φ(xi) Φ(vk) d 2 Φ ( ¯xi , vk) = ||Φ( ¯xi)−Φ(vk)||2 Φ( ¯xi) Φvk Φ(xi) Φ(vk) xi vk K(x, y) Kσ(x, y) = exp(−σ −2 · ||x−y||2 ) σ d 2 Φ (xi , vk) = 2(1−Kσ(xi , vk)) 式中：该模型约束条件与最优化模型式 (1) 相同， 表示 和 之间的平 方欧氏距离； 表示均值 和 之间的平方欧氏距离； 和 分别表示 样本 和聚类中心 在高维特征空间中的像。核函数 常选取高斯核函数 ( 是核函数参数)，于是有 成立，相应的优化求解式 (2) 所对应的隶属度、中 立度和聚类中心迭代表达式分别为： ui,k = 1−ηi,k −ξi,k ∑c j=1 ( d 2 Φ (xi , vk)+αd 2 Φ ( ¯xi , vk) d 2 Φ (xi , vj)+αd 2 Φ ( ¯xi , vj) ) 1 m−1 (3) ηi,k = ξi,k(2ηi,k +ξi,k)/(c(ηi,k +2ξi,k)) (4) ξi,k = 1−(ui,k +ηi,k)−(1−(ui,k +ηi,k) β ) 1/β (5) vk = ∑n i=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m (Kσ1 (xi , vk)xi +αKσ2 ( ¯xi , vk) ¯xi) ∑n i=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m (Kσ1 (xi , vk)+αKσ2 ( ¯xi , vk)) (6) 式中： β ∈ (0,1) 为调节因子；σ1、σ2为不同高斯核函 数参数。 可将模型式 (2) 推广至 FGFCM 算法中，获得 一种快速核图形模糊聚类分割算法 (fast general￾ized kernel-based PFCM, FGPKFCM)，从而使得聚 类性能远优于 FGFCM 分割算法。 2.2 改进核空间鲁棒图形模糊聚类 为了进一步提高图形模糊聚类抑制噪声能 力，将文献 [13] 中图像邻域像素平滑滤波信息推 广至图形模糊聚类，相应的最优化模型为： min J(U,V,η,ξ) = ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m d 2 (gi , vk)+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (7) 式中 gi表示当前样本xi所对应的邻域窗内所有样 本估计所得的加权图像[13]。 虽然最优化式 (7) 对噪声具有一定的抑制能 力，但难以满足医学、遥感等复杂场合影像分割 的需要。为此，将最优化模型式 (2) 和式 (7) 相结 合，构造一种更强噪声抑制能力的鲁棒核空间图 形模糊聚类分割算法，最优化模型表示为： min J(U,V,η,ξ) = ∑n i=1 ∑c k=1 ( ui,k 1−ηi,k −ξi,k )m [d 2 Φ (gi , vk)+ αd 2 Φ ( ¯gi , vk)]+ ∑n i=1 ∑c k=1 (ξi,kη 2 i,k +ξ 2 i,kηi,k) (8) g¯i xi gr(r ∈ Ni) 式中： 是当前样本 所对应的邻域窗内所有 经均值估计所得。 Kσ(x, y) = exp(−σ −2 · ||x−y||2 ) 针对最优化模型式 (8)，核函数选取局部逼近 能力的高斯核函数 ，则 获得类似式 (3)~(6) 的迭代表达式，相应分割算法 虽然能改善最优化模型式 (2) 的抑制噪声能力， 但二者存在的共同不足是非常耗时，不利于大幅 面的医学、遥感等影像快速分割的需要。 2.3 快速核空间图形模糊聚类 为了提高像素邻域信息加权图像分割法的快 速性，将直方图模糊聚类[14-15] 引入线性加权图像 鲁棒核空间图形模糊聚类，探索一种基于二维直 方图的鲁棒核空间图形模糊聚类分割法。 M1 ×N1 G= (gxy)M1×N1 L 3×3 5×5 G ′= ( g ′ xy) M1×N1 G G ′ 假设大小为 的灰度图像 ，不 同灰度级数为 ，采用 或 大小的邻域模板 平滑所得图像为 。图像 与平滑滤波 图像 相同位置不同像素对所对应的二维直方图 描述如下： H(i, j) = ∑M1 x=1 ∑N1 y=1 δ(gxy −i)δ(g ′ xy − j) (9) G G 它描述了图像 与其平滑滤波图像 ′相同位 置不同灰度级的分布情况，已广泛用于解决噪声 干扰图像的鲁棒分割问题[16-17] ；同时，利用它可获 得大幅面图像快速分割，对实时性要求高场合的 目标跟踪与识别等具有较大实用价值。 针对灰度 Lena 图像，与平滑滤波图像联合获 得的二维直方图如图 1 所示。 (a) Lena 图 (b) 二维直方图 120 100 80 60 40 20 0 200 100 0 50100150200250 频数 图像灰度级 平滑滤波 图像灰度级 图 1 Lena 图及二维直方图 Fig. 1 Lena image and its two-dimensional histogram ·806· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷