等。对于具有偶然点的0re-k型图，1982年Win.S给出了下列猜想： 若G是2阶Ore-k型图，则G具有边不交的k+2个1-因子，其中0≤k≤2n一4。 1987年刘振宏【2)证明了对k=2Win猜想成立。本文证明了Win猜想对=3成立。 以下分别简称Hamilton圈和Hamiltoni连通为H-圈和H-连通。 1引 理 为了证明本文的定理，首先介绍一些引理。 引理1【3】设a(G)≤k(G),则简单图G有H-圈。 引理2【4】设G是n阶连通度为(G)(k(G)≥1)的简单图且a(G)≤6(G),则对Ha- milton性质而言，闭包运算的稳定度为n-(K(G)-1)。 引理3r5)设G是Ore-k型图，k≥0，IV(G)I≥3，则G是k-Path-Hamilton图. 引理4e】设G是n(m≥20)阶Ore-0型图，且6(G)≥5，则G具有两个边不交的Ha- milton圈， 引理5设G是2n阶0re一3型图，令Z={2∈V(G),d(z)≥n+2},则|Z1≥n+1. 引理6设G是2n阶0re-3型图且6(G)≥7，x。∈V(G),d(x)≤n,Z。={z|zE V(G),x。2EE(G)},如果G中还存在一点y。∈V(G)使得d(y。)≥d(x)+1且与Z。中至少 一点不相邻，则G具有边不交的两个H-圈和一个1一因子。 证：设22∈Z。且之2y。EE(G)。因d(x)≤n故 |Z。|=2n-d(x。)-1≥n-1,从而对任意一点2∈Z。有：d(2)≥(2n+?-d(x。)≥n+3,于是 在G〔Z]中有dccz。)(2)≥n+3-d(x)≥3，故在G〔Z,]中存在长为3的路p=(z1z223z4), 由引理4可知在G中存在H~圈C。Pp(这里C,与p均表示边之集合)。令G1=G-C。,这时 不难证明G,中有H-圈，取G1中的一个1-因子N。令G。=G1~N。现在证明G。中有H-圈。 事实上，考虑闭包Go。由da。(z)≥n(2∈2，)可知G。〔Z〕为完全图，从而d后，(z:)-1 (i=2,3)且d,(2,)≥d(z,)-2(i=1,4)。由已知条件有a.(y)≥d(x)-2,又由 d(xg)+d(22)≥2n+3可知dā，(y)+d后。(z2)≥2n,从而y,22∈E(Go),而yz2∈E(G), 故da。(22)≥d(22)且da,(y)≥d(×)-1,从而da,(22)+dan(x,)≥2n,于是x。22∈ E(G),从而推出了da。(x)>d(x)-2且da。(zz)≥d(z2)+1,因此d后(xg)+d后。(z)> d(x)-2+d(23)-1≥2n,故×oz3∈E(Go),推出了d元。(xo)≥d(xo)-1且da。(z3)≥d(23)。 了 同理可证xo2;∈E(G,)(j=1,4)且d元。(xo)≥d(xo)+1,da。(2;)d≥(2，)-1(j= 1,4)。由此可知xo2∈E(G0)(对任意2∈Z),于是得到了d元。(xo)≥d(x0)-3+2n- d(x)-1≥2n-4,由6(G。)≥4可知在G。中x。与所有点都相邻，从而G。〔Z。U{x}门为完 全图且|Z。U{xo}I≥n,于是 da。(2)≥d(2,)(=2,3) (1) 不难证明对于任意z∈Z。有2yo∈E(G),这时G〔Z。U{xoya}门为完全图且 dao(yo)≥n (2) 现在证明2：(i=2,3)在G。中与所有点都相邻 (3) 187等 对于具有偶然点的 一 吞型 图 ， 年 给 出了下列 猜想 若 是 阶 一 型图 ， 则口具 有边不交 的 十 个 一 因子 ， 其 中 毛 一 。 年刘振 宏 〔 “ 〕 证明 了对 猜想 成立 。 本文 证明 了 猜想对 成立 。 以下分 别简称 圈和 连通为 一 圈和 一 连通 。 引 理 为 了证 明本文的定理 ， 首先介绍 一些 引理 。 引理 〔 “ ’ 设 毛 ‘ ， 则 简单 图 ‘ 有 一 圈 。 引理 〔 ‘ ’ 设 是 阶连通 度为秃 庵 ‘ 的 简单 图且 簇 ， 则 对 性 质而 言 ， 闭包运算的稳定 度为。 一 一 。 引理 ‘ ” ’ 设口是 一 掩型 图 ， ， 厂 ， 则 是 一 一 图 引理 〔 “ ’ 设 是 。 阶 一 。 型 图 ， 且 ， 则 具 有两 个边不交的 。 圈 。 引理 设 是 阶 一 型 图 ， 令 ‘ 任 犷 ， ， 则 多 。 引理 设 是 阶 一 型 图且 ， 。 任 犷 ， 。 毛 ， 。 二 二 」二 任 犷 ， 二 。 吞 ， 如果 中还存在一点 。 任犷 使 得 。 异 二 。 且与 。 中至少 一点 不 相邻 ， 则 具有边不交 的两 个 一 圈和一个 一因子 。 证 设 二 任 。 且 翔 。 乙 。 因 。 故 。 卜 一 。 一 。 一 ， 从而对任意 一点 任 。 有 的 一 。 。 十 ， 于 是 在 〔 。 〕 中有 ‘ 〔 。 〕 ‘ 一 “ 。 ， 故在 〔 。 〕 中存在长 为 的 路 ， 由引理 可知在 中存在 一 圈 。 这 里 。 与 均表示边 之集合 。 令 ， “ 一 。 ， 这时 不 难证明 ， 中有 一 圈 。 取口 、 中的一个卜 因子 。 令 。 一 。 现 在 证明 。 中有 一 圈 。 事实上 ， 考虑闭包刁 。 。 由 。 。 任 。 可知 讯 〔 。 〕 为完全图 ， 从而 气 ‘ 一 ‘ ， 且 。 “ ， ， 一 ， 由已知条件有 万。 。 。 一 ， 又 由 。 “ 可知 。 。 歹。 ‘ ， ， 从而 。 “ 任 。 ， 而 。 “ “ 乙 ， 故 。 “ ‘ 且 。 夕 。 。 一 ， 从 而 。 “ 。 ， 。 ， 于 是 ‘ 。 ‘ 任 。 ， 从而推出 。 。 。 一 且 。 “ ， 因此 。 。 。 ‘ ‘ 。 一 ‘ 一 ， 故‘ “ 任 “ ，推出 。 ‘ 妻 一 且 。 ‘ ， “ 。 同理可证 。 ， ，〔 。 ， 且 。 。 。 妻 。 ， 。 “ ， “ ， 一 二 ， 。 由此可知 。 二 任 。 对 任意 二 任 。 ， 于是得到 。 一 二 。 一 一 ， 由 。 可知在 。 中二 。 与所有点都相邻 ， 从而 。 〔 。 二 。 〕 为完 全图且 。 二 。 ， 于是 ‘ 之 ‘ ， 不 难证明对于 任意 任 。 有二 。 〔 。 ， 这 时 。 〔 。 二 。 ， 。 〕为完全 图且 。 。 。 现在 证明 ‘ ， 在 。 中与 所有点都相邻