高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 数在t=t。时有全导数，且这全导数等于零： dFp0.0.ol=0, 即有 F(xo,vo,Zo)(to)+F(xo:Yo;Zo)(to)+F(xo,yo,Zo)@(to)=0 (11) 引入向量n={F(xyo,z0),F(x,yo,zo),F(xp,yo,zo)}, 则(11)式表示曲线(10)在点M处的切向量T={p'(t。),'(t),o'(t)}与向量n垂直.因为 曲线(I0)是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一个向量n垂直， 所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上（图8一8）.这个平面称 为曲面∑在点M的切平面，这切平面的方程是 F:(Xo>Yo,Zo)(x-Xo)+F,(xo,Yo,Zo)(y-yo)+F:(xo,Yo,Zo)(z-20)=0 (12) 通过点M(x,yo,2)而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线.法线方程是 x-X。 y-yo 2-20 (13) F(Xo,Yo,Zo)F (xo,Yo,Zo)F (xo,Yo,Zo) 垂直于曲面上切平面的向量（即切平面的法线向量）称为曲面的法向量，向量 n={F(x,yo,2o),F(xo,yo,o),F(xo,yo,2o)}就是曲面∑在点M处的一个法 向量. 2.显式方程情形 设曲面方程为 z=f(x,y) (14) 网 F(x,y,z)=f(x,y)-z), 可见 F(x,y,z)=f(x,y),F,(x,y,z)=f,(x,y),F(x,y,z)=-1. 于是，当函数f(x,y)的偏导数f(x,y)、f(x,y)在点(x,yo)连续时，曲面(14)在点 M(xo,yo,zo)处的法向量为 6