§4几何应用(1时) 平面曲线的切线与法线:设平面曲线方程为F(x,y)=0.有 切线方程为F2(x0,y0)(x-x0)+F,(x0,y0)(y-y0)=0 法线方程为F,(x0y0)(x-x0)-F(x0,y0)(y-y0)=0 例1求 Descartes叶形线2(x3+y3)-9xy=0在点(2,1)处的切线和法线 二、空间曲线的切线与法平面 1.曲线由参数式给出:L:x=x(1),y=y(),z==(1),a≤t≤B. 切线的方向数与方向余弦 切线方程为 y-yo y(0)=(t0) 法平面方程为x(0x-x0)+y(o0)(y-y0)+(t0(2-二0)=0 2.曲线由两面交线式给出:设曲线L的方程为 F(x,y,=)=0, G(x,y,)=0.点P0(xn,y,0)在L上推导切线公式 切线方程为 a(F,G O(F,GL a(F,G ay x) 法平面方程为 (:)14(x-)+FG (F.G) a(F,G) (y-y0)+ (二-二0)=0 a(x,y) 曲面的切平面与法线 设曲面∑的方程为F(x,y,)=0,点P(x0,y,0)在Σ上.推导切面公式 切平面方程为F2(Px-x0)+F,(Py-y0)+F((z-0)=0 法定义域线方程为 x-xo y-yo =-= F(Po F(PO) F (P) 232§ 4 几何应用 ( 1 时 ) 一、平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 yxF = 0),( . 有 y x F F ′ xf )( −= . 切线方程为 ),( 00 x yxF xx 0 )( +− ),( 00 y yxF 0)( − yy 0 = , 法线方程为 ),( 00 y yxF xx 0 )( −− ),( 00 x yxF 0)( − yy 0 = . 例 1 求 Descartes 叶形线 09)(2 在点 处的切线和法线 33 xyyx =−+ ) 1 , 2 ( 二、空间曲线的切线与法平面 : 1． 曲线由参数式给出 : = χ = = , )( , )( , )( : α ≤ ttzztyytxL ≤ β . 切线的方向数与方向余弦. 切线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy t xx ′ − = ′ − = ′ − χ . 法平面方程为 0))(())(())(( χ′ 0 0 +− ′ 0 − 0 + ′ 0 − zztzyytyxxt 0 = . 2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线 L 的方程为 点 在 ⎩ ⎨ ⎧ = = . 0),,( , 0),,( zyxG zyxF ),,( 0000 zyxP L 上. 推导切线公式. 切线方程为 0 0 0 ),( ),( ),( ),( ),( ),( 0 0 0 P P P yx GF zz xz GF yy zy GF xx ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − . 法平面方程为 0)( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( 0 0 0 0 0 0 =− ∂ ∂ +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ zz yx GF yy xz GF xx zy GF P P P . 三、曲面的切平面与法线 : 设曲面Σ 的方程为 zyxF = 0),,( , 点 zyxP 0000 ),,( 在Σ 上. 推导切面公式. 切平面方程为 0))(())(())(( x 0 − 0 + y 0 − 0 + z 0 − zzPFyyPFxxPF 0 = . 法定义域线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 PF zz PF yy PF xx x y z − = − = − . 232