841信号分解为正交函数 正交 两个函数满足「φ(t)q2(t)dt=0,称q(t),q(t)在区间(t1,t2)正交 二、正交函数集:几个函数∫(t)q(t)dtt0当i≠j; K1当 、完备正交函数集:在{q1(t)…n(t)}之外, 不存在v(t)满足「v(t)(t)dt=0(i=1,2,…n 例、三角函数集:{, cosT,cos2gt,…, cosmet,…,sing2t, sin2gt,…sin(nΩ2t),…}区间:(t,to+T),t=2π/g为周期 满足:0 cosmo2 tcosnQtdt m≠n T/2m=n≠0 T fto sin(mst) sin(nst)dt=.0 m≠n to+T sin(mgt)cos(ng2t)dt=0.所有的m和n 结论:三角函数集是完备正交集。 推导: t o+T cosmQtcosnetdt (1/2)rto [cos(m+n)Qt+cos(m-n) Qt]dt (1/2)sin(m+n) Q2t toT +(1/2)sin(m-n)2t to-T (1/2)[sin (m+n)Q(to+T)-sin(m+n)ntol +(1/2)sin(m-n)Q(to+T)-sin (mn)Qtol 当m≠n时2 §4.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足 φ1(t) φ2(t)dt=0, 称 φi(t),φj(t)在区间( t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数 φi(t) φi(t)dt= 0 当 i≠j; Ki 当 i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外， 不存在(t)满足  (t) φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cost,cos2t,… ,cosmt,…,sint, sin2t,…sin(nt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/为周期. 满足： cosmtcosntdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（mt）sin(nt)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(mt)cos(nt)dt= 0. 所有的 m 和 n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosmtcosntdt =(1/2) [cos(m+n) t+cos(m-n) t]dt =(1/2)sin(m+n)t +(1/2)sin(m-n)t =(1/2)[sin(m+n) (t0+T)-sin(m+n)t0] +(1/2)[sin(m-n) (t0+T)-sin(m-n)t0] =0 当 m≠n 时