《信号与线性系统分析》课程教学资源（教案讲义）第四章 连续系统的频域分析

第四章连续系统的频域分析 时域分析:f(t) y:(t)=h(t)*f(t) ↓分解 基本信号8(t)→LTI→h(t) 频域分析:f(t) yeot =h(t)* H(jo)Feot ↓分解 基本信号 sino t →LTI H(io)eo Hjo):系统的频域响应函数,是信号角频率o的函数,与t无关. 主要内容 、信号的分解为正交函数。 、周期信号的频域分析_付里叶级数(求和),频谱的特点 信号 非周期信号的频域分析—付里叶变换(积分),性质。 分析 四、LT系统的频域分析:频域响应H(io);y〔ω)=H(o)·F(ω).(系统分析) 五、抽样定理:连续信号→离散信号

第四章 连续系统的频域分析 时域分析：f(t) yf(t)=h(t)*f(t)  分解  基本信号(t)→ LTI →h(t) 频域分析： f(t) ye jt =h(t)* H(j)Fejt  分解  基本信号 sint → LTI → H(j)ejt e jt H(j)：系统的频域响应函数，是信号角频率的函数，与 t 无关. 主要内容： 一、信号的分解为正交函数。 二、周期信号的频域分析⎯付里叶级数（求和），频谱的特点。 信号 三、非周期信号的频域分析⎯付里叶变换（积分），性质。 分析 四、LTI 系统的频域分析：频域响应 H(j)；y(j)= H(j)·F(j). (系统分析) 五、抽样定理：连续信号→离散信号

841信号分解为正交函数 正交 两个函数满足「φ(t)q2(t)dt=0,称q(t),q(t)在区间(t1,t2)正交 二、正交函数集:几个函数∫(t)q(t)dtt0当i≠j; K1当 、完备正交函数集:在{q1(t)…n(t)}之外, 不存在v(t)满足「v(t)(t)dt=0(i=1,2,…n 例、三角函数集:{, cosT,cos2gt,…, cosmet,…,sing2t, sin2gt,…sin(nΩ2t),…}区间:(t,to+T),t=2π/g为周期 满足:0 cosmo2 tcosnQtdt m≠n T/2m=n≠0 T fto sin(mst) sin(nst)dt=.0 m≠n to+T sin(mgt)cos(ng2t)dt=0.所有的m和n 结论:三角函数集是完备正交集。 推导: t o+T cosmQtcosnetdt (1/2)rto [cos(m+n)Qt+cos(m-n) Qt]dt (1/2)sin(m+n) Q2t toT +(1/2)sin(m-n)2t to-T (1/2)[sin (m+n)Q(to+T)-sin(m+n)ntol +(1/2)sin(m-n)Q(to+T)-sin (mn)Qtol 当m≠n时

2 §4.1 信号分解为正交函数 一、正交： 两个函数满足 φ1(t) φ2(t)dt=0, 称 φi(t),φj(t)在区间( t1 ,t2)正交。 二、正交函数集：几个函数 φi(t) φi(t)dt= 0 当 i≠j; Ki 当 i=j. 三、完备正交函数集：在{φ1(t)…φn(t)}之外， 不存在(t)满足  (t) φi(t)dt= 0 (i=1,2,…n). 例、三角函数集:{1,cost,cos2t,… ,cosmt,…,sint, sin2t,…sin(nt),…}区间:（t0,t0+T）,t=2π/为周期. 满足： cosmtcosntdt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 T m=n=0 sin（mt）sin(nt)dt= 0 m≠n T/2 m=n≠0 sin(mt)cos(nt)dt= 0. 所有的 m 和 n. 结论:三角函数集是完备正交集。 推导： cosmtcosntdt =(1/2) [cos(m+n) t+cos(m-n) t]dt =(1/2)sin(m+n)t +(1/2)sin(m-n)t =(1/2)[sin(m+n) (t0+T)-sin(m+n)t0] +(1/2)[sin(m-n) (t0+T)-sin(m-n)t0] =0 当 m≠n 时

m=n≠0,原式=(1/2)r[cos(m+n)9t1]dt=(1/2)t0=/2 m=n=0,原式=(1/2)t[1+1]dt=T 4、复函数的正交函数集 几个复函数集{q1(1),2甲(t)甲(t)dt=10i≠j 例:复函数集{els}(n=0,±1,±2.) 区间(to,to+T),T=2π/g为周期。 满足∫re"(e0)t=∫17 n)ot dt =[1/(j(m-n)Q)l ej(an to+T=0 m≠n -fto ldt=T m-n 结论:{e}是完备正交集。(n=0,±1,±2.) 二、信号分解为正交函数集 1、分解:二维A=c1V2+c2y,{v,,v},二维正交矢量集 三维A=c1Vx+c2Vy+c2{v,w,v2}三维正交矢量集 n维:{q(t)…gn(t)}在(t1,t2)构成正交函数集 f()≈cq(t)+c2(t)+…cA中(t)+(t)=是1c甲(t) 任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。 2、系数c的选择。 方均误差定义:=[1/txt)J[(t)-,Cq(t)]dt 使ε2最小,对第i个系数c来说,应使a/ac1=0. ∷c=[「tf(t)q(t)dt]/∫[p(t)]at)

3 m=n≠0，原式=(1/2) [ cos(m+n)t+1]dt=(1/2)·t =T/2 m=n=0 , 原式=(1/2) [1+1]dt=T. 4、复函数的正交函数集： 几个复函数集{φi(t)}， φi(t) φi * (t)dt= 0 i≠j ki i=j 例：复函数集{ e jnΩt }(n=0,±1,±2…) 区间(t0,t0+T）,T=2π/为周期。 满足 e jm t (ejnt ) * dt= e j(m-n)t dt =[1/(j(m-n)Ω)] e j(m-n)t dt =0 m≠n = 1dt=T m=n. 结论：{ e jnΩt }是完备正交集。(n=0,±1,±2…) 二、信号分解为正交函数集。 1、分解： 二维 A=c1vx + c2yy { vx ，v}y二维正交矢量集 三维 A= c1vx +c2vy +c3vz { vx ，vy，vz }三维正交矢量集 n 维：{φ1(t)…φn(t)}在( t1 ,t2)构成正交函数集。 f(t)≈c1φ1 (t)+ c2φ2(t)+…cnφn(t)+(t)= cjφj(t) 任意一个函数可以用这几个正交函数的线性组合来近似。 2、系数 cj的选择。 方均误差定义： =[1/(t2-t1)] [f(t)- cjφj(t)]2 dt 使 最小，对第 i 个系数 ci来说，应使 / ci =0. ∴cj= [ f(t) φj(t)dt]/ ( [φj(t)]2 dt)

=(1/K)∫f(t)q(t)dt 最佳近似条件下的方均误差: e=[1/t-t)]g2[f(t)]2dt-差1c:3K) ∵82≥0,n个,2 ∴n→,3→0.则了:f(t)]2dt=1cK→称帕斯瓦尔方程 f(t)c甲(t) 即函数f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。 §4.2付里叶级数 付里叶级数:(三角形式) f(t)=(ao/2).1+a,cosQ2t+azcos2Q2t+.tbsinQt+b2sin2Q2t+ ao/2+3 acos(nQt)+abasin(nQt) 积分区间:toto+T,0∞T,-T/2T/2 K= to+T(cos(nQt))2 dt=T/2 an=(/T)5-1/2 f(t)cos(nQt)dt b=(2/T)J-T/2 f(t)sin(nQt)dt 形制:a-n=an是偶函数 b-=bn时奇函数(其中n=0,1,2.) 2、三角形式二:同频率项合并。 f(t)=ao/+Acos( Q2t+1)+Ecos(2Q2t+p2)+ =a/2+器Acos(nt+q) Ao=ao an=Y(a, ) +(b' b, =-arctg(b,/a)

4 =(1/Kj) f(t)φj(t)dt 最佳近似条件下的方均误差： =[1/(t2-t1)]( [f(t)]2 dt - cj 2Kj). ∵ ≥0,n, ; ∴n→∞, →0. 则 [f(t)]2 dt= cj 2Kj→称帕斯瓦尔方程。 f(t)= cjφj(t). 即函数 f(t)在区间( t1 ,t2)可分解为无穷多项正交函数之和。 §4.2 付里叶级数 一、付里叶级数：（三角形式） f(t)=(a0/2)·1+a1cost+a2cos2t+…+b 1sint+b 2sin2t+… = a0/2+ ancos(nt)+ b nsin(nt). 积分区间：t0 t0+T, 0 T, -T/2 T/2 Ki= (cos(nt))2 dt=T/2. an=(2/T) f(t)cos(nt)dt bn=(2/T) f(t)sin(nt)dt 形制：a-n=an是偶函数 b-n=-bn时奇函数 (其中 n=0,1,2…). 2、三角形式二：同频率项合并。 f(t)=a0/2+A1cos(t+φ1)+A2cos(2t+φ2) +… = a0/2+ Ancos(nt+φn). A0=a0 an= bn =-arctg(bn / an)

由性质可知:a=Aan= Ancoso b= bn sinop 3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。 f(t)=a/2+Acos(2tp)+Acos(292tq)+,+Aacos(2t+q)+ 例4.2-1f(t)为方波,分解为付里叶级数。 周期:T频率:1/T角频率:g=2π/T.区间:(-T/2,T/2) (1)f(t)= ao/2+8 acos(nQt)+bsin(nQt) a=(2/T)1/2 f(t)cos (n t)dt =O T/2 b=(2/T)I-T/2 f(t)sin(n Qt)dt= n=2,4,6 4/(nπ)n=1,3,5 ∴f(t)=(4/π)[sing2t(1/3)sin(39t)+.+(1/n)sin(mng2t)+… 结论:方波只含有1,3,5等奇次谐波分量,无直流分量。 (2)方均误差(有限项逼近) e=[1/(t2t)][ f(t)dt-2, c2 K 1 (1/T)[m21dt-(T/2)1(b)2]=1-(1/2)1(b)2 只取基波:8=1-(1/2)(4/π)2=0.189 取基三次谐波:=1-(1/2)[(4/π)2+(4/3)2=0.0994. 基“+”3,”+”5次:c=1-(1/2)[(4/m)2+(4/3x)2+(4/5x)2]=0.069 (3)方波分解的特点 1、它包含的基波分量越多,越接近方波,其均方误差越小。 2、当合成波所含基波次数n>∞,在间断点仍有约9%偏差,在间断点出尖峰 下的面积非常小以致趋近于零

5 由性质可知：a0= A0 an=Ancosφn bn= bn sinφn 3、物理意义;同周期信号可分解为各次谐波之和。 f(t)= a0/2+A1cos(t+φ1)+A2cos(2t+φ2) +…+Ancos(t+φn)+… 例 4.2-1 f(t)为方波，分解为付里叶级数。 周期：T 频率：1/T 角频率：=2/T. 区间：(-T/2,T/2) (1)f(t)= a0/2+ ancos(nt)+ bnsin(nt) an=(2/T) f(t)cos(nΩt)dt =0 bn=(2/T) f(t)sin(nΩt)dt= 0 n=2,4,6… . 4/(n) n=1,3,5… ∴f(t)=(4/)[sint+(1/3)sin(3t)+…+ (1/n)sin(nt)+…] 结论：方波只含有 1，3，5 等奇次谐波分量，无直流分量。 （2）方均误差（有限项逼近） =[1/(t2-t1)][ f 2 (t)dt- c 2 jKj] =(1/T)[ 1dt-(T/2) （bj）2 ]=1-(1/2) （bj）2 只取基波： =1-(1/2)(4/) 2 =0.189. 取基三次谐波： =1-(1/2)[(4/) 2 +(4/3) 2 =0.0994. 基“+”3，”+”5 次: =1-(1/2)[(4/) 2 +(4/3) 2 +(4/5) 2 ]=0.0669 （3）方波分解的特点 1、它包含的基波分量越多，越接近方波，其均方误差越小。 2、当合成波所含基波次数 n→∞，在间断点仍有约 9偏差，在间断点出尖峰 下的面积非常小以致趋近于零

、奇偶函数的付里叶系数的特点 1、为偶函数:f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。 a=(2/T)J-T/2 f(t)cos (nQt)dt (2/T)5T/2f(t)cos(nQt)dt+(2/T)52f(t)cos (nQt)dt a=(4/T)of(t)cos(nQt)dt b,=(2/T)IT/2f(t)sin(nQt)dt+(2/T)f(t)sin (nQt)dt ∴bn=0. 当f(t)为偶函数时 an=(4/T)5of(t)cos(nQt)dt An=|an bn/a=0 qp=mπ arctgb/an角度为0,π 2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称 当f(t)为奇函数时: b=(4/T)f(t)sin(n9t)dt'qn=(2m+1)/2.b,/a→∞. ∴奇函数只有正弦项。 ★任意函数 f(t)=fa(t)+f。(t) f。(t)=(f(t)-f(t)/2. f(t)=fod(t)+fev(t)=-fod(t)+fer(t f。(t)=(f(t)+f(-t)/2. 3、f(t)为奇谐函数。(半波对称函数) f(t)=-f(t址/2),移动T/2后,关于横轴对称 f(t)f(t-T/2) 付里叶级数只含奇次谐波,不含偶次谐波。 a0=a2=a4=a6=,b=b2=b4=..=0

6 二、奇偶函数的付里叶系数的特点: 1、为偶函数：f(-t)=f(t),关于纵坐标对称。 an=(2/T) f(t)cos(nt)dt =(2/T) f(t) cos(nt)dt +(2/T) f(t) cos(nt)dt ∴an=(4/T) f(t) cos(nt)dt bn=(2/T) f(t)sin(nt)dt+(2/T) f(t)sin(nt)dt ∴ bn= 0. 当 f(t)为偶函数时 an=(4/T) f(t) cos(nt)dt An= |an| bn/ an=0 bn= 0 n= m arctgbn/an角度为 0， 2、f(t)为奇函数。F(-t)=-f(t),波形关于原点对称。 当 f(t)为奇函数时： an=0 An= |bn| bn=(4/T) f(t)sin(nΩt)dt n= (2m+1)/2. bn/an→∞. ∴ 奇函数只有正弦项。 ★ 任意函数 f(t)=fod(t)+fev(t) → fod(t)=(f(t)-f(-t))/2. f(-t)= fod(-t)+fev(-t)= -fod(t)+fev(t) fev(t)=(f(t)+f(-t))/2. 3、f(t)为奇谐函数。（半波对称函数） f(t)=- f(tT/2),移动 T/2 后，关于横轴对称。 付里叶级数只含奇次谐波，不含偶次谐波。 a0= a2= a4= a6= b0= b2= b4==0

例4.2-2把锯齿波信号展为付里叶级数 解 f(t=t/T fer(t) 11 f(-t) foa(t) -t+T 方法1:f(t)=t/T既不是偶函数也不是奇函数, 直接在[0,们区间上求an,bn 方法二:把分为奇偶两部分 f。(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(t+1)/T=1/2. f。a(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T(-t+T)/T=t/T-1/2=(t-T/2)/T 奇函数部分分解为:an bn=(4/T)o[t/T-1/2]sin(nQt)dt (4/T2)Isin(nQt)-nQ2cos (nQt)1/(nQ)o T/2 +(2/T)[cos(ngt)]/(ng2)]0=-1/n.n=1,2,3 .f(t)=f(t)+fo(t)=1/2+e bn sin(nQt) 1/2-(1/x)[sing2t+(1/2)sin(292t)+(1/3)sin(3g2t)+. 锯齿波含直流分量和各次谐波分量。 三、周期信号分解为指数形付里叶级数。 1、定义式:(由三角形式推导)

7 例 4.2-2 把锯齿波信号展为付里叶级数。 解： 方法 1：f(t)=t/T 既不是偶函数也不是奇函数， 直接在[0,T]区间上求 an ，bn . 方法二：把分为奇偶两部分。 fev(t)=(1/2)[f(t)-f(-t)]=(1/2)[t/T+(-t+T)/T]=1/2. fod(t)=(1/2)[f(t)+f(-t)]=(1/2)[t/T-(-t+T)/T]=t/T-1/2=(t-T/2)/T. 奇函数部分分解为：an bn =(4/T) [t/T-1/2]sin(nt)dt =(4/T2 )[sin(nt)-ncos(nt)]/(n) 2 +(2/T)[cos(nt)]/(n)] =-1/n. n=1,2,3… ∴f(t)= fev(t)+fod(t)=1/2+ bn sin(nt) =1/2-(1/)[sint+(1/2)sin(2t)+(1/3) sin(3t)+…]. 锯齿波含直流分量和各次谐波分量。 三、周期信号分解为指数形付里叶级数。 1、定义式：（由三角形式推导）

f(t)=A/2+ h Acos(ns2t+ou =A/2+盖(A/2)[e+e"] f(t=盖Fnen 2、确定付里叶系数Fn Fn=(1/2)Anen+(1/2)[Ancosop )+jAn sino.=(1/2)(an-jbn) (1/2)(2/T)5-1/2 f(t)cos(nQ t)dt j(1/2)(2/T)T/2 f(t)sin(nQ t)dt (1/T)T/2f(t)[cos(n Q t)jsin(nQ t)]dt ∴Fn=(1/T)vzf(t)endt.n=0,±1,±2 3、物理意义:周期信号可分解为许多不同频率(nΩ)的虚指数信号(e加)之和。 每个分量的大小用Fn来表示,分为幅度和相位 ★各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数,以及各系数间的关系见表4-1。 §4.3周期信号的频谱 、频谱的概念: 频谱分为 幅度频谱:以频率ω(或角频率Ω)为横坐标,An/|Fn丨为纵坐标 相位频谱:以频率ω(或角频率Ω2)为横坐标,q为纵坐标。 f(t)=A/2+ Ncos(nQ t+pn) A为直流分量幅度;A为n次谐波的振幅;q为n次谐波的初相角

8 f(t)=A0/2+ Ancos(nt+φn) = A0/2+ (An/2)[ej(nΩt+φn)+e -j(nΩt+φn)]。 ∴ f(t)= FnejnΩt 2、确定付里叶系数 Fn Fn=(1/2) Ane jφn +(1/2)[Ancosφn)+jAnsinφn]=(1/2)(an-jbn) =(1/2)(2/T) f(t)cos(nΩt)dt -j(1/2)(2/T) f(t)sin(nΩt)dt =(1/T) f(t)[cos(nΩt)-jsin(nΩt)]dt ∴ Fn=(1/T) f(t)e-jnΩt dt. n=0,±1,±2… 3、物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(n)的虚指数信号(ejnΩt )之和。 每个分量的大小用 Fn 来表示，分为幅度和相位。 ★ 各三角函数型和指数型付里叶级数及其系数，以及各系数间的关系见表4-1。 §4.3 周期信号的频谱 一、频谱的概念： 频谱分为  幅度频谱：以频率 ω（或角频率）为横坐标，An/｜Fn｜为纵坐标。  相位频谱：以频率 ω（或角频率）为横坐标，φn 为纵坐标。 f(t)=A0/2+ Ancos(nΩt+φn) A0为直流分量幅度；An为 n 次谐波的振幅；φn为 n 次谐波的初相角

造钱包络 0468 周期信号的频谱是离散的。 结论:正如波形是信号在时域的表示一样,频谱则是信号在频域的表示。 描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。 信号分解:从已知信号绘制其频谱图。 合成:根据其频谱图反过来和成原有的信号。 波形f()分频谱 Fn与An比较 An:每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度,物理意义明确 Fn:从数学上将cosnΩt分成e和en,有负频率,没有物理意义。变化趋 势一致都可进行信号的频谱分析。|Fn|=(1/2)An 3、周期信号频谱的特点:离散性;谐波性(是基波频率的整数倍) 二、周期矩形脉冲的频谱 f(t)幅度为1,脉冲宽度为τ;周期为T 1、求频谱:f(t)=hnen Fn=(1/T)51/2f(t adt=(1/T)I- e-inatdt (τ/T)[sin(ngτ)/(ng)]=(τ/T)[sin(ng/2)/n2τ/2)] (τ/T)Sa(ng/2) 或g=2π/T.Fn=(τ/T)[sin(n2r/2/(n2x/2T)] =(τ/T)Sa(nπτ/2).N=0,±1,±2..(1)

9 周期信号的频谱是离散的。 结论：正如波形是信号在时域的表示一样，频谱则是信号在频域的表示。 描述了一个信号的频谱就等于描述了这个信号。 信号分解：从已知信号绘制其频谱图。 合成：根据其频谱图反过来和成原有的信号。 波形 f(t) 频谱 Fn 与 An 比较： An：每条谱线代表一个完整的谐波分量的幅度，物理意义明确。 Fn：从数学上将 cosnt 分成 e jnΩt和 e -jnΩt，有负频率，没有物理意义。变化趋 势一致都可进行信号的频谱分析。｜Fn｜=(1/2)An. 3、周期信号频谱的特点：离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。 二、周期矩形脉冲的频谱。 f(t)幅度为 1，脉冲宽度为;周期为 T. 1、求频谱：f(t)= nejnΩt Fn=(1/T) f(t) e -jnΩt dt=(1/T) e -jnΩt dt =(/T)[sin(n)/(n)]=(/T)[sin(n/2)/(n/2)] = (/T)Sa(n/2) 或=2/T. n=(/T)[sin(n2/2T)/(n2/2T)] =(/T)Sa(n/2). N=0,1,2 (1)

f(t)=-(τ/T)Sa(nπτ/2)e°是指数形式的付里叶级数展开式。 由(1)式画出矩形脉冲信号频谱图。设T=4τ Fn=(τ/4τ)Sa(nrτ/4τ)=(1/4)[sin(n/4)/(n/4)] sin(nr)/(nπ) n=0Fo=1/4=0.25[∵Sa(x)=1,当x0时] n=1F1=sin(x/4)/x=0.225 4 salz n=2F2=sin(x/2)/2r=0.16 n=3F3=sin(3x/4)/3x=0.075 n=4F=sin(π)/4x=0. n=5Fs=sin(5π/4)/5兀=-0.045 n=6F6=sin(3/2)/6=-0.053.n=7F=sin(7π/4)/7=0.032 n=8F8=sin(2π)/8兀=0 特点:1、是离散的,仅含有=nΩ的各分量。(n取整数)。 2、谱线间隔为g2(g=2π/T) T个间隔小,密 T间隔大,疏 3、第一零点在2π/τ处,与τ有关tτ↑主瓣宽 主瓣窄。 2、脉冲宽度与频谱的关系:;直流分量F。=τ/T↓ 频带宽度AF=1/τ个 保持第一零点内能量不变

10  f(t)= (/T)Sa(n/2) e jnΩt 是指数形式的付里叶级数展开式。 由（1）式画出矩形脉冲信号频谱图。设 T=4 Fn=(/4)Sa(n/4)=(1/4)[sin(n/4)/(n/4)] = sin(n)/(n) n=0,1,2 n=0 F0 =1/4=0.25 [∵Sa(x)=1,当 x→0 时] n=1 F1= sin(/4)/=0.225. n=2 F2= sin(/2)/2=0.16 n=3 F3= sin(3/4)/3=0.075. n=4 F4= sin()/4=0. n=5 F5= sin(5/4)/5=-0.045. n=6 F6= sin(3/2)/6=-0.053. n=7 F7= sin(7/4)/7=-0.032. n=8 F8= sin(2)/8=0. 特点：1、是离散的，仅含有=n的各分量。(n 取整数)。 2、谱线间隔为（=2/T） T 间隔小，密 T 间隔大，疏 3、第一零点在 2/处，与有关  主瓣宽  主瓣窄。 2、脉冲宽度与频谱的关系： 直流分量 F0=/T 频带宽度F=1/ ∴ 保持第一零点内能量不变