第六章离散时间系统的Z域分析 ￡要内容:离散时阃信号的2域分析 离散时阃系统的2域分析 离散时闻系统数与系统特咝 离散时间系统的模拟 §6.1z变换 双边Z变换定义 双边Z变换 F(=) k]=-k Z反变换:k]=25F(=) C为F(z)的ROC中的一闭合曲线 物理意义:将离散信号分解为不同频率复指数ek的线性组合 二、单边Z变换定义 单边Z变换 F(=) f[k1= A=( Z反变换: ftk F(=) 2 其中,C为F(z)的ROC中的一闭合曲线。使级数收敛的所有z值范围称作 F(=)的收敛域,用符号ROC( (region of convergence)表示。 三、收敛域(ROC) 1有限长序列F(=)=∑mk ROC: E>0
第六章 离散时间系统的 Z 域分析 主要内容：离散时间信号的 Z 域分析 离散时间系统的 Z 域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟 §6.1 Z 变换 一、双边 Z 变换定义 双边 Z 变换 C 为 F(z) 的 ROC 中的一闭合曲线。 物理意义：将离散信号分解为不同频率复指数 esTk 的线性组合 二、单边 Z 变换定义 单边 Z 变换 Z 反变换： 其中，C 为 F(z) 的 ROC 中的一闭合曲线。使级数收敛的所有 z 值范围称作 F(z)的收敛域，用符号 ROC (region of convergence)表示。 三、收敛域（ROC) 1.有限长序列 F z z dz j f k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − = k k F z f k z − = ( ) = [ ] 0 k N k N F z f k z − = ( ) = [ ] 2 1 ROC: z 0 k k F z f k z − =− ( ) = [ ] Z 反变换： F z z dz j f k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − =
10≤k≤N-1 例:f[k]= 0其它 RNLi N F(=) 2.右边序列 flk ROC R 例:f[k]=a4[k A Im() 四、常用序列的Z变换 l)z{Sh]}=1,z≥0 2)∠{ak]}= 3) Ze/oFulk] 120--1 1-cos Q20 =-+isin 222- 1-22- cos Q+2-2 coS(Q2ok )u[k]< 2- coS +2 sin sin( @ k )u[k]t 2二cosg2。+
2. 右边序列 四、常用序列的 Z 变换 [ ] 0 1 0 1 [ ] R k k N f k = N − = 其它 例： 1 1 0 1 1 ( ) − − − − = − − = = z z F z z N k N k z 0 k k N F z f k z − = ( ) = [ ] 1 ROC z Rf f[k] a u[k] k 例： = 1 0 1 1 ( ) − − = − = = az F z a z k k k ROC : z a Im(z) Re(z) Rf 1) Z{[k]} =1, z 0 z a z Z u k k − = −1 1 1 2) { [ ]} 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 cos 1 cos sin 1 1 3) { [ ]} 0 0 − − − − − − + − + = − = z z z j z e z Z e u k j j k 2 0 1 1 0 0 1 2 cos 1 cos cos( ) [ ] − − − − + − ⎯→ z z z k u k 2 0 1 1 0 0 1 2 cos sin sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k
§6.2Z变换的主要性质 f4<>F1(=)>R f2[]←→F2()>R2 1线性特性 [k]+b2[k]>aF1(二)+bF2(=) =>max(Ri, Rr2) 例:R[k]=4k]-[k-N 1-z F(z) 0 2.位移特性 因果序列的位移 flk-n]<>=F() ROC=R, 非因果序列的位移 k+1 k Z{f[k+1]ak]}=x(F(=)-f[0]) 例:F()=1/(z-a)|>a求[k 解: F(2= 由因果序列的位移特性 ∫[k]=z{F(=)}=a-u[k-1 3.指数加权特性 a^/[k]2>F(=/a) =>a
§6.2 Z 变换的主要性质 1.线性特性 2．位移特性 例：F(z)=1/(z−a) |z| a 求 f [k]。 解： 由因果序列的位移特性 3.指数加权特性 1 1 1 [ ] ( ), Rf f k ⎯→F z z 2 2 2 [ ] ( ), Rf f k ⎯→F z z [ ] [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 af k + bf k ⎯→aF z + bF z R [k] u[k] u[k N] 例： N = − − 1 1 1 1 1 ( ) − − − − − − = z z z F z N 0 1 1 1 − − = − − z z z N max( , ) Rf 1 Rf 2 z 因果序列的位移 f [k − n] z −nF(z) ROC = Rf 非因果序列的位移 f [k] k 0 f [k +1] k 0 f [k − 2] k 0 Z{ f [k +1]u[k]} = z(F(z) − f [0]) 1 1 1 1 ( ) − − − = az F z z [ ] { ( )} [ 1] 1 1 = = − − − f k Z F z a u k k a f[k] F(z/ a) k ⎯Z→ a Rf z
sin(20k){k]<> sin S202 2z-cOsg2。+z 由因果序列的位移特性 a sin( ok )u[k]e> sin Q2o(=/a) 2(=/a)cos20+(=/a) a2-2a=-cos_20+ 4.Z域微分特性 dF k/[k]<>一 >R 例:已知a^[k]k21 求z{(k+1)a4[k]} 解:(k+1)a4u4[小 ÷+()(-1-a(-1)=2 5.序列卷积 升[k]*f2[小]>F1(z)F2(=) =Pmax(rn, Re 证:Z4*f小}=2乙k-m]} ∑[nz/k-n} F()∑fn F1(z)F2(=) 例:z∑几}=21]*}=F(=)
︱Z︱> 解： 由因果序列的位移特性 2 0 1 1 0 0 1 2 cos sin sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k 2 0 1 1 0 0 1 2( / ) cos ( / ) sin ( / ) sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k k z 1 dz dF z kf k z ( ) [ ]⎯→− Rf z (k +1)a k u[k]⎯Z→ 1 2 2 1 (1 ) ( 1)( )( 1) ( ) 1 1 − − − − − − − + − − az a z z az 1 2 (1 ) 1 − − = az {( 1) [ ]} , 1 1 [ ] 1 Z k a u k z a az a u k k k Z + − ⎯→ − 求 例：已知 5. 序列卷积 [ ] [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 f k f k ⎯→F z F z |z|>max(Rf1, Rf2) Z{ f [k]u[k]} = 1 1 ( ) − − z F z { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} Z f 1 k f 2 k Z f 1 n f 2 k n n 证： = − = = { [ ]} 0 Z f n k n 例： [ ] { [ ]} f 1 n Z f 2 k n n = − n n F z f n z − = ( ) [ ] 2 1 ( ) ( ) 1 2 = F z F z 4. Z 域微分特性 2 0 2 1 1 0 2 cos sin − − − − + = z z z
6.初值与终值定理 f0]=lmF(=) ∞]=im(二-1)F(=) z→l 应用终值定理时,只有序列终值存在,终值定理才适用。 §6.3逆Z变换 定义 flk F(=)=k 2丌 C为F(z)的ROC中的一闭合曲线 ∑Res{F(-)2+}= 为F(=)=k-1在C中的极点 计算方法 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法 二、部分分式法进行Z反变换 有理真分式,分母多项式无重根 F()=∑ P;2 各部分分式的系数为 =(1-P1=-)F(z) -Pi 2.有理真分式,分母多项式在zu处有阶重极点 F(z)= 1-p2 2 (-i)! de 其中i=1,1 3.假分式
6. 初值与终值定理 应用终值定理时，只有序列终值存在，终值定理才适用。 §6.3 逆 Z 变换 一、定义 计算方法： • 幂级数展开和长除法 • 部分分式展开 • 留数计算法 二、部分分式法进行 Z 反变换 2. 有理真分式，分母多项式在 z=u 处有 l 阶重极点 f[0] lim F(z) z→ = [ ] lim( 1) ( ) 1 f z F z z = − → F z z dz j f k k c 1 ( ) 2 1 [ ] − = C 为 F(z) 的 ROC 中的一闭合曲线。 i z z k i F z z = − = Re s{ ( ) } 1 zi 为 F(z)z k−1 在 C 中的极点 1. 有理真分式，分母多项式无重根 1 1 1 ( ) − = − = p z r F z i i n i 各部分分式的系数为 pi i i z r p z F z = − = (1− ) ( ) 1 i i l i i i n l i uz q p z r F z 1 (1 ) ( ) 1 1 1 1 − = − − = − + − = i l uz F z u l i z q z u l l i l i l i i 1, (1 ) ( ) , d( ) d ( ) ( )! 1 1 1 = − − − = = − − − − − 其中 3. 假分式
F()=∑k B1(二 A( 多项式 有理真分式 例:F(=)= (1-2=)(1-4x) |>4,求[k] B 解:F()= 1-2z-1(1-2z-) A (-2公F(-2 B=(1-2=-)2F()2=-1 (1-4-)F()=4=4 八[k]=[22-(k+1)2+444k 4.复根时部分分式展开,可以直接利用 i( Q2 k)u[k] Q sn(2(k+1)LA11-2-cos920+2 例:F(二)= >,求八k] 解:F(2)= 1+(/a F1(z) 1+z f lk=sin((k+D)u[kI
4. 复根时部分分式展开, 可以直接利用 多项式 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 − − − − = = + A z B z F z k z i i m n i 有理真分式 1 1 2 1 1 2 (1 2 ) 1 4 ( ) − − − − + − + − = z C z B z A F z (1 4 ) ( ) 4 4 1 = − = = − z C z F z (1 2 ) ( ) 2 1 1 2 = − = = − − z B z F z [ ( )(1 2 ) 2 ( 2) 1 2 1 2 1 − = − − = = − − z F z z dz d A 4, [ ] (1 2 ) (1 4 ) 1 : ( ) 1 2 1 z f k z z 例 F z 求 − − = − − 解: f[k] [ 2 2 (k 1)2 4 4 ]u[k] k k k = − − + + 2 0 1 1 0 0 1 2 cos sin sin( ) [ ] − − − − + ⎯→ z z z k u k Z 2 0 1 0 0 1 2 cos sin sin( ( 1)) [ ] − − − + + ⎯→ z z k u k Z 解: ( ) , , [ ] 2 2 2 z a f k z a z 例：F z 求 + = 1 2 1 1 ( ) − + = z F z ( 1)) [ ] 2 [ ] sin( 1 f k = k + u k 2 1 ( / ) 1 ( ) − + = z a F z
由指数加权性质 fk=a"cos(k)u[k] 例 F() +201+2-+24>0 求几k Bz+ C 解 B,C用待定 系数法求 A=4/3.B=-2/3.C=-1/3 1+z-+z-=1+2cos(丌/3)=-+z sin( k) sin((k+1)) ]=[(-2}“3m(z/3)3sm(z/3)灯 §6.4离散系统的z域分析 时域差分方程一解微分方程→时域响应 解代数方程 z域代数方程 Z域响应Yd 差分方程的z域求解 yk+ayylk-1+a2ylk-2=bof[k]+bftk-1k20
例 求 f[k]。 A=4/3, B=−2/3, C= −1/3; §6.4 离散系统的 Z 域分析 一、差分方程的 z 域求解 ) [ ] 2 f [k] a cos( k u k k 由指数加权性质 = , 0 (1 2 )(1 ) 1 ( ) 1 1 2 + + + = − − − z z z z F z 1 2 1 1 1 2 1 ( ) − − − − + + + + + = z z Bz C z A 解 F z : 1 2 1 2 1 1 2cos( / 3) − − − − + z + z = + z + z ] [ ] 3sin( / 3) ( 1)) 3 sin( 3sin( / 3) ) 3 2sin( ( 2) 3 4 [ ] [ u k k k f k k + = − − − B, C 用待定 系数法求 时域差分方程 时域响应 y[k] 解微分方程 Z 域代数方程 解代数方程 y[k]+ a1 y[k −1]+ a2 y[k − 2] = b0 f[k]+ b1 f[k −1] k 0 Z 域响应 Y[z]
初始状态为y-1,y-2 对差分方程两边做Z变换,利用 z{{k-1]k]}=xY()+y-1 Z{{k-2Jk]}=z-Y(=)+y-1]+y{-2 Y(二)+a2Y()+a-1]+a2Y()+a2y-2]+a2y-1 =bF(-)+b2F(=) Y(-) 1y-]-a2y-2]-a2--,b0F+b1 F(=) +a12+ 1+a1z-1+a1z Yx(=) a1y-]a2y-2]+a2y-1 1+a,z1+a,z2 Y(=) 6oF+ b F(二) 1+a1z-1+a,z k=z(=)+y(=) [例1]:yk]-4yk-]+4y{k-2]4(-3k] y-1}=0,y-2=2,求y2|小y、y 解: Y(-)4{=1(二)y{-1}+4{=2X()+=y-1]+y{-2]}=4F() Y() 4-1-4y-l-4y-2+4F( 1-4-+4z 4z-+4 零输入响应为 4y-1-4x-y-1-4y{-2 2 1-4z-1+4 (1-2
零输入响应为 对差分方程两边做 Z 变换，利用 初始状态为 y[−1], y[−2] ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1] ( ) [ 2] [ 1] 1 0 1 1 2 2 2 1 2 1 1 b F z b z F z Y z a z Y z a y a z Y z a y a y z − − − − = + + + − + + − + − { [ 1] [ ]} ( ) [ 1] 1 − = + − − Z y k u k z Y z y { [ 2] [ ]} ( ) [ 1] [ 2] 2 1 − = + − + − − − Z y k u k z Y z y z y ( ) 1 1 [ 1] [ 2] [ 1] ( ) 2 2 1 1 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 2 F z a z a z b F b z a z a z a y a y a y z Y z − − − − − − + + + + + + − − − − − − = 2 2 1 1 1 1 2 2 1 [ 1] [ 2] [ 1] ( ) − − − + + − + − + − = − a z a z a y a y a y z Y z x ( ) 1 ( ) 2 2 1 1 1 0 1 F z a z a z b F b z Y z f − − − + + + = [ ] ( ) ( ) 1 y k Z Y z Y z = x + f − [例 1]：y[k]−4y[k−1]+4y[k−2]=4(−3)ku[k] y[−1]=0 ，y[−2]=2，求 yx [k]、yf[k]、y[k]。 解: Y(z)−4{z −1Y(z)−y[−1]}+4{z −2Y(z)+z −1y[−1]+y[−2]}=4F(z) 1 2 1 2 1 1 4 4 4 ( ) 1 4 4 4 [ 1] 4 [ 1] 4 [ 2] ( ) − − − − − − + + − + − − − − − = z z F z z z y z y y Y z 1 2 1 2 1 (1 2 ) 8 1 4 4 4 [ 1] 4 [ 1] 4 [ 2] ( ) − − − − − − = − + − − − − − = z z z y z y y Y z x
yKk]=-8(k+1(2),k≥0 fk]=(-3)u小>F()= 1+3z 零状态响应为 yr()= (1-2二-)2(1+3z 1.6 0.96 144 (1-2 1+3: yk=[3.2(2-1+2.56(2y+1.44(-3 [例2已知一LTI离散系统满足差分方程 2川k+2+3y++/k+2+/(k+-]k20 y-]=2,y-2]=-1,f[k]=[k 由z域求系统零输入响应,零状态响应和完全响应 解:令kk-2.则差分方程可改写为 2y{k]+3y{k-1]+yk-2]=f[k]+f[k-1-f[k-2] 对差分方程两边做z变换 2(z)+3(Y()+y-1)+(=2Y(x)+y-1=-1+y-2]) (1+x--x-)F(二) Y()=-3+-+y-1-+y211+-1-2F() 2+3z-1+ 零输入响应为 Y(二) 3y-1+y{-1-+y{-2] 5+2z 2+3x-1+2 2+3z-1+z 0.5 0.5
零状态响应为 yf[k]=[3.2k(2)k−1+2.56(2)k+1.44(−3)k]u[k] y [k] = −8(k +1)(2) , k 0 k x 1 1 3 1 [ ] ( 3) [ ] ( ) − + = − ⎯→ = z f k u k F z k z (1 2 ) (1 3 ) 1 ( ) −1 2 −1 − + = z z Y z f 1 2 1 1 1 3 1.44 1 2 0.96 (1 2 ) 1.6 − − − + + − + − = z z z 解：令 k=k−2, 则差分方程可改写为 [例 2]已知一 LTI 离散系统满足差分方程 − = − = − = + + + + = + + + − [ 1] 2, [ 2] 1, [ ] [ ] 2 [ 2] 3 [ 1] [ ] [ 2] [ 1] [ ] 0 y y f k u k y k y k y k f k f k f k k 由 z 域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应 2y[k]+ 3y[k −1]+ y[k − 2] = f [k]+ f [k −1]− f [k − 2] 对差分方程两边做 z 变换 (1 ) ( ) 2 ( ) 3( ( ) [ 1]) ( ( ) [ 1] [ 2]) 1 2 1 2 1 z z F z Y z z Y z y z Y z y z y − − − − − = + − + + − + + − + − 1 2 1 2 3 3 [ 1] [ 1] [ 2] ( ) − − − + + − + − + − = − z z y y z y Y z ( ) 2 3 1 1 2 1 2 F z z z z z − − − − + + + − + 零输入响应为 1 2 1 2 3 3 [ 1] [ 1] [ 2] ( ) − − − + + − + − + − = − z z y y z y Y z x 1 2 1 2 3 5 2 − − − + + + = − z z z 1 1 1 0.5 0.5 1 3 − − + + + − = z z
零状态响应为 (1 1/6-0.5 5/6 1+0.5z y[4=2{y()}=1/6-0.5(-1)+(5/6-05)}4l {]=y【]+y小]={/6-35(-1)+(4/3)-05)小 系统函数 (1)定义:系统在零状态条件下,输出的z变换式与输入的z变换式之比 记为H(=)。 z{y[k}Y(=) H(二)= F(=) (2)H(x)与hk的关系 H(o= Z[kI Z(hk]=Z() Z{/k]}1 H(=)=Z{h[k]} hk]=z[H(=) (3)求零状态响应 flk hk y=几*h F(-) H(=) Y()=F()H() (4)求H()的方法: ①由系统的冲激响应求解:H(2)=Z{h[k]}
零状态响应为 二、系统函数 ①由系统的冲激响应求解：H(z)=Z{h[k]} 1 2 1 1 2 1 1 2 3 (1 ) ( ) − − − − − + + − + − = z z z z z Y z f 1 1 1 1 0.5 5/ 6 1 0.5 1 1/ 6 − − − + + + − + − = z z z [ ] { ( )} {1/ 6 0.5( 1) (5/ 6)( 0.5) } [ ] 1 y k Z Y z u k k k f = f = − − + − − y[k] y [k] y [k] {1/ 6 3.5( 1) (4/3)( 0.5) }u[k] k k = x + f = − − + − (1)定义：系统在零状态条件下，输出的 z 变换式与输入的 z 变换式之比， 记为 H(z)。 ( ) ( ) { [ ]} { [ ]} ( ) F z Y z Z f k Z y k H z f f = = (2) H(z)与 h[k]的关系： H(z) = Z{h[k]} [ ] [ ( )] 1 h k Z H z − = { [ ]} 1 { [ ]} { [ ]} { [ ]} ( ) Z h k Z h k Z f k Z y k H z f = = = (3)求零状态响应： (4)求 H(z)的方法： h[k] H(z) f [k] yf [k]=f[k]*h[k] F(z) Yf (z)=F(z)H(z)