《信号与线性系统分析》课程教学资源（教案讲义）第七章 系统函数

第七章系统函数 系统分类: 连续系统离散系统 分析方法:时域:h(t) h(k) 冲击响应/单位响应 ↑逆 ↑逆 复频域:H(s) H(z)系统函数H(·) S=JW 频域:H(w) 频率响应 系统的研究: 系统分析:给定系统→H(·)→系统的特性 系统综合:给定要求(如幅频特性)确定结构和参数→H(∽) 本章是在前几章的基础上加以概括和引伸 主要内容 H(·)与系统的特性(时域响应、频域响应) 二系统的因果性和稳定性及判别准则 三信号流图 四系统模拟。由系统函数→框图

1 第七章 系统函数 系统分类： 连续系统 离散系统 分析方法：时域： h(t) h(k) 冲击响应/单位响应 ↑逆 ↑逆 复频域: H(s) H(z) 系统函数 H(·) ↓s = jw ↓z = e jwT 频域: H(jw) H( e jwT ) 频率响应 系统的研究: 系统分析: 给定系统→H(·)→系统的特性 系统综合: 给定要求(如幅频特性)→确定结构和参数→H(·) 本章是在前几章的基础上加以概括和引伸 主要内容: 一 H(·)与系统的特性(时域响应、频域响应) 二 系统的因果性和稳定性及判别准则 三 信号流图 四 系统模拟。 由系统函数→框图

§7.1系统函数与系统特性 H(·)的零点与极点 极点:A(·)=0的根,P,H(P1) 零点:B(·)=0的根,5;,H(5)=0 类型:实数、共轭虚数、共轭复数,一阶或二阶 二H()与时域的响应关系:H(·)←h(·) 1连续系统:H(s)←→h(t)以虚轴为界 结论:①H(s)的极点位置→h(t)的函数形式 极点在左半开平面→h()是衰减的,h(t)→∞-0, 系统是稳定的 ○虚轴上的一阶极点→h(t)是幅度稳定,临界稳定 ①极点在右半开,和虚轴上二阶以上→h()是增长的, 系统不稳定 稳定性:若输入有界,则输出有界。若(·)<∞,则y(·) 离散系统:H(z)→h(k)以单位圆为界 结论:OH()的极点位置→h(k)的序列形式 Q极点在单位圆内→h(k)是衰减的,k→∞,h(k)→0 系统是稳定的 ○单位圆上的一阶极点→h(k)是幅度稳定,临界稳定 Q极点在单位圆外,和单位圆上二阶以上→hk)是增长的, 系统不稳定

2 § 7.1 系统函数与系统特性 一 H(·)的零点与极点 H(·)= ( ) ( ) • • A B 极点：A(·)=0 的根， i，H( i )→∞ 零点：B(·)=0 的根， i  ，H( i  )=0 类型：实数、共轭虚数、共轭复数，一阶或二阶 二 H(·)与时域的响应关系： H(·) h(·) 1 连续系统: H(s) h(t) 以虚轴为界 结论：○1 H(s)的极点位置→h(t)的函数形式 ○2 极点在左半开平面→h(t)是衰减的，h(t)| t→→0， 系统是稳定的 ○3 虚轴上的一阶极点→h(t)是幅度稳定，临界稳定 ○4 极点在右半开，和虚轴上二阶以上→h(t)是增长的， 系统不稳定 稳定性：若输入有界，则输出有界。若|f(·)|＜∞，则| yf(·)|＜∞ 2 离散系统：H(z) h(k) 以单位圆为界 结论：○1 H(z)的极点位置→h(k)的序列形式 ○2 极点在单位圆内→h(k)是衰减的，k→∞，h(k)→0 系统是稳定的 ○3 单位圆上的一阶极点→h(k)是幅度稳定，临界稳定 ○4 极点在单位圆外，和单位圆上二阶以上→h(k)是增长的， 系统不稳定

三极、零点与频率响应的关系: 1连续系统 ∏(-5 H(s)=_/=1设极点都在左半开平面,收敛域含虚轴 I(s-Pi) i=1 川w-5j) HGGFH(Sls=jw= 画幅频、相频特性 下面用矢量分析法分析,主要是定性分析其变化规律 矢量:pi|pi 差矢量:j-p 幅角g 幅角z 0 令j-p=A;e/O o-s=Bi e/v H(jG)=mn21B2…Bmg/V+y+…) j(6+2+…6,) H(o)=m2Bm(a)=(v1+v2+wym)(91+a2+-an) A142…A ω从0~∞时,可得到其幅频特性和相频特性曲线

3 三 极、零点与频率响应的关系： 1 连续系统 H (s)=   = − = − n i pi s m j j bm s 1 ( ) 1 (  ) 设极点都在左半开平面，收敛域含虚轴 H (jω)= H (s)|s=jw =   = − = − n i pi jw m j j bm jw 1 ( ) 1 (  ) 画幅频、相频特性 下面用矢量分析法分析，主要是定性分析其变化规律 矢量：pi | pi | jω |ω| 差矢量： jω- pi 幅角  i 幅角 2  令 jω- pi =A i i j e  jω-ζi =Bj j j e  H (jω)= ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 n m j A A An e j bmB B Bme           + + + + = H (ω)= A A An bmB B Bm   1 2 1 2 () =( 1 + 2 + m )- ( 1 + 2 + n ) ω从 0～∞时，可得到其幅频特性和相频特性曲线

例71-1研究RC低通网络电压转移函数的频率响应Ha)=y20 U/1(o) 解:H(s)= RC 极点 H()= RO 令/+BC=A910A=(02+(pC A=arct G cR H(OFRCA p( 0-0=-arctg ocR 定性分析:o从0~∞时,A单调增大,θ从0~x H()单调下降,()从0~-x 例71-2典型的二阶系统,RIC串联电路,求动点导纳y=1(的 U/1(s) 频率特性 解:H(s 设a>0,02 s2+2a+02(s-Ps-P2) 零点:s=0 极点:p ±jB 其中:a=衰减因素B=V∞2-a 2L 谐振角频率 只讨论α<ωo时的频率响应,先画极、零图

4 例 7.1-1 研究 RC 低通网络电压转移函数的频率响应 H(jω)= 1( ) ( ) 2   U j U j 解：H (s)= SC R SC 1 1 + = RC S RC 1 1 1 + • 极点 S= - RC 1 H (jω)= RC j RC 1 1 1  + 令   j Ae RC j + = 1 A= 2 ) 1 ( 2 RC  + θ=arctgωcR H (ω)= RC A 1 1 () =0-θ= - arctgωcR 定性分析：ω从 0～∞时，A 单调增大，θ从 0～ 2  H (ω)单调下降， () 从 0～ - 2  例 7.1-2 典型的二阶系统，RLC 串联电路，求动点导纳 y(s)= 1( ) ( ) 1 U s I s 的 频率特性 解：H (s) = 2 2 0 2 s + s + s = ) 2 (s p1)(s p s − − 设α＞0，ω0 2 ＞α2 零点：s=0 极点：p1，2 = - 2 2   j 0 − =-  j 其中： L r 2  = 衰减因素 2 2  = 0 − LC 1 0 = 谐振角频率 只讨论α＜ω0时的频率响应，先画极、零图

y() j 62 j B,,j(v-,-0.) H(10)(o-PX-p)·e H(ω) q()=v-(1-b2) 定性分析:从0~∞ ①o=0B=0,A1=A= h=-62 q() ↑B和A2A1↓ +02↑W= y(o)↑ o=00y(o)=4为极大值00)=0+a2=x B、A2、A1y(o) +2↑o(m) h+b=r()=-z 2 全通函数:|H(o)为常数 设有二阶系统H(s),左半平面有一对极点p,2=-a±jB 右半平面有一队零点ξ1,2=a±jB

5 H (jω)= ( j p1)( j p2) j  −  −  = ( ) 1 2 •  −1 − 2 j e A A B H (ω) = A1A2 B () = − (1 −2 ) 定性分析：ω从 0～∞ ○1 ω=0 B=0，A1=A=ω 1 = − 2 2   = y (ω)=0 2 ( )    = ω↑ B 和 A2↑ A1↓ 1 + 2 ↑ 2   = y (ω) ↑ () ↓ ○2 ω=ω0 y (ω)= 2 1 为极大值 () = 0 2 1 2   + = ω↑ B、A2、A1↑ y (ω) ↓ 1 + 2 ↑ () ↓ ○3 ω→∞ y (ω)→0 1 +2 =  2 ( )    = − ⚫ 全通函数： |H(jω)|为常数 设有二阶系统 H(s)，左半平面有一对极点 p1，2 = -  j 右半平面有一队零点ξ1，2 =  j

Bu p1×的 H(S)= 5i)(s-52) (s-P1)s-P2) W/a)=(o-51o-52)=B1B2,e/(+--) (o-p1)o-p2)442 由图:对所有o,有A1=B1A2=B ∴|H(o)= BIB A42 结论:凡极点位于左半开平面,零点位于右半开平面,且以jo轴镜 像对称,此系统函数即为全通函数 最小相移函数 零点位于左半开平面的系统函数,其相频特性(ω)最小 一阶p,2=BHB、 eJB 共轭极点 h(kF2 kicos (Bk+e).u(k) 二阶实或共轭 h(k)=Ck·u(k) k↑h(k)↑ 二阶以上同)hk)=Ckos(Bk+0)·u(kyk→∞h(k)→a (3)极点在单位圆外:a>1 一阶实极点p=a,h(k=ak·u(k) k 阶共轭极点:p=aeBh(k) c ak cos(Bk+0)u(k)Jh(k)t 高阶情况同上 6

6 H(s)= ) 2 ( 1)( ( 1 )( 2 ) s p s p s s − − −  −  H(jω)= ( 1)( 2) ( 1 )( 2 ) j p j p j j − − − −       = ( ) 1 2 1 2 •  1 + 2 −1 − 2 j e A A B B 由图：对所有ω，有 A1=B1 A2 =B2 ∴ |H(jω)|= 1 2 1 2 A A B B =1 结论：凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，且以 jω轴镜 像对称，此系统函数即为全通函数 ⚫ 最小相移函数 零点位于左半开平面的系统函数，其相频特性 () 最小 一阶 p1，2 = j e  H(z)=  j z e k z j z e k z − − + − * 1 1 共轭极点 h(k)=2|k1|cos(βk+θ)·u (k) 二阶实或共轭： h(k)= Ck·u (k) k↑ h(k)↑ （二阶以上同） h(k)=Ckcos (βk+θ)·u (k) k→∞ h(k)→∞ (3) 极点在单位圆外：|a|＞1 一阶实极点 p=a，h(k)=ak·u (k) k↑ 一阶共轭极点：p=a j e  h(k)=C a k cos (βk+θ)·u (k) h(k)↑ 高阶情况同上

结论: AH(z)的零、极点决定rh(k)形式由极点决定 幅度和相角由零、极点共同决定 B单位圆内的极点,h(k)为衰减序列,k→∞h(k)→0,暂态分量 C单位圆上的一阶极点,h(k)为等幅序列,k→∞h(k)有限值, 稳态分量 D单位圆上的二阶及以上极点h(k)为等幅序列 单位圆外的极点 2离散系统:H(z)零、极点He0)关系 bml(=-5/) H(z)= 若极点均为单位圆内,收敛域含单位圆 ∏(-P) bm1o-5)bm∏Be 频率响应:H(e/or)=-/=l j8 (0-p) A bmB1B2…Bm2e/(1+2+,) AA1…,An,e(+2+.O,) Hd(o)eJp,@) 幅频:Ho=He10)=bhnB2…Bm A42…An 相频:gd(o)=(v+v2+…vm}(a+02+…On) 分析:oT从0~2π,即o从0~亚z,z由z=1沿单位圆逆时针方 向旋转一周。Hd(ω)、ga(o)随之变化

7 结论： A H(z)的零、极点决定 h(k) 形式由极点决定 幅度和相角由零、极点共同决定 B 单位圆内的极点，h(k)为衰减序列，k→∞ h(k)→0，暂态分量 C 单位圆上的一阶极点，h(k)为等幅序列，k→∞ h(k)有限值， 稳态分量 D 单位圆上的二阶及以上极点 h(k)为等幅序列 单位圆外的极点 k→∞ h(k)→∞ 2 离散系统：H(z)零、极点 H( j T e  )关系 H(z)=   = − = − n i pi z m j j bm z 1 ( ) 1 (  ) 若极点均为单位圆内，收敛域含单位圆 频率响应：H( j T e  )=   = − = − n i pi j m j j bm j 1 ( ) 1 ( )    =   = = n i j e Ai m j j e bm B j i j 1 1   = ( ) 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 n m j A A An e j bmB B Bme           + + + + =Hd(ω)  () d j e 幅频：Hd(ω)= H( j T e  )= A A An bmB B Bm   1 2 1 2 相频： d () =( 1 + 2 + m )- ( 1 + 2 + n ) 分析：ωT 从 0～2π，即ω从 0～ T 2 ，z 由 z=1 沿单位圆逆时针方 向旋转一周。Hd(ω)、d () 随之变化

例1H(z) 求频率响应 1-0.5z 1z-0.5 解:极点z=0.50.5,零点z=1 定量 H(ejoTI+eu 1+ cos or-jsin aT- B,j(y-8 1-0.5e-/071-0.5c0s07+0.5inm7A B=V(+cosa)2+(simon)=2(+Cost y actg 1+Cos oT A=y(1-0.5c007)2+(0.5sm2o7)=√125-cos7 0.sin oT 0= arct 0.5cosoT Ha(o厂= B (+cos oT) A V1.25-cosoT 是ω的函数,O从0 qd(0)=y-6 可逐点画出曲线 2定性分析: 万 Re[可 p(6) 2兀日(oTs) 丌3丌 ①ω=0,A=0.5,B=2, Ha(ok b ψ=0=0 Pd(o)=0 0<<z,A单调↑,B单调↓,H()=单调↓

8 例1 H(z)= 1 1 0.5 1 1 − − − + z z = 0.5 1 − + z z ，求频率响应 解：极点 z=0.5＜1，收敛域含单位圆，|z|＞0.5，零点 z=-1 1 定量： H( j T e  )= j T e j T e   − − − + 1 0.5 1 = T j T T j T     1 0.5cos 0.5sin 1 cos sin − + + − = j( − ) e A B B= ) 2 (sin 2 (1+ cosT) + T = 2(1+ cosT) T T arctg    1 cos sin + − = A= ) 2 (0.5sin 2 (1− 0.5cosT) + T = 1.25 − cosT T T arctg    1 0.5cos 0.5sin − = Hd(ω)= A B = T T   1.25 cos 2(1 cos ) − + 是ω的函数，ω从 0～ T 2 ， d ()= − 可逐点画出曲线 2 定性分析： ○1 ω=0，A=0.5， B=2， Hd(ω)= A B =ψ ψ=θ=0 d () =0 0＜ω＜ T  ，A 单调↑，B 单调↓，Hd(ω)= A B 单调↓

ψ、θ均↑,但ψ<θ,g(o)=中-0<0 A=1.5,B=0 Hao z,0=J pdlo) 丌 <<27 A+,B↑,Hd(o)= A ψ、θ均↑,但二者差值↓,gd(o)↑ ④=4,回到起始点o=0 特点:幅频和相频特性都以ω=2z周期性的重复 例2:二阶系统的频率特性 解:H(z) 零点:5=1+j√3= 极点 四个零、极点的关系:ξ 互为共轭倒数 4-2 oT 2+4e-J T oT 24 T 2+4e-/o7 (4eJoT-2+e or cost+jsn ar-2+4@T-j4sin @T 4 cosoT+4jsn oT-2+cosoT-jsin oT 4

9 ψ、θ均↑，但ψ＜θ， d ()=ψ-θ＜0 ○2 ω= T  ，A=1.5，B=0， Hd(ω)=0 ψ= 2  ， θ=π， d ()= 2  -π= - 2  T  ＜ω＜ T 2 ，A↓，B↑，Hd(ω)= A B ↑ ψ、θ均↑，但二者差值↓， d () ↑ ○3 ω= T 2 ，回到起始点ω=0 特点：幅频和相频特性都以ω= T 2 周期性的重复 例 2： 二阶系统的频率特性 解：H(z)= 4 1 2 2 1 2 4 2 − + − + z z z z 零点：ξ=1+j 3 2 3  j = e ξ* =1-j 3 2 3  j e − = 极点： p= 3 2 1 4 3 4 1  j + j = e p *= 3 2 1 4 3 4 1  j j e − − = 四个零、极点的关系：ξ= * 1 p ，ξ* = p 1 互为共轭倒数 H( j T e  ) = 1 4 1 2 1 1 2 4 − − + − − + z z z z j T z e  = = j T e j T e j T e j T e     − − + − − + 4 1 2 1 2 4 = (4 2 ) 4 1 2 4 j T e j T e j T e j T e     − − + − − + =4· T j T T j T T j T T j T         4cos 4 sin 2 cos sin cos sin 2 4cos 4sin + − + − + − + − = 4· T j T T j T     (5cos 2) 3 sin (5cos 2) 3sin − + − −

H(O)=4· coSOT-2)++(3sin or) 4 V(5cos@T-2)+(3sin oT) Pd(o)=arct 3sin @l_=-2arctg 3sin oT 5cosar+2 arct 5cos oT-2 分析:H(ω)与ω取值无关,始终为4,是全通系统 结论:零点与极点镜像对称于单位圆,5=→全通离散系统 Pi §72系统的因果性和稳定性 系统的因果性(物理可实现性) 因果系统是激励加入之前不会出现响应的系统 若f·)0o,即收敛坐标σo以 右的半平面;或因果系统的H(s)的极点都在收敛轴 s=00的左边。 ∵H(s)=h(t),对单边拉氏变换,Re]>00。对无oo具体要求 2离散系统: 定义:设激励fk=0,kpo,即为收敛圆po的 圆外区域

10 Hd(ω) = 4· 2 (3sin ) 2 (5cos 2) 2 (3sin ) 2 (5cos 2) T T T T     − + − + = 4 5cos 2 3sin ( ) + − = T T d arctg     - 5cos 2 3sin T − T arctg   = 5cos 2 3sin 2 − − T T arctg   分析：Hd(ω)与ω取值无关，始终为 4，是全通系统 结论：零点与极点镜像对称于单位圆，ξi= * 1 i p →全通离散系统 § 7.2 系统的因果性和稳定性 一 系统的因果性（物理可实现性） 因果系统是激励加入之前不会出现响应的系统。 若 f(·)＜0，t＜0，则 yf(·)=0，t＜0 1 连续系统 定义：设激励 f(t)=0，t＜0，如有 y(t)=0，t＜0，则称为因果系统 ○1 时域充要条件：系统的冲击响应 h(t)=0，t＜0 ○2 s 域：H(s)的条件：H(s)的收敛域是σ＞σ0，即收敛坐标σ0以 右的半平面；或因果系统的 H(s)的极点都在收敛轴 s=σ0的左边。 ∵H(s)=[h(t)]，对单边拉氏变换，Re[s] ＞σ0。对无σ0具体要求。 2 离散系统： 定义：设激励 f(k)=0，k＜0，如有 y(k)=0，k＜0，则称为因果系统 ○1 时域充要条件：系统的单位响应 h(k)=0，k＜0 ○2 z 域：H(z)的约束：H(z)的收敛域是|z|＞ρ0，即为收敛圆ρ0的 圆外区域