第四章傅里叶变换 第一部分 第二部分 引宣 §4.1正交函数 §4.2周期信号的频谱分析 §4.3典型周期信号的频谱 §44非周期信号的频谱分析 §4.5典型非周期信号的频谱
1 第四章 傅里叶变换 §4.1 正交函数 §4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱 §4.4 非周期信号的频谱分析 §4.5 典型非周期信号的频谱 第一部分 第二部分
引(言
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频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析,首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的,这方面的问题也称为傅里叶分析 (频域分析)。将信号进行正交分解,即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量,揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系,从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念
3 频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念
发展历史 1822年,法国数学家傅里叶( J Fourier,1768-1830)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论”,提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松( Poisson)、高斯( Guass)等人把这一成果应用到电学中去,得 到广泛应用 19世纪末,人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后,谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 ·在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中,傅里叶变换法 具有很多的优点 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力
4 发展历史 •1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” ，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力
主要内容 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论,引出 傅里叶变换,建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究,初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言,在进行频谱分析时,可以利用傅 里叶级数,也可以利用傅里叶变换,傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换,引入抽样定理
5 主要内容 •本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理
傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示” 1829年狄里赫利第 个给出收敛条件 ·拉格朗日反对发表 1822年首次发表在 “热的分析理论” 书中
6 傅里叶生平 • 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表在 “热的分析理论” 一书中
傅里叶( Jean Baptise Joseph fourier1768~1830) 法国数学家。1768年3月21日生于奥塞 尔,1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远 尽 征埃及,当过埃及学院的秘书。1801年回法 国,又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士,并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。 傅里叶,J.-B.-J. 在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示但他没有继续 从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法
7 傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 ) 法国数学家。1768年3月21日生于奥塞 尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远 征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法 国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。 在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法
在1759年拉格朗日( .L Lagrange表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究,1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中 宜布了任一的数都能够展成三角函数的无劣级数。这篇论文经J L拉格朗日,P-S拉普拉斯,A-M勒让德等著名数学家审查,由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾,而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献,其中基本上包括了他的数学 思想和数学成就
8 在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中 宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.- L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成 就
书中处理了各种边界条件下的热传导问题,以系统地运用三角 级数和三角积分而著称,他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅 里叶积分,这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言:“任意” 函数(实际上要满足一定的条件例如分段单调)都可以展开成三 角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普 遍性,但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求 解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展,特 别是数学物理等应用数学的发展;其次,傅里叶级数拓广了函数概 念,从而极大地推动了函数论的研究,其影响还扩及纯粹数学的其 他领域。 傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具,并且认为“ 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学 史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点
9 书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角 级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅 里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言： “任意” 函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三 角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普 遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求 解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特 别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概 念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其 他领域。 傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“ 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。 ” 这一见解已成为数学 史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点
傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”—傅里叶的第 个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点
10 傅立叶的两个最主要的贡献—— • “周期信号都可表示为谐波关系的正 弦信号的加权和”——傅里叶的第 一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点