第一章信号与系统的基本概念 1.1绪言 信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业(通信、信息 处理、自动化、计算机、系统工程)的必修课。重要性体现在两个方 面:一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础;二是上述各类 专业硕士研究生入学考试课程。 在教学计划中起着承前启后的作用,前期课程是高数、微分方程、 差分方程、工程数学中的积分变换(傅立叶变换和拉普拉斯变换), 还有电路分析基础;而其本身是后续专业课(通信原理、数字信号处 理)的基础。 信号 研究的主要内容:顾名思义系统 合成:信号一系统}→响应 一个典型的电系统一通信系统 信息源转换电信号 电信号还原受信者(声音、文字、图象) 发送设备 传输信道 接收设备 输入信号/微励 输出信号/响应 通信系统 ①系统:控制系统一→抽象为理想化的模型,讨论激励与响应的关系 经济系统 ②信号:时间的函数f(t),一维函数,确定信号
第一章 信号与系统的基本概念 §1.1 绪言 信号与系统是一门重要的专业基础课。是许多专业（通信、信息 处理、自动化、计算机、系统工程）的必修课。重要性体现在两个方 面：一是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础；二是上述各类 专业硕士研究生入学考试课程。 在教学计划中起着承前启后的作用，前期课程是高数、微分方程、 差分方程、工程数学中的积分变换（傅立叶变换和拉普拉斯变换）， 还有电路分析基础；而其本身是后续专业课（通信原理、数字信号处 理）的基础。 信号 研究的主要内容：顾名思义 系统 合成：信号 系统 响应 一个典型的电系统—通信系统 信息源 转换 电信号 电信号 还原 受信者（声音、文字、图象） 发送设备 传输信道 接收设备 输入信号/激励 输出信号/响应 通信系统 ○1 系统： 控制系统 抽象为理想化的模型，讨论激励与响应的关系 经济系统 ○2 信号：时间的函数 f(t)，一维函数，确定信号
信号与系统的关系:互相依存 信号是运载消息的工具,要很好的利用信号,需经过系统的传输 处理 系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组 合。离开了信号,系统就失去了意义 §12信号 定义:信号是带有信息的(如声音、图象等)随时间(或空间) 变化的物理量。 本课程主要研究电信号(电流、电压)。 二信号的分类:从不同的角度 1从函数的定义域(时间)是否连续: ①连续时间信号:在连续的时间范围内有定义。t是连续的,f (t)可是,也可不是 表达方式时间的函数(解析式),如f(t)=Asinπt 波形图表示: 上述两种表达方式,可以互换。信号和函数两个词可互相通用 ②离散时间信号:在一些离散的瞬间才有定义。t=kT点上有定义, 其余无定义
* 信号与系统的关系：互相依存 信号是运载消息的工具，要很好的利用信号，需经过系统的传输、 处理. 系统则是为传输信号或对信号进行处理而由元器件构成的某种组 合。离开了信号，系统就失去了意义. §1.2 信号 一.定义：信号是带有信息的（如声音、图象等）随时间（或空间） 变化的物理量。 本课程主要研究电信号（电流、电压）。 二.信号的分类：从不同的角度 1 从函数的定义域（时间）是否连续： ○1 连续时间信号：在连续的时间范围内有定义。t 是连续的，f （t）可是，也可不是 表达方式 时间的函数（解析式），如 f（t）=Asinπt 波形图表示： 上述两种表达方式，可以互换。信号和函数两个词可互相通用 ○2 离散时间信号：在一些离散的瞬间才有定义。t=kT 点上有定义， 其余无定义
序列f(k)=2k,k≥0 表达方式图形表示: 序列值f(k)={0、1、2、4、8、 f(kt) )f(k) 间隔相等kT 2从信号的重复性: ①周期信号:定义在(∞,+∞)区间,每隔一定时间T重复 变化 连续f(t)=f(t+mT) 离散f(k)=f(k+mK)K为整数 ②非周期信号:不具有周期性的信号 例:正弦序列f(k)=inkBβ为角频率,反映周期性重复的 速率,决定序列是否具有周期性 按定义:sinkβ=sin(β·k+m·2π) 86整数,是周期序列,k=12 z时 231 为有理数,是周期序列,k=31 B B=1时,2z=4m,为无理数,是非周期序列
序列 f（k）=2k，k≥0 表达方式 图形表示： 序列值 f（k ）= ｛0 、1 、2、4、8 、……｝ 2 从信号的重复性： ○1 周期信号：定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间 T 重复 变化 连续 f（t）=f（t+mT） 离散 f（k）=f（k+mK） K 为整数 ○2 非周期信号：不具有周期性的信号 例：正弦序列 f（k）=sinkβ β为角频率，反映周期性重复的 速率, 决定序列是否具有周期性 按定义：sinkβ=sin(β·k+m·2π) β= 6 时， 2 =12，为整数，是周期序列，k=12 β= 31 8 时， 2 = 4 31 ，为有理数，是周期序列，k =31 β= 2 1 时， 2 =4π，为无理数，是非周期序列 t f（kt） ⎯简化⎯→ f（k） 0 T 2T 3T 间隔相等 kT
3实信号:物理可实现的 复信号:实际上不能产生,但理论分析重要——复指数信号 表达式:f(t)=e,-∞0,增幅振荡 σ∞),如周 期信号、阶跃信号 信号f(t)的能量 e deflim[f(t)Pdt T→>∞ 信号f(t)的功率 P def li f(t) dt T→∞T
3 实信号：物理可实现的 复信号：实际上不能产生，但理论分析重要——复指数信号 表达式：f（t）=est ，-∞＜t＜+∞， δ= σ+jω f（t）=e （σ+jω）t=eσ t·e jωt = eσ tcosωt+j eσ t sinωt σ＞0，增幅振荡 σ＜0，衰减振荡 σ=0，等幅振荡 当ω=0，f（t）= e σt为实指数信号 当σ=ω=0，f（t）=1，为直流信号 重要特性：对时间的微分和积分仍然是复指数信号。 4．从能量有限和功率有限的角度： 能量信号：也就是能量有限信号，0＜E＜∞（p=0），如矩形脉 冲、衰减的指数 功率信号：也就是功率有限信号，0＜P＜∞（E —＞∞），如周 期信号、阶跃信号 信号 f（t）的能量 E def T → lim − T T f（t）| 2dt 信号 f（t）的功率 P def T → lim T 1 − / 2 / 2 T T |f（t）| 2dt
虚轴 实轴 §13信号的基本运算 加法和乘法 f(·)=f(·)+f(·)瞬时和 f(·)=fi(·)·f(·)瞬时积 例13-1 f2(k) fI(k) k+1 1234 2k+0 k(-t)以纵坐标为轴反折
§1.3 信号的基本运算 一 加法和乘法 f(·)=f1(·)+f2(·) 瞬时和 f(·)=f1(·)·f2(·) 瞬时积 例 1.3-1 2 k+0 k＜-2 f1(k)+ f2(k) = 2k +2-k k=-1、-2 k+1 +2-k k≥0 0 k＜-2 f1(k)× f2(k) = 1 k=-1、-2 (k+1)×2 -k k≥0 二 反转和平移 反转： f(t)—＞f(- t) 以纵坐标为轴反折 实轴 虚轴 f（t） 0 e σt ωt 0 2-k 2 k t f1(k) ）+f2 （t） f2(k) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 t 2 k k+1
f(-t) 倒相:f(t)>-f(t)以横坐标为轴反折 f(t) 0 平移:右移ft)>fto) 左移ft)(t)->f(t+tb) f(t+1)
倒相： f(t)—＞-f(t) 以横坐标为轴反折 平移：右移 f(t)—＞f(t-t0) 左移 f(t)（t）—＞f(t+t0) t -1 0 f(t+1) t 0 1 2 t f(t) 0 1 1 t -f(t) 0 1 t -1 f(t) 0 1 1 t f(t) 0 1 1 t f(-t) -1 0 f(t-1)
平移与反折结合:f(t)>f(--b) 注意:先平移后反转f-(tt)] 若先反转f(-t)则f(-t-t)为左移 f (t) f(t-1) f(-t-1) f(t-1) 三尺度变换(横坐标展缩) f(t)>f(at) 若a>1,以原点(t=0)为基准,压缩1/a 若0f(atb) 顺序:先平移)>ft+b);再反转f(-+b);最后尺度变换fatb) 逆符合运算fatb)>f(t) 顺序:先尺度变换f-t+b);再反转ft+b);最后平移ft
平移与反折结合：f(t)—＞f(-t-t0) 注意：先平移后反转 f[-（t+t0）] 若先反转 f（-t）则 f（-t-t0）为左移 t 三 尺度变换（横坐标展缩） f(t)—＞f(at) 若 a＞1，以原点（t=0）为基准，压缩 1/a 若 0＜a＜1，以原点（t=0）为基准，展宽 1/a 若 a＜0，反转并压缩或展宽至 1/|a| 2t 1 四 复合运算 f(t)—＞f(-at+b) 顺序：先平移 f(t)—＞f(t+b)；再反转 f(-t+b)；最后尺度变换 f(-at+b). 逆符合运算 f(-at+b)—＞f(t) 顺序：先尺度变换 f(-t+b)；再反转 f(t+b)；最后平移 f(t) f（-t-1） -2 -1 0 1 2 f（t-1） t 0 1 2 f（t-1） t f（t） t
例:已知f5-2t的波形如图,试画出f的波形 解题思路:f(5-2t)-和/宽2倍,5-2×2t)=f51) ,f5+1)-83,f5+t-5)=f(t) 乘 〔52t [5t) 展宽 132503 反转 f〔5t 右移5 (5-2t)
例：已知 f(5-2t)的波形如图，试画出 f(t)的波形 解题思路：f(5-2t) ⎯乘⎯a=⎯1/ 2展宽⎯2⎯倍→ f(5-2×2t)=f(5-t) ⎯反转⎯→ f(5+t) ⎯右移⎯5→ f(5+t-5)= f(t) f（5+t） -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 f（5-t） 0 1 2 3 4 5 6 t f（t） -1 0 1 2 3 t f（5-2t） 0 1 3/2 2 5/2 3 1 t t
§14阶跃函数和冲激函数 重要性:完成信号的时域分解 ft)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和 ft)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和 可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活 必要性:不是普通函数,而是奇异函数,有许多特殊的性质 重点:引入两个函数的概念,讨论O()的性质 阶跃函数和冲激函数的定义(0,t0 t》 面积为1 2 /n0 n->0 2冲激函数(1) def lim p(t)幅度一>∞ n→ 宽度一>0强度始终为1 波形
§1.4 阶跃函数和冲激函数 重要性：完成信号的时域分解 f(t)可分解为不同时刻、不同幅度阶跃函数的连续和 f(t)可分解为不同时刻、不同幅度冲激函数的连续和 可使信号的分析、尤其是系统的分析更加简单、灵活 必要性：不是普通函数，而是奇异函数，有许多特殊的性质 重 点：引入两个函数的概念，讨论 (t) 的性质 一 阶跃函数和冲激函数的定义 0， t＜0 1 阶跃函数 (t) def n→ lim rn(t)= 2 1 ， t=0 波形： 1， t＞0 2 冲激函数 (t) def n→ lim pn(t) 幅度—＞∞ 宽度—＞0 强度始终为 1 波形：
1/n p 面积为1 p(t tr>>2n n-)0 表达式 n r1+2t-1a()[条件 斜率 无限大,区间 )->0 r()p)=|2-16()条件:n->∞,幅度无 n 限大,宽度—>0] pa)的强度始终为 3E()与(1)的关系 δ(t) dE (t) 6(1)=。d(xx(注意积分上、下限)=「0,t>0
表达式： 0 t＜ n 1 rn(t)= + 2 1 2 n t - n 1 ＜t＜ n 1 —＞ (t) [条件：n—＞∞，斜率 无限大，区间 1 t＞ n 1 （- n 1 ， n 1 ）—＞0] 0 t＜- n 1 rn ‘ (t)= pn(t)= 2 n - n 1 ＜t＜ n 1 —＞ (t) [条件：n—＞∞，幅度无 限大，宽度—＞0] 0 t＞ n 1 pn(t)的强度始终为 1 3 (t) 与 (t) 的关系 (t) = dt d（t） (t) = dx t t − （ ） （注意积分上、下限）= 0，t＞0 1，t＜0