第二章连续系统的时域分析 求响应:经典法:已知f(t)、x{0} →全响应y(t)=yr(t)+yx(t) 卷积积分法:先求n(t),已知f(t) →yr(t)=h(t)*f(t) 主要内容 经典法求LTI系统的响应: 齐次解自由响应瞬态 零输入 特解强迫响应稳态(阶跃、周期人零状态 二冲击响应与阶跃响应:(定义、求解方法仍为经典法) 卷积积分:(定义、图示法求卷积) 四卷积积分的性质:
1 第二章 连续系统的时域分析 求响应： 经典法：已知 f（t）、x{0} 全响应 y（t）=yf（t）+yx（t） 卷积积分法：先求 n（t），已知 f（t） yf（t）=h（t） f（t） 主要内容： 一 经典法求 LTI 系统的响应： 齐次解 自由响应 瞬态 零输入 特解 强迫响应 稳态（阶跃、周期） 零状态 二 冲击响应与阶跃响应：（定义、求解方法仍为经典法） 三 卷积积分：（定义、图示法求卷积） 四 卷积积分的性质：
§21LTI系统的响应(经典法) 常系数线性微分方程的经典解 阶:y(m)(t)+ aly 1) =bmf (m)(thbm-1f (m-D(t)+.+b1 f((t)+ bof(t) 全解:y(t=齐次解yt+特解y(t 1齐次解:y()=∑Ce4(形式取决于特征根) 特征方程:A(m)(t)+an1A(m-()+…+a12(t)+a0=0 特征根:决定齐次解的函数形式,表2-1 如为2个单实根1、22, yh (t)=Ce+c2e 如为2重根(+1)2=0,元=-1,yh(t)=Cte+Coet 系数C:求得全解后,由初始条件确定 特解: 函数形式:由激励的函数形式决定,与特征根有关系,表22 如:t)为常数E(), yp(t f(t)=t2, yp(t)=P2t2+ Pit+ Po ft=et,元=-2,不等y(t=Pe f(=e,=-1,相等y(t)=Pteu+pet 系数P:由原微分方程求出 3全解:y()=yt)+yut)=∑ce2+y( 此时利用y(O),y(0),求出系数C
2 §2.1 LTI 系统的响应（经典法） 一 常系数线性微分方程的经典解 n 阶：y (n) (t)+ an-1y (n−1) (t)+…+ a1y (1) (t)+ a0y(t) = bm f (m) (t)+ bm-1 f (m−1) (t)+……+ b 1 f (1) (t)+ b0f(t) 全解：y(t)=齐次解 yh(t)+ 特解 yp(t) 1 齐次解：yh(t)= = n i t e Ci i 1 （形式取决于特征根） 特征方程： (n) (t)+ an-1 (n−1) (t)+… + a1 (t)+ a0=0 特征根：决定齐次解的函数形式，表 2-1 如为 2 个单实根 1、 2， yh（t）=C e t 1 1 + C e t 2 2 如为 2 重根( +1)2=0， = - 1，yh(t)=C1te-t+C0e -t 系数 Ci：求得全解后，由初始条件确定 2 特解： 函数形式：由激励的函数形式决定，与特征根有关系，表 2-2 如：f(t)为常数 (t) ， yp(t)=P0 f(t)=t2， yp(t)= P2t 2+ P1t+ P0 f(t)=e-t， = - 2，不等 yp(t)=Pe -t f(t)= e-t， = - 1，相等 yp(t)=P1te-t+P0e -t 系数 Pi：由原微分方程求出 3 全解：y(t)= yh(t)+ yp(t)= = n i t e Ci i 1 + yp(t) 此时利用 y(0)，y ‘ (0)，求出系数 Ci
例2.1-1:y(t)+5y(t)+6y(t)=ft)ft)=2et,y(0)=2y(0= 解(1)①齐次解:y(t}=Ce2C2e-t 2+5元+6=0,1=-2,12=-3 ②特解:yt=e 设yt)=Pe 代入原方程:Pe艹5(-Pe-)+6Pet=2etPl ⑥全解:y(=C1e2+C2e3u+et dk Ci: y(t-2 C1e-2t-3C2e-3t-e-t 齐次解特解 数学角度 y(t)=3e2-2C2e t≥0 自由响应强迫响应 系统角度 (2)[P44 例2.1-2:y"(t)+5y(t)+6y(=ft)ft=10 cost y(o=2y(0)=0 解:①y(1=C1e2+C2e3 2 yp(t=Pcost+ Qsint=cost+sint=v2 cos(t-4) yp"(t)、yp(t)、yp(t)代入方程,求得P=Q=1 ③y(Ce2+Cea+2cos(tz) 由初始条件可解得C1=2,C2= y(t)=2e2-C2e+√2cos(t)t≥ 0
3 例 2.1-1: y‘‘(t)+ 5y‘ (t)+ 6y(t)= f(t) f(t)= 2e-t，y(0)= 2 y‘ (0)= -1 解:(1) ○1 齐次解： yh(t)= C1e -2t+C2e -3t 2+5 +6 = 0， 1= - 2， 2= - 3 ○2 特解：yp(t)= e -t 设 yp(t)= Pe-t 代入原方程：Pe-t+5(- Pe-t )+6 Pe-t = 2e-t P=1 ○3 全解：y(t)= C1e -2t+C2e -3t+ e -t 求 Ci：y ‘ (t)= - 2 C1e -2t - 3C2e -3t - e -t 齐次解 特解 数学角度 y(t)= 3e-2t - 2C2e -3t + e -t t≥0 自由响应 强迫响应 系统角度 (2) [P44] 例 2.1-2: y‘’(t)+ 5y‘ (t)+ 6y(t)= f(t) f(t)=10cost y(0)= 2 y‘ (0)= 0 解: ○1 yh(t)= C1e -2t + C2e -3t ○2 yp(t)= Pcost+Qsint=cost+sint= 2 cos（t- 4 ） yp ‘‘(t)、yp ‘ (t)、yp(t)代入方程，求得 P=Q=1 ○3 y(t)= C1e -2t + C2e -3t + 2 cos（t- 4 ） 由初始条件可解得 C1=2，C2 = - 1 y(t)=2e-2t - C2e -3t + 2 cos（t- 4 ） t≥0
二关于0和0初始值 若ft)在t=0时接入系统,方程的解适用t≥0 求解的初始条件:严格是指=0时刻的值,y(0+)、y(0+)… 已知系统初始状态:t=0.时,激励未接入,y(0)、y(o.)…,反映 系统的历史情况 求解微分方程时,要先从y0)-求出→y(0) 例21-3:y"(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6ft) 已知:ft=(),y(0)=2,y(0=0, 求:y(0+)、y(+) 解:y“(t)+3y(+2y(=2(1)+6E(1) Jo y"(t)dt+ 3 Jo y(t)dt+2 Jo,y(tdt =2o()dt+6()dt y(0)y(0.)+3[y(0+}y(0.)+2×0=2×1+6×0 y(t)在t=0是连续的→y(0+)=y(0.)=2 y(t)在t=0是跃变的→y(0+)=y(0)+2=2 结论:当方程右端含有6()及δ()(1)函数时,y0)及各阶导数有些 将发生跃变 当方程右端不含有O(t)及An()函数时,y(及各阶导数 一般不发生跃变,可直接等
4 二 关于 0-和 0+初始值 若 f(t)在 t=0 时接入系统，方程的解适用 t≥0 求解的初始条件：严格是指 t=0+时刻的值，y(0+)、y ‘ (0+)… 已知系统初始状态：t=0-时，激励未接入，y(0-)、y ‘ (0-)…，反映 系统的历史情况。 求解微分方程时，要先从 y i (0-) ⎯⎯⎯→ 求出 y i (0+) 例 2.1-3: y‘‘(t)+3y ‘ (t)+2y(t)=2 f ‘ (t)+6 f(t) 已知：f(t)= (t) ，y(0-)=2 ，y ‘ (0-)=0， 求： y(0+)、y ‘ (0+) 解：y ‘‘(t)+3y‘ (t)+2y (t)=2 (t) +6 (t) + − 0 0 y ‘‘(t)dt + 3 + − 0 0 y ‘ (t)dt + 2 + − 0 0 y(t)dt =2 + − 0 0 (t) dt + 6 + − 0 0 (t) dt [y‘ (0+)- y ‘ (0-)] + 3 [y(0+)- y(0-)] + 2×0 = 2×1 + 6×0 y(t)在 t =0 是连续的 y(0+)=y(0-)=2 y ‘ (t)在 t =0 是跃变的 y ‘ (0+)=y‘ (0-)+2=2 结论：当方程右端含有 (t) 及 ( ) ( ) t n 函数时，y(t)及各阶导数有些 将发生跃变； 当方程右端不含有 (t) 及 ( ) ( ) t n 函数时，y(t)及各阶导数 一般不发生跃变，可直接等
三零输入响应和零状态响应 y(1)=y4()+y()=∑cxe41+∑cn4+yut)=∑cel+y() 初始值:y(0)=yxO)(0)+y0(0) D)(0-)=yxO)(0+)+yf0)(0+) 对零状态响应:y((0)=0yx0)(0.)=y0)(0) 对零输入响应由于f(t)=0,故yO(0+)=yO(0=y0(0) 1经典法求y(和yt) 例21-4y"(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6ft) 已知:ft=(),y0=2,y(0=0 解:①求y(t)即ft)=0 满足yx"(t)+3yx(t)+2yt=0,且满足y(O)的解 初始值:yx(0-)=y0)=y(0)=2 yx(0+)yx(0.)=y(0=0 响应形式:yt)=Cxe+Cxe2)→「Cxn+Cx=2 yx(tF-CxIe-L2Cx2e-2t -Cx1-2Cx=0 Cx1=4 ∴yst)=4e12e2=4e2e2]·E() ①求yt)ft)=E(),初始状态为零 满足:yr"(t)+3yr(t)+2y(t)=26(0)+6(1)且yr(0)=y40)=0 同前可求得y(O+)=y0)=0 (0+)=2+yr(0.)2
5 三 零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) = = n i t e Cxi i 1 + = n i t e C fi i 1 + yp(t)= = n i t e Ci i 1 + yp(t) 初始值: y ( j) (0-) = yx ( j) (0-) + yf ( j) (0-) y ( j) (0+) = yx ( j) (0+) + yf ( j) (0+) 对零状态响应: yf ( j) (0-)=0 yx ( j) (0-)= y ( j) (0-) 对零输入响应:由于 f(t)=0，故: yx ( j) (0+)= yx ( j) (0-)= y ( j) (0-) 1 经典法求 yx(t) 和 yf(t) 例 2.1-4: y ‘‘ (t) + 3y‘ (t)+2 y(t)=2 f‘ (t)+6 f(t) 已知：f(t)= (t) ，y(0-)=2 ，y ‘ (0-)=0 解：○1 求 yx(t) 即 f(t)=0 满足 yx ‘‘(t) + 3yx ‘ (t)+2 yx(t)=0,且满足 y ‘ (0+)的解 初始值: yx(0+)=yx(0-)= y (0-)=2 yx ‘ (0+)=yx ‘ (0-)= y‘ (0-)=0 响应形式：yx(t)= Cx1e -t+Cx2e -2t Cx1 +Cx2=2 yx ‘ (t)= -Cx1e -t -2Cx2e -2t -Cx1 -2Cx2=0 Cx1 =4 Cx2 =-2 ∴yx(t)= 4e-t -2e-2t=[4e-t -2e-2t]· (t) ○2 求 yf(t) f(t)= (t),初始状态为零 满足: yf ‘‘(t) + 3yf ‘ (t)+2 yf(t)=2 (t) +6 (t) 且 yf ‘ (0-)=yf(0-)=0 同前可求得: yf(0+)=yf(0-)=0 yf ‘ (0+)=2+yf ‘ (0-)=2
对于t>0时方程写为yr(t)+3yr(t)+2yt=6 齐次解:Cne+Cne2t 特解:设为P,求得P=3 yt)=Cne+Cne2+3,求得:Cn=4,Cn2=1 yt=4e+e21+3t≥0 全响应y(t)=yx(t)+yt)=4e+2e24ee2+3=-e2+3 2用LTI系统零状态响应的线形性质和微分性质求yt) 例:y(t)+2y(t)=f"(t)+f(t)+2ft)t=E()求yt) 输入分为3部分 设ft 系统 yI(t=T[o, f(t)] 满足方程:y1(t)+2y1(1=f(t)且y(0=0y+)=0 齐次解:Ce2→y(t)=Ce2+1=1e+=[l1e6() 特解 2f(t) 统 1(-e-2)·()+e2(1)=e2E(1) 0r(系统一y"(0 y1(=e26(1)-2e2()=(1)2e2E() yft=yn"t)+y1(t)+2y1(t)=06(1)+(12e-2)()
6 对于 t＞0 时,方程写为: yf ‘‘(t) + 3yf ‘ (t)+2 yf(t)= 6 齐次解: Cf1e -t+Cf2e -2t 特解: 设为 P0,求得 P0=3 yf(t)= Cf1e -t+Cf2e -2t +3, 求得: Cf1= -4, Cf2=1 ∴ yf(t)= -4e-t+e-2t +3 t≥0 全响应 y(t) = yx(t) + yf(t)= 4e-t -2e-2t -4e-t+e-2t +3= - e -2t +3 2 用 LTI 系统零状态响应的线形性质和微分性质求 yf(t) 例: y ‘ (t) +2y(t)= f ‘‘(t) + f ‘ (t)+2 f(t) f(t)= (t) 求 yf(t) 输入分为 3 部分： 设 ○1 f(t) 系统 y1(t)=T[0,f(t)] 满足方程: y1 ‘ (t) +2y1(t)= f(t) 且 y1(0-)=0 y1(0+)=0 齐次解: C1e -2t y1(t )=C1e -2t + 2 1 =- 2 1 e -2t + 2 1 = 2 1 [ 1-e -2t] (t) 特解: P0= 2 1 ○2 f ‘ (t) 系统 y1 ‘ (t) y1 ‘ (t)= 2 1 (1-e -2t)· (t) + e -2t (t) = e -2t (t) ○3 f ‘‘(t) 系统 y1 ‘‘(t) y1 ‘‘(t)= e -2t (t)-2 e -2t (t) = (t)-2 e -2t (t) yf(t)= y1 ‘‘(t)+ y1 ‘ (t)+2 y1 (t)= (t) +(1-2 e -2t) (t)
§22冲击响应和阶跃响应 求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法在这种方法中,冲击响 应和阶跃响应是非常重要的概念是系统的基本响应反映系统特性 经典法 方法一:f(t) cL →y/()+yx( 方法二:f(t) LTI →h(t)→V;()用h(+)表示 冲击响应h(t) def TI{0},{o(t)} 1定义 8(t) x(0)={0} 巴LT t 0 2h(t)的求解方法 情况一:等号右端只含激励ft),--经典法 (n)(+any(n-1)(t+…+ay(=ft) hm)(t)+anh(m-()+…+ah(t)=6(t)输入为6(1) h(0.)=0,j=0、1、2…n-l 初始状态为0 0-初始值hO(O-)=hO(O)=0j=0、1、2…n2 h 0+)=h-)(0.)+1=1 h(形式h()=(∑Ce1)·E(t)
7 §2.2 冲击响应和阶跃响应 求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法.在这种方法中,冲击响 应和阶跃响应是非常重要的概念.是系统的基本响应,反映系统特性. 一 冲击响应 h(t) def T[{0},{ (t) }] 1 定义: 2 h(t)的求解方法: 情况一: 等号右端只含激励 f(t), ------经典法 y (n) (t)+ an-1y (n−1) (t)+…+ a1y (t)=f(t) h (n) (t)+ an-1h (n−1) (t)+…+ a1h (t)= (t) 输入为 (t) h ( j) (0-)=0, j=0、1、2 … n-1 初始状态为 0 0+初始值 h ( j) (0+)= h ( j) (0-)=0 j=0、1、2 … n-2 h (n−1) (0+)= h (n−1) (0-)+1=1 h(t)的形式: h(t)= ( = n i t e Ci i 1 )· (t)
例:22-1h(t)满足rh(t+5h(t+6h(t)=(t) h(0.)=h(0.)=0 ◎确定0初始值:方程两端奇异函数平衡 h(t)连续,h(0-)=h(0) (t)跃变,h(0+)≠h(0.) 方程两边积分: h"(ot+50h(t+650h()=6()dt [h(0+}-h(0.)+5[h(0+)-h(0.)+0=1 h(0+)=h(0.)=0 h(0+)=h(0.)+1=1 ⑥考虑t>0(或=0以后)的系统响应,此时激励为0P2] 齐次方程:h(t)+5h(t)+6h(t)=0 解的形式:h(t)=Ce2+C2e3tt≥0 h(t=-2Ce21-3C h(0=C1+C2=0 C1=1 h(0+)=-2C1-3C2=1 C2=- h(t)=(e2-e3)·E(t) 情况二:等号右端除t外,还有f(m)(t y (n)(t) an-ly (n-D(t).+ay((t)+ aoy(t) bmf (m)(t)+bm- f (m-D)(t)+. +bIf o(+ bof(t)
8 例: 2.2-1○1 h(t) 满足 h ‘‘(t)+5 h ‘ (t)+6 h(t)= (t) h ‘ (0-)= h (0-)=0 ○2 确定 0+初始值：方程两端奇异函数平衡 h (t)连续，h (0+) =h (0-) h ‘ (t)跃变， h ‘ (0+)≠h ‘ (0-) 方程两边积分： + − 0 0 h ‘‘(t)dt+5 + − 0 0 h ‘ (t)dt+6 + − 0 0 h (t)= + − 0 0 (t) dt [h‘ (0+)- h ‘ (0-)]+5[ h (0+)- h (0-)]+0=1 ∴ h (0+) =h (0-)=0 h ‘ (0+)=h‘ (0-)+1=1 ○3 考虑 t＞0(或 t=0+以后)的系统响应，此时激励为 0 [P52] 齐次方程：h ‘‘(t)+5 h ‘ (t)+6 h(t)=0 解的形式：h(t)= C1e -2t + C2e -3t t≥0 h ‘ (t)= -2C1e -2t -3C2e -3t h(0+)= C1+ C2 =0 C1 =1 h ‘ (0+)= -2C1 -3C2 =1 C2 = - 1 ∴ h(t)= (e-2t - e -3t)· (t) 情况二：等号右端除 f(t)外,还有 f (m) (t) y (n) (t)+ an-1y (n−1) (t)+…+ a1y (1) (t)+ a0y(t) = bm f (m) (t)+ bm-1 f (m−1) (t)+……+ b 1 f (1) (t)+ b0f(t)
(-1)()+…+a1h(()+aoh(t bm6(m)(t)+bm16(m-1)(t)+…+b16()(t)+bo8() h(D)(0.)=0,j=0、1、2 求θ初始值较复杂求解思路分二步 第一步:输入仅为∂(D)时,设响应为h() hy(n)(tHan-h1 (n-D)(t) .+ah O)(t)+aoh(t8(t) h(t)用方法一求出 第二步:用线性性质和微分特征 h(t)=bm hI ( m)(t)+bm-1 hr bihi((t)+ bohi(t) 例:2.2-2y"(t)+5y(t+6yt)=f(t)+2f(t)+3ft) 解:①设δ(1)→h(t) h1"()5h1()+6h()=6(1)-同上例,h()=(e2x-e2)·(1) Qh(t)=h1(t)+2h1(t)+3hi(t) h1(t)=(2e24+3e)·E(1)+(e2-3)·(1)=(-2 E(1) h1"()=(4e29-)·E()+(-2e2+3 =(4e29e3)·E(1)+6 h(t)=6()+(3 1)·5 二阶跃响应 定义:gt)derT[{0},{E(1)月
9 h (n) (t)+ an-1h (n−1) (t)+…+ a1h (1) (t)+ a0h (t) = bmδ (m) (t)+ bm-1δ (m−1) (t)+……+ b 1δ (1) (t)+ b0δ(t) h ( j) (0-)=0, j=0、1、2 … n-1 求 0+初始值较复杂,求解思路分二步： 第一步：输入仅为 (t) 时，设响应为 h1(t) h1 (n) (t)+ an-1h1 (n−1) (t)+…+ a1h1 (1) (t)+ a0h1 (t)= (t) h1(t)用方法一求出 第二步：用线性性质和微分特征 h (t) = bm h1 (m) (t)+ bm-1 h1 (m−1) (t)+……+ b 1h1 (1) (t)+ b0h1(t) 例：2.2-2 y‘‘(t)+5y‘ (t)+6y(t)= f ‘‘(t)+2 f ‘ (t)+3 f(t) 解：○1 设 (t) → h1(t) h1 ‘‘(t)+5h1 ‘ (t)+6 h1(t)= (t) ⎯⎯⎯⎯→ 同上例 h1(t)= (e-2t - e -3t)· (t) ○2 h(t)=h1 ‘‘(t)+2h1 ‘ (t)+3 h1(t) ∵ h1 ‘ (t) = (-2e-2t+3e-3t)· (t) + (e-2t - e -3t)· (t) =(-2e-2t+3e-3t)· (t) h1 ‘‘(t) = (4e-2t -9e-3t)· (t) + (-2e-2t +3 e-3t)· (t) =(4e-2t -9e-3t)· (t) + (t) ∴ h(t)= (t) +(3 e-2t -6e-3t)· (t) 二 阶跃响应 1 定义：g(t) def T[{0},{ (t) }]
x(0)={0} e (t) 〔t) LT工 g()的求解: 情况一:等号右端只含ft=E() 满足rg()(+an1g(m-1)()+…+ag(t=E() g()(0.)=0,j=0、1、2…n-l 0-初始值g()(0+)=g()(0)=0 当1>0时0齐次解特解=C+m 情况二:等号右端含f(t)及各阶导数,求0较困难 由线性性质和微分性质求g(t)「第一步:E()→g() 第二步:用性质 例22-3:Ps f(t x”’(t) x2(t)厂 x(t)2 r〔t 3 解:(1)列写微分方程 左②:x"()+3x(t)+2x()=ft) 右②:2yt)=2x(t+2x(t) 3y(t)=-3x(t)+6X(t)
10 2 g(t)的求解： 情况一：等号右端只含 f(t)= (t) 满足 g (n) (t)+ an-1 g (n−1) (t)+……+ a0g(t)= (t) g ( j) (0-)=0, j=0、1、2 … n-1 0+初始值 g ( j) (0+)= g ( j) (0-)=0 当 t＞0+时,g(t)=齐次解+特解= = n i t e Ci i 1 + 0 1 a 情况二：等号右端含 f(t)及各阶导数，求 0+较困难 由线性性质和微分性质求 g(t) 第一步： (t) → g1(t) 第二步：用性质 例 2.2-3：[P55] 解：(1) 列写微分方程: 左○∑ ：x ‘‘(t)+3x‘ (t)+2x(t)=f(t) 右○∑ ：2y(t) =-2x‘ (t)+2x(t) 3y‘ (t) = -3x‘‘(t)+6x‘ (t)