习题四 、证明cost,cos(2t);…,cos(ntn为正整数),是在区间(0,2π)的正交函数 集,它是否是完备的正交函数集? 、实周期信号()在区间(-,的能量定义为 f2( 如有和信号f(1)=f()+f2(r) (1)若f1(t)与n2(t)在区间(-,)内相互正交 [例如f()=cos(ar),f2(t)=sim(on,证明和信号的总能量等于各信号的能量之 和 (2)若f(t)与n2(u)不是互相正交的[例如f()=cos(om),f2(1)=cos(o+609)], 求和信号的总能量 三、求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T。 (1)cos(t-3 (2)cos(2mt)+cos(3w)+cos(5t) (3)cos(-1)+cos(1)+cos(1) 四、利用对称性求下列函数的傅里叶变换 (1)f(1) sn[2m(-2) (2)f()= t(∞ (3)f(1)=[ sin( 2nt azT 五、求下列信号的傅里叶变换 (1)f(1)=e-(-6(t-1) (2)∫(1)=E(-1)
习题四 一、证明 cost,cos(2t),…，cos(nt)(n 为正整数)，是在区间（0，2π）的正交函数 集，它是否是完备的正交函数集？ 二、实周期信号 f(t)在区间 )内的能量定义为 2 , 2 ( T T − − = 2 2 2 ( ) T T E f t dt 如有和信号 ( ) ( ) ( ) 1 2 f t = f t + f t （1）若 f1 (t)与 f2(t)在区间 ) 2 , 2 ( T T − 内相互正交 [例如 ( ) cos( ), ( ) sin( )] 1 2 f t = t f t = t ，证明和信号的总能量等于各信号的能量之 和； （2）若 f1 (t)与 f2(t)不是互相正交的[例如 ( ) cos( ), ( ) cos( 60 ) 1 2 f t = t f t = t + ]， 求和信号的总能量。 三、求下列周期信号的基波角频率Ω和周期 T。 （1） ( 3)] 2 cos[ t − （2） cos(2t) + cos(3t) + cos(5t) （3） ) 5 ) cos( 3 ) cos( 2 cos( t t t + + 四、利用对称性求下列函数的傅里叶变换 （1） , ( 2) sin[ 2 ( 2)] ( ) − − = t t f t − t （2） , 2 ( ) 2 2 a t a f t + = − t （3） 2 ] 2 sin( 2 ) ( ) [ t t f t = − t 五、求下列信号的傅里叶变换 （1） ( ) ( 1) 3( 1) = − − − f t e t t （2） 1) 2 ( ) = ( − t f t
六、若已知F[f(l)=F(o),试求下列函数的频谱: (1)(t-2)f(t) (2)(1-1)f(1-1) (3)e/f(3-21) 七、求下列函数的傅里叶逆变换 (1)F()=o(a+00)-0(a-00) (2)F(o)=2cos30) (3)F(o)=[e(o)-E(0-2)eo 八、如图所示信号f(t)的频谱函数为F(jo),求下列各值[不必求出F(jo) 0 (1)F(0)=F(jo)|=0 (2)「F(o)do (3)LIF(o) do 九、某L∏I系统的频率响应,求系统的冲激响应 十、一个L∏I系统的频率响应 brad /so(0 H(o=e 2 0(@(brad/s 其余 若输入yss(30)0(5求该系统的输出yt)
六、若已知 F [ f (t)] = F( j)，试求下列函数的频谱： （1） (t − 2) f (t) （2） (1− t) f (1− t) （3） e f (3 2t) je − 七、求下列函数的傅里叶逆变换 （1） ( ) ( ) ( ) = +0 − −0 F j （2） F( j) = 2cos(3) （3） j F j e − ( ) = [ ( ) − ( − 2)] 八、如图所示信号 f(t)的频谱函数为 F( j),求下列各值[不必求出 F( j) ] （1）F（0）= F( j) | =0 （2） − F( j)d （3） − F j d 2 ( ) 九、某 LTI 系统的频率响应，求系统的冲激响应。 j j H j + − = 2 2 ( ) 十、一个 LTI 系统的频率响应 其余 rad s rad s e e H j j j 0 6 / 6 / 0 0, ( ) , 2 , 2 − = − 若输入 cos(5 ), sin( 3 ) ( ) t t t f t = 求该系统的输出 y(t). t1 0 t2 1
十一、己知系统,其输出是输入的平方,即y(1)=f2(1)(设/()为实函数)。该系 统是线性的吗? (1)如f()=,求y()的频谱函数(或画出频谱图)。 (2)如f(t)=+cost+cos(2,求y(t)的频谱函数(或画出频谱图) 十二、有限频带信号f(t)的最高频率为100Hz,若对下列信号进行时域取样,求 最小取样频率fs (1)f(3) (2)f2(1) (3)f(t)*f(21) (4)f()+f2(t) 十三、有限频带信号f()=5+2cos(2r/1)+cos(4n/1),其中=1kH2,用fs=800Hz 的冲激函数序列δ(t)进行取样。 (1)画出f(t)及取样信号∫()在频率区间(-10kHZ10kHZ)的频谱图 (2)若由f()恢复原信号,理想低通滤波器的截止频率∫应如何选择
十一、己知系统，其输出是输入的平方，即 y(t) = f 2 (t)( 设f (t)为实函数 ）。该系 统是线性的吗？ （1）如 , sin ( ) t t f t = 求 y(t)的频谱函数（或画出频谱图）。 （2）如 cos cos(2 ), 2 1 f (t) = + t + t 求 y(t)的频谱函数（或画出频谱图）。 十二、有限频带信号 f(t)的最高频率为 100HZ，若对下列信号进行时域取样，求 最小取样频率 fs. (1) f (3t) (2) ( ) 2 f t (3) f (t) f (2t) (4) ( ) ( ) 2 f t + f t 十三、有限频带信号 Z S HZ f (t) = 5 + 2cos(2f 1 t) + cos(4f 1 t),其中f 1 =1k H ,用f = 800 的冲激函数序列 T S （t）进行取样 。 （1）画出 f(t)及取样信号 f (t) a 在频率区间（-10kHZ,10kHZ）的频谱图。 （2）若由 f (t) a 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率 e f 应如何选择