《通信原理》课程教学资源（习题与答案）习题解答（一）

习题解答( 1-1设英文字母E出现的概率为0.105,x出现的概率为0.002。试 求E及x的信息量。 解: E 8 21E g20.105≈325(b) =-log 2 P=-log2 0002 8.97(bit 1-4一个由字母A,B,C,D组成的字。对于传输的每一个 字母用二进制脉冲编码,00代替A,01代替B,10代替C,11代 替D,每个脉冲宽度为5ms (1)不同的字母是等可能出现时,试计算传输的平均信息 速率; 2)若每个字母出现的可能性分别为 PA=1/5,PB=1/4,PC=1/4,PD=3/10 试计算传输的平均信息速率

习题解答（一） 1-1 设英文字母E出现的概率为0.105，x出现的概率为0.002。试 求E及x的信息量。 log log 0.002 8.97( ) log log 0.105 3.25( ) 2 2 2 2 I P bit I P bit x x E E = − = −  解： = − = −  1-4 一个由字母A，B，C，D组成的字。对于传输的每一个 字母用二进制脉冲编码，00代替A，01代替B，10代替C，11代 替D，每个脉冲宽度为5ms。 （1）不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息 速率； （2）若每个字母出现的可能性分别为 PA=1/5，PB=1/4，PC=1/4，PD=3/10 试计算传输的平均信息速率

解:1)1=log2m=bpg2M=log24=2(b/符号) 传输每个符号占用的时间为:Mt=2×5(ms/符号)=10(ms/符号) 则:R △10×103≈200(bit/s) (2)H(x)=∑P(x)og2P(x g2 g2 log2≈1.985(bh/号) 410 1.985 则:R 198.5(bi/s) △t10×10 1-5国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持 续3单位的电流脉冲表示,点用持续1单位的电流脉冲表示;且 划出现的概率是点出现概率的1/3: 1)计算点和划的信息量; (2)计算点和划的平均信息量

198.5( / ) 10 10 1.985 1.985 ( / ) 10 3 log 10 3 4 1 log 4 1 4 1 log 4 1 5 1 log 5 1 2 ( ) ( )[log ( )] 200( / ) 10 10 2 2 5 / 10 / log log 4 2( / ) ( ) 1 (1) log 3 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 bit s t I R bit H x P x P x bit s t I R t m s m s M bit P x I b n i i i b =    = = − − − −  = − =  =  =  =  = = = = = − = −  则： 符号 （ ） 则： 传输每个符号占用的时间为： （ 符号） （ 符号） 解： 符号 1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持 续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示；且 划出现的概率是点出现概率的1/3： （1）计算点和划的信息量； （2）计算点和划的平均信息量

解:因为划出现的概率是点出现概率的/3,所以点出现的概率为P=3/4 划出现的概率为P2=1/4 故1=-log2 ≈0.415(bi) 12=-log2 P2=-log2=2(bit) (2)H=P1+P2l2=1×0.415+×2=0.8b/号) 4 4 1-7对于二电平数字信号,每秒钟传输300个码元,问此传码率RB 等于多少?若该数字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率Rb 等于多少? 角解:(1)RBZN =300B) (2)Rb= RB log22=3006/

（ ） 符号） 故 划出现的概率为 。 解： 因为划出现的概率是点出现概率的 ，所以点出现的概率为 ， 2 0.81( / 4 1 0.415 4 3 2 2( ) 4 1 log log 0.415( ) 4 3 log log 1/ 4 (1) 1/ 3 3/ 4 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 H P I P I bit I P bit I P bit P P = + =  +  = = − = − = = − = −  = = 1-7 对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率RB 等于多少？若该数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率Rb 等于多少？ 2 log 2 300( / ) 300( ) 1 1 2 R R bit s B T T n R b B b B = = = = = （ ） 解：（）

1-9如果二进独立等概信号,码元宽度为0.5ms,求R和R;有 四进制信号,码元宽度为0.5ms,求传码率Rp和独立等概时的 传信率R 解:(1)1 20006 0.5×10 h2=rB2 log 2 2=2000(bit/s) (2)R =20006B) 0.5×10 Rh4=RB4 log 24=4000(bit/s) 22设是一随机过程=)= COSO-X2 SIn cos1,若X和x2是 彼此独立且具有均值为0、方差为σ2的正态随机变量,试求 1)E[=()、E[=2()]; (2)x()的一维分布密度函数f(z); (3)B(t1t2)与R(

1-9 如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求RB和Rb；有 四进制信号，码元宽度为0.5ms，求传码率RB和独立等概时的 传信率Rb。 log 4 4000( / ) 2000( ) 0.5 10 1 1 2 log 2 2000( / ) 2000( ) 0.5 10 1 1 1 4 4 2 4 3 2 2 2 2 3 R R bit s B T R R R bit s B T R b B b B b B b B = = =  = = = = =  = = − − （ ） 解：（） 2-2 设是一随机过程 ，若X1和X2是 彼此独立且具有均值为0、方差为σ 2的正态随机变量，试求： （1）E[z(t)]、E[z 2 (t)]； （2）z(t)的一维分布密度函数f(z); （3）B(t1 ,t2 )与R(t1 ,t2 )。 z t X t X t 1 0 2 cos 0 ( ) = cos − sin 

f: (1)E[=(t]= ELX, cosOot-X, sin oot] EL X c0S00 ElX2 sin oot ElXcosot-ELX, sm oot=0 E[z(t]= El(X cosoot-X, sin @,)I ELXIcos Wot-2EIXNElX2 cos aotsin @ot+ ElX2sin-Oot o(cos@ot+snoot)-0=0 (2)因为X1X2为正态分布,所以(1)也为正态分布, 又E[z(1)]=0,D[z()=E[=2()-E2[()=a2 所以f(=) O exp 2e (3)R(t12t2)=E[=(t1)2(t2 ELCX, COSOot-x2 sin aot,(X, cosoot2-X2 sin @ot2) ELXi]cos oot, Cos aot2+ ElX2]sin @ot, sin @ot2 ELXIELX2 ]cos@ot, sin oot2-ELX2 ELX,sin @ot, cos@ot2 o cosLOo(t2-tu=O COS Oot B(1,12)=R(12t2)-E[(1)E[=(t2=R(t1,t2)=cosO0

                                       0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 2 1 1 0 1 2 0 1 1 0 2 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 1 2 0 0 2 2 2 1 2 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 ( , ) ( , ) [ ( )] [ ( )] ( , ) cos cos[ ( )] cos [ ] [ ]cos sin [ ] [ ]sin cos [ ]cos cos [ ]sin sin [( cos sin )( cos sin )] 3 ( , ) [ ( ) ( )] ) 2 exp( 2 1 ( ) [ ( )] 0 [ ( )] [ ( )] [ ( )] 2 ( ) (cos sin ) 0 [ ]cos 2 [ ] [ ]cos sin [ ]sin [ ( )] [( cos sin ) ] [ ]cos [ ]sin 0 [ cos ] [ sin ] 1 [ ( )] [ cos sin ] = − = = = − = − − = + = − − = = − = = − = = + − = = − + = − = − = = − = − B t t R t t E z t E z t R t t t t E X E X t t E X E X t t E X t t E X t t E X t X t X t X t R t t E z t z t z f z E z t D z t E z t E z t X X z t t t E X t E X E X t t E X t E z t E X t X t E X t E X t E X t E X t E z t E X t X t （ ） 所以 又 ， （ ）因为 、 为正态分布，所以 也为正态分布， 解：（）

2-3求乘积z()=X()Y的自相关函数。已知X)与Y是统计独立 的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为R(U)、R1(U 解:R(12)=[(4)(2)=EX(1)y(4)X(t2)Y(t2) =EX(t1)X(2)EY(t1)Y(2)=R()R1() 26c()是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为2s的周期 函数。在区间(-1,1)上,该自相关函数R(y=1-。试求的功率 谱密度Po),并用图形表示 解:周期信号的傅立叶变换为:F()=2z∑。5(O-O) n=-00 T/2 f(t)e o dt TJ7/2 T/2 R()在(-1)的一个周期:xn(a)=nf( - Nodaτ T/2 则(012x(0)=s/2 )6(-n丌) n=-00

2-3 求乘积z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立 的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为RX (τ)、RY (τ)。 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2   RX RY E X t X t E Y t Y t R t t E z t z t E X t Y t X t Y t = = 解： = = 2-6 ξ(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2s的周期 函数。在区间(-1,1)s上，该自相关函数R(τ)=1-τ。试求ξ(t)的功率 谱密度Pξ (ω)，并用图形表示。       =−  =− − − − −  =− = − = − − = = = = − n n T T T j n T T T j n t n n n Sa n T X n T P f e d Sa T R s X f t e dt T V F f t V ) ( ) 2 ) ( 2 ( ) ( 2 ( ) ) 2 ( ) ( 1 ( ) ( 1,1) : ( ( ) 1 [ ( )] 2 ( ) 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 0 0 0                         则 在 的一个周期 ） 解：周期信号的傅立叶变换为：

2-7将一个均值为0、功率谱密度为n/2的 H(ol 高斯白噪声加到一个中心频率为、带宽为[十 B的理想带通滤波器上,如图P2-1所示 1)求滤波器输出噪声的自相关函数 (2)写出输出噪声的一维概率密度函数 图P2-1 解:()经过滤波器后,输出噪声的功率谱密度为: /2 ±O≤xB Pn(o) 其余 故 R(t)=F[Pno(o) no x bSa(Br)cost 2 no Bsa(rbr)cost (2因为输入是高斯噪声,所以输出仍为高斯噪声。又, Rn0(∞)=E[n2(t)= Rn(O)-R2(∞)=a2=nB-0=n2B,所以,Dmn2()=a=VmB 故输出噪声的一维概率密度为: 2In B 2n.B

2-7 将一个均值为0、功率谱密度为n0 /2的 高斯白噪声加到一个中心频率为ωc、带宽为 B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。 （1）求滤波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。 图 P2-1 0 H() −c 2B 2B c  ) 2 exp( 2 1 ( ) (0) ( ) 0 [ ( )] ( ) [ ( )] 0, (2) ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( ) [ ( )] 0 / 2 ( ) 1 0 2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 n B x n B f x R R n B n B D n t n B R E n t n BSa B BSa B n R F P n B P n o n o o n o o c n o n o c c n o = − −  = = − = = =  = = = = =       = −                   故输出噪声的一维概率密度为： ，所以， 因为输入是高斯噪声，所以输出仍为高斯噪声。又， 故 其余 解：（）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为：

2-8设RC低通滤波器如图 P2-2所示,求当输入均值为0、 功率谱密度为n/2的白噪声时 输出过程的功率谱密度和自相 关函数。 图P2-2 解:低通滤波器的传输函数为 H() 1+jORC 经过滤波器后,输出噪声的功率谱密度为 Pn()=Pn(o)H(o)2="0 21+(RC)2 故Rn()=F[Pn(o)=m0exp 4RO RO

2-8 设RC低通滤波器如图 P2-2所示，求当输入均值为0、 功率谱密度为n0 /2的白噪声时， 输出过程的功率谱密度和自相 关函数。 图 P2-2 R C exp( ) 4 ( ) [ ( )] 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 0 2 0 2 RC RC n R F P RC n P P H j RC H n o n o n o n i          = = − + =  =  + = 故 − 经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为： 解：低通滤波器的传输函数为

2-14一噪声的功率谱 密度如图P26所示,试求 其自相关函数 K O 0 图 P2-1 解:RO)=FUP(o)= 0)e JOT 2 1 p(O(cos oT +/sin or)dr 2丌 P(o)为偶函数,则 1ro+9/2K R,(O) Pn(oe dt coS TDt KSa(Q2/2)Cos ot

2-14 一噪声的功率谱 密度如图P2-6所示，试求 其自相关函数。 图 P2-1 0 () Pn −0  0    K                           0 / 2 0 / 2 1 ( / 2) cos cos 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )(cos sin ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) [ ( )] 0 0 =   = = = + = =     + −   −  − − KSa d K R P e d P P j d R F P P e d j n n n n j n n n 为偶函数，则 解：