§7.4离散系统的零输入响应 零输入e(k)=0, D(S)y(k)=0n阶齐次 定解:12(0 (1), y:(1 东南大学移动通信国家重点实验室
§7.4 离散系统的零输入响应 ∵ 零输入 e(k) = 0， ∴ D(S) y(k) = 0 n 阶齐次 定解： y (0), y (1), y (n −1) zi zi "" zi 东南大学移动通信国家重点实验室
一、y2(k)求法 1.一阶系统: y(k+1)+aoy(k)=0,y2(0)已知 (S+aoy(k=o 由y(+1)=-aoy(k),k≥0 东南大学移动通信国家重点实验室
一、 y (k) zi 求法 1. 一阶系统： ( 1) ( ) 0, (0) 0 zi y k + + a y k = y 已知 (S + a0 ) y(k) = 0 由 y(k +1) = −a0 y(k), k ≥ 0 东南大学移动通信国家重点实验室
(1) aoy2(0), y2(2)=-aoy2()=(-a0)y2(0 y2(k)=(-a0)y2(0),k≥0 比较y+ao0y=0,y(0)已知, D(p)=p+ao=0→=-a0 y2()=Aee()=y(0)e8(1) 东南大学移动通信国家重点实验室
∴ (2) (1) ( ) (0) (1) (0), 2 0 0 0 zi zi zi zi zi y a y a y y a y = − = − = − y (k) = (−a0 ) yzi(0) , k ≥ 0 k zi "" 比较 0, (0 ) 0 − y′ + a y = y 已知， 0 0 0 D( p) = p + a = ⇒ λ = −a ∴ ( ) ( ) (0 ) ( ) 0 y t Ae t y e t t a t zi = ε = ε λ − − 东南大学移动通信国家重点实验室
2.n阶离散系统D(S)y(k)=0, 设y(k)=v,k≥0是一个解, 将y(+1)=yy(k),i=02…,n代入方程 得:(v"+an1v"+…+a1y+ao)y(k)≡0k≥0 →D(v)=v"+an1v+…+a1v+a0=0特征方程。 东南大学移动通信国家重点实验室
2．n 阶离散系统 D(S) y(k) = 0， 设 y(k) = v , k ≥ 0 k 是一个解， 将 y k i v y k i n i ( + ) = ( ), = 0,1,2", 代入方程 得：( 1 0 ) ( ) 0 0 1 + 1 + + + ≡ ≥ − − v a v a v a y k k n n n " ( ) 0 1 0 1 ⇒ = + 1 + + + = − − D v v a v a v a n n n " 特征方程。 东南大学移动通信国家重点实验室
(1)设特征根均为单根v1,n2…vn,则 y2(k)=(cw+c2+…+Cn)(k)=∑ck≥0 (2)设有一个l重根V=V2…=V1,V11…,"n,则 y:(k)=(c1+c 2x+…+Cl-1,k +∑ k k≥0 /=/1y 注:一对共轭根配对(变幅正弦序列)。 东南大学移动通信国家重点实验室
（1）设特征根均为单根 n v v "v 1 2 , ,则 ( ) ( ) ( ) 0 1 = 1 1 + 2 2 + + ε = ∑ ≥ = y k c v c v c v k c v k n i k i i k n n k k zi " （2）设有一个l 重根 l l n v v v ,v , ,v 1 = 2 " = +1 " ，则 ( ) ( ) 0 1 1 1 = 1 + 2 + + + ∑ ≥ = + − y k c c k c k v c v k n j l k j j l k zi " l 注：一对共轭根配对（变幅正弦序列）。 东南大学移动通信国家重点实验室
举例 例1:电阻网络,n=3,a=2 由l(k+2)-(2+-)(k+1)+l(k)=0 押(k+2)-=l(k+1)+(k)=0 有:D(S)=S2-S+1=0,得:n 2 =C1V+c212k=0,1,2 l(0)=c1+c2=E (3)=-c1+8 8 东南大学移动通信国家重点实验室
二、举例 例 1：电阻网络，n=3,a=2 由 ) ( 1) ( ) 0 1 ( + 2) − (2 + u k + + u k = a u k 即 ( 1) ( ) 0 25 u(k + 2) − u k + + u k = 有： 1 0 25 ( ) 2 D S = S − S + = ，得： , 2 21 v1 = v2 = ∴ 8 0 8 1 (3) (0) ( ) 0,1,2,3; 1 2 1 2 1 1 2 2 = + = = + = = + = u c c u c c E u k c v c v k k k 东南大学移动通信国家重点实验室
64 解得:C1=EC2=的 63 E ()=264(7)-2,k=01.23 63 l(0)=E(10 21 (2)=El(3)=0 21 东南大学移动通信国家重点实验室
解得：c E c E 63 1 63 64 1 = 2 = − ∴ ) 2 ], 0,1,2,3 21 [64( 63 ( ) = − k = E u k k k 即 (3) 0 214 (2) 21 10 (0) (1) = = = = u E u u E u E 东南大学移动通信国家重点实验室
例2:后向差分方程表示的离散系统 y(k)-2yk-1)+2y(k-2)=0y:(-1) 解:(1)直接求解 D(S)=1-2S+2S=S(S2-2S+2)=0 得V2=1±j=√2e k =C1V4+C2V2 k≥-2 东南大学移动通信国家重点实验室
例 2：后向差分方程表示的离散系统 ( 2) 1 21 ( ) − 2 ( −1) + 2 ( − 2) = 0 (−1) = − − = − zi zi y k y k y k y y 解： （1）直接求解 ( ) 1 2 2 ( 2 2) 0 1 2 2 2 = − + = − + = − − − D S S S S S S 得 4 1,2 1 2 π ± = ± = j v j e ∴ ( ) 2 y k = c1v1 + c2v2 k ≥ − k k zi 东南大学移动通信国家重点实验室
由y2(-1)=c1v1+c2V2=- 及y2(-2)=c1v12+C e 2 =—e JIg 得 yi (k)=2C v cos(ko+0)E(k+ 2) 2××(√2)/co2k-tn12)(k+2) 2 4 东南大学移动通信国家重点实验室
由 2 1 ( 1) 1 2 2 1 − = 1 1 + = − − − y c v c v zi 及 ( 2) 1 2 2 2 2 − = 1 1 + = − − − y c v c v zi 得 2 2 2 1 1 1 2 5 2 1 2 5 2 1 − − = − = = + = − jtg jtg c j e c j e ∴ tan 2) ( 2) 4 ( 2) cos( 25 2 ( ) 2 | || | cos( ) ( 2) 1 = × × − + = + + − k k y k C v k k k k zi ε π ϕ θ ε 东南大学移动通信国家重点实验室
(2)转换成前向方程 y(k+2)-2y(k+1)+2y(k)=0k≥0 y2(0)=2y2(-1)-2y2(2)=1 y2(1)=2y2(0)-2y2(-1)=3 (余略,类似(1 √5 得y(k)=2××(√2)cos(k-tan2)(k) 东南大学移动通信国家重点实验室
（2）转换成前向方程 y(k + 2) − 2y(k +1) + 2y(k) = 0 k ≥ 0 yzi (0) = 2yzi (−1) − 2yzi(−2) = 1 yzi (1) = 2yzi (0) − 2yzi (−1) = 3 （ 余略，类似（1） ） 得 tan 2) ( ) 4 ( 2) cos( 25 ( ) 2 1 y k k k k zi ε π − = × × − 东南大学移动通信国家重点实验室