《通信原理》课程教学资源（习题与答案）习题解答（一）

习题解答(一) 1-1设英文字母E出现的概率为0.105,x出现的概率为0.002。试求E及x的信息量 解:Ig=-log2P=-bog20.105≈3.25(bi) I =-log2 P=-log2 0.002 =8.97(bit) 1-4一个由字母A,B,C,D组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码, 代替A,01代替B,10代替C,11代替D,每个脉冲宽度为5ms (1)不同的字母是等可能出现时,试计算传输的平均信息速率; (2)若每个字母出现的可能性分别为 PA=1/5,PB=1/4,PC=1/4,PD=3/10 试计算传输的平均信息速率 解(1)I=gP(x)82=bg24=2(bn/符号) 传输每个符号占用的时间为:Mt=2×5(m/符号)=10(ms/符号) 则:R 2006/s) (2)H(x)=-∑P(x川og2P(x) 1 1 11.1 log2,≈1.985(bi/符号) 4 1.985 则:△M10×10=1985(b/s) 1-5国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持续3单位的电流脉冲表示 点用持续1单位的电流脉冲表示:且划出现的概率是点出现概率的l/ (1)计算点和划的信息量; (2)计算点和划的平均信息量 解:1因为划出现的概率是点出现概率的1/3,所以点出现的概率为P=3/4, 划出现的概率为P2=1/4 故1 0415(bt) P=-log,-=2(bin) (2)H=B1+B,3 ×0415+×2=0.81(bt/符号)

xt－1 习题解答（一） 1-1 设英文字母 E 出现的概率为 0.105，x 出现的概率为 0.002。试求 E 及 x 的信息量。 log log 0.002 8.97( ) log log 0.105 3.25( ) 2 2 2 2 I P bit I P bit x x E E = − = −  解： = − = −  1-4 一个由字母 A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码， 00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替 D，每个脉冲宽度为 5ms。 （1）不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率； （2）若每个字母出现的可能性分别为 PA=1/5，PB=1/4，PC=1/4，PD=3/10 试计算传输的平均信息速率。 198.5( / ) 10 10 1.985 1.985 ( / ) 10 3 log 10 3 4 1 log 4 1 4 1 log 4 1 5 1 log 5 1 2 ( ) ( )[log ( )] 200( / ) 10 10 2 2 5 / 10 / log log 4 2( / ) ( ) 1 (1) log 3 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 bit s t I R bit H x P x P x bit s t I R t m s m s M bit P x I b n i i i b =    = = − − − −  = − =  =  =  =  = = = = = − = −  则： 符号 （ ） 则： 传输每个符号占用的时间为： （ 符号） （ 符号） 解： 符号 1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续 3 单位的电流脉冲表示， 点用持续 1 单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现概率的 1/3： （1）计算点和划的信息量； （2）计算点和划的平均信息量。 （ ） 符号） 故 划出现的概率为 。 解： 因为划出现的概率是点出现概率的 ，所以点出现的概率为 ， 2 0.81( / 4 1 0.415 4 3 2 2( ) 4 1 log log 0.415( ) 4 3 log log 1/ 4 (1) 1/ 3 3/ 4 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 H P I P I bit I P bit I P bit P P = + =  +  = = − = − = = − = −  = =

1-7对于二电平数字信号,每秒钟传输300个码元,问此传码率Rg等于多少?若该数 字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率Rb等于多少? RB 3006B T (2)Rb=RB log 2 2=300(bit /s) 1-9如果二进独立等概信号,码元宽度为0.5ms,求RB和Rb:有四进制信号,码元宽 度为0.5ms,求传码率RB和独立等概时的传信率R 解:(1)RB2= Tb0.5×10-3 20006 Ro2=rBz log 2 2=2000(bit /s) (2)RB4= 20000B 7b0.5×10 Rb4=R4log24=4000b/s) 22设z(D)= Xcos a0t-X2 sin cos ool1是一随机过程,若X和X2是彼此独立且具 有均值为0、方差为σ2的正态随机变量,试求: (1)E[=()]、E{() (2)()的一维分布密度函数f() (3)B(t,t2)与R(t,t)

xt－2 1-7 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300 个码元，问此传码率 RB等于多少？若该数 字信号 0 和 1 出现是独立等概的，那么传信率 Rb 等于多少？ 2 log 2 300( / ) 300( ) 1 1 2 R R bit s B T T n R b B b B = = = = = （ ） 解：（） 1-9 如果二进独立等概信号，码元宽度为 0.5ms，求 RB和 Rb；有四进制信号，码元宽 度为 0.5ms，求传码率 RB和独立等概时的传信率 Rb。 log 4 4000( / ) 2000( ) 0.5 10 1 1 2 log 2 2000( / ) 2000( ) 0.5 10 1 1 1 4 4 2 4 3 2 2 2 2 3 R R bit s B T R R R bit s B T R b B b B b B b B = = =  = = = = =  = = − − （ ） 解：（） 2-2 设 z t X t X t 1 0 2 0 ( ) = cos − sin cos 是一随机过程，若 X1 和 X2 是彼此独立且具 有均值为 0、方差为σ2 的正态随机变量，试求： （1）E[z(t)]、E[z 2 (t)]； （2）z(t)的一维分布密度函数 f(z); （3）B(t1,t2)与 R(t1,t2)

fiF: (D)E=(J= ELX, cosoof-X2 sin oot ELX, COSco! -, sin oot] ELXIcosoot-ElX,]sn oot=0 E[(]=ELX, cos oo(-X2 sin oot ELXIIcosoot-2EIXE[X, ]cos@tsin Oot+ E[x2]sinoo 0(cos.t+sin 200-0=o (2)因为X1、2为正态分布,所以(也为正态分布, 又Ez()=0,DLz()=E[22(l)-E2[=()=a2 所以f( 2σ (3)R(1,t2)=E[=(1)2(12) EI(X, cos0o4-X2 sin @o,)(X, cosoo42-X, sin Ot2)] ELC ot2+ e[x2 ]sin Oo, sin oot2 ELXELX2 ]cos@o sin Oot2-ELX,E[X,]sin @o, coswo42 o[oo(t2-t,)=o cosOpt B(t1,12)=R(t1,l2)-E[=(t1)E[=(12)=R(t1,t2)= g cosO0r 2-3求乘积()=X()Y1)的自相关函数。已知X(与Y(是统计独立的平稳随机过程, 且它们的自相关函数分别为Rx()、R(T)。 解:R(1,l2)=E=(1)(12)=EX(1)Y(1)X(2)Y(2) =E[X(1)X(t2)E[Y(t1)Y(t2)=Rx(r)R1(r) 2-6(是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为2s的周期函数。在区间(-1,1)s 上,该自相关函数R(r)=1-。试求5(的功率谱密度Pfoy),并用图形表示。 解:周期信号的傅立叶变换为:H()=2z∑nD(-00) f(oe noor T/2 R(r)在(-1.1)s的一个周期:Xx(O) f∫(r)e"adr=Sa2() T/2 2 则P()= x()6(0-n2)=∑S2()6(-n)

xt－3                                        0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 0 1 0 2 2 1 0 1 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 2 1 1 0 1 2 0 1 1 0 2 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 1 2 0 0 2 2 2 1 2 1 0 2 0 2 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 ( , ) ( , ) [ ( )] [ ( )] ( , ) cos cos[ ( )] cos [ ] [ ]cos sin [ ] [ ]sin cos [ ]cos cos [ ]sin sin [( cos sin )( cos sin )] 3 ( , ) [ ( ) ( )] ) 2 exp( 2 1 ( ) [ ( )] 0 [ ( )] [ ( )] [ ( )] 2 ( ) (cos sin ) 0 [ ]cos 2 [ ] [ ]cos sin [ ]sin [ ( )] [( cos sin ) ] [ ]cos [ ]sin 0 [ cos ] [ sin ] 1 [ ( )] [ cos sin ] = − = = = − = − − = + = − − = = − = = − = = + − = = − + = − = − = = − = − B t t R t t E z t E z t R t t t t E X E X t t E X E X t t E X t t E X t t E X t X t X t X t R t t E z t z t z f z E z t D z t E z t E z t X X z t t t E X t E X E X t t E X t E z t E X t X t E X t E X t E X t E X t E z t E X t X t （ ） 所以 又 ， （ ）因为 、 为正态分布，所以 也为正态分布， 解：（） 2-3 求乘积 z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知 X(t)与 Y(t)是统计独立的平稳随机过程， 且它们的自相关函数分别为 RX(τ)、RY(τ)。 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2   RX RY E X t X t E Y t Y t R t t E z t z t E X t Y t X t Y t = = 解： = = 2-6 ξ(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2s 的周期函数。在区间(-1,1)s 上，该自相关函数 R(τ)=1-τ。试求 ξ(t)的功率谱密度 Pξ(ω)，并用图形表示。       =−  =− − − − −  =− = − = − − = = = = − n n T T T j n T T T j n t n n n Sa n T X n T P f e d Sa T R s X f t e dt T V F f t V ) ( ) 2 ) ( 2 ( ) ( 2 ( ) ) 2 ( ) ( 1 ( ) ( 1,1) : ( ( ) 1 [ ( )] 2 ( ) 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 0 0 0                         则 在 的一个周期 ） 解：周期信号的傅立叶变换为：

2-7将一个均值为0、功率谱密度为m2的高斯白噪声加到一个中心频率为o2、带宽 为B的理想带通滤波器上,如图P2-1所示 (1)求滤波器输出噪声的自相关函数 (2)写出输出噪声的一维概率密度函数。 0 图P2-1 解:(1)经过滤波器后,输出噪声的功率谱密度为: (oy)=//2 ±≤B 其余O 故Rn(r)=F[Pn(o)=×2BSa(zBr) COSO.T no BSa(tBr)cos@ r (2因为输入是高斯噪声,所以输出仍为高斯噪声。又, Rn(∞)=E[2(D)=0 Rn(0)-Rn(∞)=2=nB-0=n1B,所以,Dn(=a=√mB 故输出噪声的一维概率密度为: f(x)= iMb 2nB 2-8设RC低通滤波器如图P22所示,求当输入均值为0、功率谱密度为m2的白噪 声时,输出过程的功率谱密度和自相关函数。 图P22

xt－4 2-7 将一个均值为 0、功率谱密度为 n0/2 的高斯白噪声加到一个中心频率为 ωc、带宽 为 B 的理想带通滤波器上，如图 P2-1 所示。 （1）求滤波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。 图 P2-1 0 H() −c 2B 2B c  ) 2 exp( 2 1 ( ) (0) ( ) 0 [ ( )] ( ) [ ( )] 0, (2) ( ) cos 2 ( ) cos 2 ( ) [ ( )] 0 / 2 ( ) 1 0 2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 n B x n B f x R R n B n B D n t n B R E n t n BSa B BSa B n R F P n B P n o n o o n o o c n o n o c c n o = − −  = = − = = =  = = = = =       = −                   故输出噪声的一维概率密度为： ，所以， 因为输入是高斯噪声，所以输出仍为高斯噪声。又， 故 其余 解：（）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为： 2-8 设 RC 低通滤波器如图 P2-2 所示，求当输入均值为 0、功率谱密度为 n0/2 的白噪 声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。 图 P2-2 R C

解:低通滤波器的传输函数为 H(O)= 经过滤波器后,输出噪声的功率谱密度为: Po(o)=P(o).H()= 21+(oRC) 故Rn()=F[P(o)=noex- 4RC 2-14一噪声的功率谱密度如图P2-6所示,试求其自相关函数 P() Q 图P21 M: R,(@)=F[P,(@=L Pn(@)efordr 2-P(o(cos OT+sin orda P(o)为偶函数,则 R,(o)=CP(Ojelonda oota/ark cosordr z Joo-Q/2 Q KSa(Q2t/2)cost

xt－5 exp( ) 4 ( ) [ ( )] 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 0 2 0 2 RC RC n R F P RC n P P H j RC H n o n o n o ni          = = − + =  =  + = 故 − 经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为： 解：低通滤波器的传输函数为 2-14 一噪声的功率谱密度如图 P2-6 所示，试求其自相关函数。 图 P2-1 0 () Pn −0  0    K                           0 / 2 0 / 2 1 ( / 2) cos cos 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )(cos sin ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) [ ( )] 0 0 =   = = = + = =     + −   −  − − KSa d K R P e d P P j d R F P P e d j n n n n j n n n 为偶函数，则 解：