《信号与线性系统分析》课程教学资源（教案讲义）第五章 复频域分析

第五章复频域分析 重点:常见信号的拉氏变换对 难点:收敛域及定义推导过程 第四章的思想:一是将信号分解为e虚指数信号的叠加一一傅 氏级数和傅氏变换。二是响应的合成。即把e作为测试信号,系统 频率特性H(i)响应为eH(i)叠加。对分析谐波成分、频率响应、 波形失真、取样、滤波十分有效。 本章以e为基本信号。 把拉氏变换用于系统分析,其功绩首推英国工程师 heaviside 1899年其在解决电气工程中出现的微分方程时,首先发明了“算子 法”。在实际应用中得到欢迎,但许多数学家认为缺乏严密的论证而 极力反对, Heaviside追随者并未止步,最后在拉普拉斯著作中找到 依据,取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有 广泛的应用,直到五十年代奇异函数理论的进一步完善,给时域法带 来生机,形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面 ( Laplace. pierre- Simon,1749生于诺曼底的博蒙昴诺日,1827年 死于巴黎。法国数学家天文学家。1785当于法国科学院院士。研究 天体力学和物理学,天体力学的奠基人,分析概率论的创始人是应用 数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具,但在运用数学时创 造和发展了许多新的数学方法。)

1 第五章 复频域分析 重点：常见信号的拉氏变换对 难点：收敛域及定义推导过程 第四章的思想：一是将信号分解为 j t e  虚指数信号的叠加——傅 氏级数和傅氏变换。二是响应的合成。即把 j t e  作为测试信号，系统 频率特性 H j ( )  响应为 ( ) j t e H j   叠加。对分析谐波成分、频率响应、 波形失真、取样、滤波十分有效。 本章以 st e 为基本信号。 把拉氏变换用于系统分析，其功绩首推英国工程师 heaviside。 1899 年其在解决电气工程中出现的微分方程时，首先发明了“算子 法”。在实际应用中得到欢迎，但许多数学家认为缺乏严密的论证而 极力反对，Heaviside 追随者并未止步，最后在拉普拉斯著作中找到 依据，取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有 广泛的应用，直到五十年代奇异函数理论的进一步完善，给时域法带 来生机，形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。 （Laplace.pierre-simon，1749 生于诺曼底的博蒙昴诺日，1827 年 死于巴黎。法国数学家天文学家。1785 当于法国科学院院士。研究 天体力学和物理学，天体力学的奠基人，分析概率论的创始人是应用 数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创 造和发展了许多新的数学方法。）

拉普拉斯变换( Laplace transform) 1、从傅氏变换到拉氏变换 增加收敛因子e"作傅氏变换 E(o)=F[(e 0]=[f(e an].eio'dr ∫f(e-mdr=F(a+jo) 令:σ+jO=s,具有频率的量纲,称为复频率 F()=f()e"d F(σ+J )=f()d=F()=」f()e"d 对于f()e是F(a+jo)的傅里叶逆变换 f(e-ousI F(a+jo)eda两边同乘以 /(=F(o+jo)elo-tjol do 其中:s=σ+jo;若σ取常数,则ds=jda 积分限:对o:「→对s f()= ai F(s)e"d 2πj-j F()=[)-/(o- 正变换 拉氏变换对:1/0)=c[(0)-,1-(=4,逆变换 2、收敛域:使F(。)存在的s的区域称为收敛域lmf(em=0(a>a) ①因果信号 ②反因果信号 ③双边信号 3、单边拉普拉斯变换( Unilateral laplace transform)

2 一、拉普拉斯变换（Laplace Transform） 1、从傅氏变换到拉氏变换 增加收敛因子 st e 作傅氏变换 1 ( ) ( ) e t F F f t   − =  =     j ( )e e d t t f t t   + − − −      ( j ) ( ) e dt f t t   + − + − =   = + F( j )   令 具有频率的量纲 称为复频率 : j , ,   + = s ( ) ( )e s t F s f t t  − − =  d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j e e t s t F f t t F s f t t       − + − − − + = = =   d d ( )e j ( ) t f t F    − 对于 是 的傅里叶逆变换 + ( ) ( ) 1 j e e d 2 π t t f t F j       − − = +  e 两边同乘 以  t ( ) ( ) 1 ( j ) j e d 2 π t f t F       + − = +  其中 若 取常数，则 : j ; d jd s s = + =     j j : : s     +  − −  积分限：对 对    ( ) ( ) j j 1 e d 2 π j s t f t F s s   +  −  =  拉氏变换对： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j 1 j e d 1 e d 2 π j s t σ s t σ F s L f t f t t f t L f t F s s  − − +  − −   = =        = =        正变换 逆变换 2、收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域 lim ( )e 0 ( 0 ) σ t t f t σ σ − → =  ①因果信号 ②反因果信号 ③双边信号 3、单边拉普拉斯变换（Unilateral Laplace Transform）

一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围0-:包含δ (t)及其各阶导数 ①因果信号f(t)在a00 称σ0为收敛横坐标。( abscissa of convergence) 说明:P207 4、常见信号的拉氏变换 ①单边指数信号Le"]-e"c"d= a +s ②冲激信号L[b()=6(0)"dr=1 L[b(-6)=6(-4)e-dt=e ③阶跃信号L=ne"dr=1c= ④正余弦信号 拉氏变换的性质 1、线性:若40=F(,4[(=(A,K为常数, AU LIK,(0+K2f(0J=K,F(s)+K, F2(s) 2、原函数微分:若L[(=F(则/(|=sF(s)-f(0.) d t 3、原函数积分:若]=Fs)则Lf)dr/=F(s+0) 4、延时 若L[fO)]=F(s),则 L[f(t-0(-b)]=F(s)e 5、S域平移:若[=F(s),则

3 一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围 0-：包含δ (t)及其各阶导数 ①因果信号 f(t)在 a＜t＜b 内(0≤a＜b＜∞)可积 ②且对σ0 有收敛域σ＞σ0 称σ0 为收敛横坐标。（abscissa of convergence） 说明：P207 4、常见信号的拉氏变换 ①单边指数信号 0 e e e d α t α t st L t  − − −   = =    ( ) ( ) 0 e α s t α s  − + = − + 1 α s + ②冲激信号 ( ) ( ) 0 e d 1 st L t t t    −   =  =    ( ) ( ) 0 0 0 0 e d e st st L t t t t t    − −   − = −  =    ③阶跃信号   0 ( ) 1 e dst L u t t  − =  =  0 1 1 e st s s  − = − ④正余弦信号 二、拉氏变换的性质： 1、线性：       1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) L f t F s L f t F s K K L K f t K f t K F s K F s = = + = + 若 为常数， 则 2、原函数微分：   d ( ) ( ) ( ), ( ) (0 ) d f t L f t F s L sF s f t −   = = −     若 则 3、原函数积分： 若 ，则 L f t F s  ( ) ( )  = ( 1) ( ) (0 ) ( )d t F s f L f τ τ s s − − −   = +      4、延时：     0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e st L f t F s L f t t u t t F s − = − − = 若 ，则 5、S 域平移：  ( ) ( )  ( )e ( ) α t L f t F s L f t F s α − =   = +   若 ，则

若L[f()]=F(s,则 6、尺度变换 [(ar (a>0) 7、初值。若()及9D可以进行拉氏变换,且f(0)→Fs)则 lim f(=f(0)=lim sF(s) 8、终值;设)d的拉氏变换存在,若L[()]=F(s则 d f( lim f(o=lim sF(s) 9、卷积 若L[1(o)]=F(s)L[L1(o)]=F(s)f(),2()为有始信号, 则 LD()*(O)]=F(s)F(s) L[(0)·f()]=:F(S)*F2(s) 若L[f()]=F(s,则 10、S域微分: r"f(t)|=(-1) d”F(s) n取正整数 1、.s城积分:若400则[x0ro 拉氏逆变换 (1)部分分式法 (2)利用留数定理一一围线积分法 (3)数值计算方法 利用计算机 F()=A(s)a,s"+am-lsmr B(s)b"+bns"+…+bS+b A(s) a(s-=1(s-=2)-(S-=m) F(S)B(s)b(s-Pi)(s-P2)(s-P) 1,23…二m是4()=0的根称为F(s)的零点 P,P2P3…p是B(s)=0的根称为F()的极点

4 6、尺度变换：     ( ) ( ) ( ), 1 ( ) 0 L f t F s s L f at F a a a =   =      若 则 7、初值： 0 d ( ) ( ) ( ) ( ), d lim ( ) (0 ) lim ( ) t s f t f t f t F s t f t f sF s + + → → ⎯→ = = 若 及 可以进行拉氏变换，且 则 8、终值；   d ( ) ( ), ( ) ( ) d f t f t L f t F s t 设 的拉氏变换存在，若 ，则 = 0 lim ( ) lim ( ) t s f t sF s → → = 9、卷积： 若 ， ， 为有始信号， L f t F s L f t F s f t f t  1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )  = =   则 L f t f t F s F s  1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )  =  1 2 1 2  1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 j L f t f t F s F s   =  10、S 域微分：  ( ) ( )  d ( ) ( ) ( 1) d n n n n L f t F s F s L t f t n s =   = −   若 ，则 取正整数 11、S 域积分：   ( ) ( ) ( ) ( )d s f t L f t F s L F s s t    = =     若 ，则  三、拉氏逆变换： （1)部分分式法 (2)利用留数定理——围线积分法 (3) 数 值 计 算 方 法 —— 利 用 计 算 机 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n A s a s a s a s a F s B s b s b s b s b − − − − + + + + = = + + + + 1 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) m m n n A s a s z s z s z F s B s b s p s p s p − − − = = − − − z z z z A s F s 1 2 3 , , 0 , m是 的根 称为 的零点 ( ) = ( ) p p p p B s F s 1 2 3 , , 0 , n是 的根 称为 的极点 ( ) = ( )

找出F(S)的极点 将F(s)展成部分分式 查拉氏变换表求f()—利用变换对求原函数 A(s) 1.第一种情况:单阶实数极点F(s)(SB) B,P2,p3…Pn为不同的实数根 F(s) s-PI 2.第二种情况:极点为共轭复数3.第三种情况:有重根存在四、用 拉氏变换分析电路 列S域方程可从两方面入手: 列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换; ·直接按电路的s域模型建立代数方程1、微分方程的S域求解: df(|=sF(s)-f(0.) /df(|=s()-f(0)-f(o) =s2F(s)-sf(0)-f(0) 2、利用元件S域模型求解 KCL:∑()=0→∑/(s) KVL:∑v)=0→∑r(s)=0 步骤 画0等效电路,求起始状态; 画s域等效模型; 列s域方程(代数方程);

5 找出 的极点 F s( ) 将 展成部分分式 F s( ) 查拉氏变换表求 f t( )——利用变换对求原函数 1.第一种情况：单阶实数极点 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n A s F s s p s p s p = − − − 1 2 3 , , n p p p p 为不同的实数根 1 2 1 2 ( ) n n k k k F s s p s p s p = + + + − − − 2. 第二种情况：极点为共轭复数 3.第三种情况：有重根存在四、用 拉氏变换分析电路 列 S 域方程可从两方面入手： •列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； •直接按电路的 s 域模型建立代数方程 1、微分方程的 S 域求解： d ( ) ( ) (0 ) d f t L sF s f t −   = −     ( ) ( ) 2 2 2 d ( ) 0 (0 ) d ( ) (0 ) (0 ) f t L s sF s f f t s F s sf f − − − −   = − −          = − −  2、利用元件 S 域模型求解： KCL: ( ) 0 ( ) 0   i t I s = → = KVL: ( ) 0 ( ) 0   v t V s = → = 步骤： ••画 0-等效电路，求起始状态； •画 s 域等效模型； •列 s 域方程（代数方程）；

解s域方程,求出响应的拉氏变换Vs)或I(s); 拉氏反变换求v(或(t)。电阻:(=s 电感:V(s)=1(s)Ls-L2(0) l1(S) (s) +-i2(0) 电容:c(s)=1)C*v20.) Ic(s)=sCIc(s)-Cv(0_) 求响应步骤: ·画0-等效电路,求起始状态; ·画s域等效模型; 列s域方程(代数方程); 解s域方程,求出响应的拉氏变换s)或I(s); ·拉氏反变换求v(t或i(t)。五、系统函数 1、定义: H() r()=e()*h()R(s)=E(s)H(s) 所以 H()=R() E(s) 2、求系统函数的方法: h()→H(s) 微分方程利用定义求解 S域模型直接求解 3、互联系统的系统函数 6

6 •解 s 域方程，求出响应的拉氏变换 V(s)或 I(s)； •拉氏反变换求 v(t)或 i(t)。电阻： ( ) ( ) R R V s I s R = 电感： ( ) ( ) (0 ) V s I s Ls Li L L L = − − ( ) 1 ( ) (0 ) L L L V s I s i Ls s = + − 电容： 1 1 ( ) ( ) (0 ) V s I s v C C C sC s = + − ( ) ( ) (0 ) C C C I s sCV s Cv = − − 求响应步骤： •画 0-等效电路，求起始状态； •画 s 域等效模型； •列 s 域方程（代数方程）； •解 s 域方程，求出响应的拉氏变换 V(s)或 I(s)； •拉氏反变换求 v(t)或 i(t)。五、系统函数 1、定义： r t e t h t ( ) =  ( ) ( )  =  R s E s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R s H s E s 所以 = 2、求系统函数的方法： h t H s ( ) → ( ) 微分方程利用定义求解 S 域模型直接求解 3、互联系统的系统函数： h(t) H(s) e(t) E(s) r(t) R(s)

H() ( 并联 H(S)=H1(s)+H2(s)时域:h()=h()+h2() HIs H1() 级联 H(s)=H1(s)H2(s)时域:h(1)=h(1)*h(1) 反馈 E(s)=E()-E2(s)E2(s)=R(s)H2(s) R(s)=H1(s)[E(s)-E2(s)]=H(s)E(s)-H1(s)E2(s) H(SE(S)-H,(S)H,(S).R(S) 所以 H(S)=R(S2- H, (s) E(s)1+H1(s)H2(s) 六、与傅氏变换关系: 我们在引出拉氏变换时,是针对f()不满足绝对 可积条件,对其乘以一个衰减因子e-,作傅氏变换, 演变为拉氏变换 L[=F[()e"O)]=F(s)= 关系 σ>0.收敛轴位于平面的右半平面则F(@)不存在 o<0收敛轴位于s平面的左半平面则F(o)=F(s)l=p

7 并联： 1 2 H s H s H s ( ) ( ) ( ) = + 时域： h t h t h t ( ) = + 1 2 ( ) ( ) 级联： 1 2 H s H s H s ( ) ( ) ( ) =  1 2 时域: ( ) ( ) ( ) h t h t h t =  反馈： 1 2 E s E s E s ( ) ( ) ( ) = − 2 2 E s R s H s ( ) ( ) ( ) =  R s H s E s E s ( ) ( ) ( ) ( ) =  − 1 2   1 1 2 = − H s E s H s E s ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 = −  H s E s H s H s R s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) R s H s H s E s H s H s = = + 所以 六、与傅氏变换关系： , ( ) , e , , t f t − 我们在引出拉氏变换 时 是针对 不满足绝对 可积条件 对其乘以一个衰减因子 作傅氏变换 演变为拉氏变换   ( ) j ( ) ( ) e ( ) σ t L f t F f t u t F s s σ ω − = + =  =     关系： σ s F ω 0  0, , 收敛轴位于 平面的右半平面 则 不存在 ( ) 0 j 0, , ( ) ( ) s ω σ s F ω F s  = 收敛轴位于 平面的左半平面 则 = H (s) 1 H (s) 2 E(s) R(s) H (s) 1 H (s) 2 E(s) R(s) H (s) 1 H (s) 2 E(s) E (s) R(s) 1 E (s) 2 − +

σo=0,收敛轴位于虚轴 则F(o)=F()=m+nk(a-o)

8 0 σ = 0,收敛轴位于虚轴 ( ) ( ) s jω n n ( ) n 则F ω F s k δ ω ω = + − =  