Chapter3信号分析 §3-1引言 信号特性: 函数f(t),单元信号δ(1),子响应h(t); 时域上 波形 2.频域上:频谱表示,即信号分解成正弦(虚指数)的组合→频谱分析 本章重点:FS.(傅里叶级数)→频谱; FT.(傅里叶变换)→频谱(密度函数),性质; 调幅波 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 Chapter 3 信号分析 §3-1 引言 信号特性： 1． 时域上 波形 函数f ( t), 单元信号 δ ( t )，子响应 h ( t); 2． 频域上：频谱表示，即信号分解成正弦（虚指数）的组合 ⇒频谱分析。 本章重点：F.S.（傅里叶级数） ⇒频谱； F.T.（傅里叶变换） ⇒频谱（密度函数），性质； 调幅波
§32信号在正交函数集中的分解 设有一个函数集{g0(t),g1(1)…gn()},在(1,41+m)上正交,即满足: g()9(O)b=或者对于复数「g1()g()=0)k≠k,=01…n 41+7 lg;(t)Pat≠0 则信号f(2)在(t11+7)上可分解为 f(t)=a0g0(1)+a1g1()+…+angn(t)+(t) 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 §3-2 信号在正交函数集中的分解 设有一个函数集 { ( ), ( ), ( )} 0 1 g t g t g t L n ，在 ( , ) t1 t1 + T 上正交，即满足： ≠ = = ≠ = ∫ ∫ ∫ + + ∗ + | ( ) | 0 ( ) ( ) 0 ( , ( ) ( ) 0), , , 0,1, . 1 1 1 1 1 1 2 t T t l t T t l k t T t l k g t dt g t g t dt 或者对于复数 g t g t dt k l k l L n 则信号 ( ) ( , ) f t 在 t1 t1 + T 上可分解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 f t a g t a g t a g t t n n ∆ = + + L + + ε
方均误差=j0,为使其为最小,令②=0,得, t1+T f(tgr(tdt ,k=0,1, 称为“分量系数” gk(t) dt 若信号(O)a取上式时3()=0,→{8()称为正交完备集 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 方均误差 ∫ + ∆ ∆ ε = ε t T t t dt T 1 1 ( ) 2 1 2 ，为使其为最小，令 0 2 = ∂ ε ∆ k a ，得： 0 1 . | ( ) | ( ) ( ) 1 1 1 1 2 k n g t dt f t g t dt a t T t k t T t k k = ， = ，，L ∫ ∫ + + ∗ 称为“分量系数” 若 ( ), , ( ) 0, { ( )} 2 f t a t g t ∀ k ∆ = ⇒ k 信号 取上式时 ε 称为正交完备集
注:1.函数集不一定非要正交,但是在正交集中分解; a)分量系数ak可独立计算; b)平均功率=各分量平均功率之和→ Parseval定理; 2.正交函数集有很多,如三角函数集,指数函数集, Walsh函数… 例如,三角函数集: 1. cos t cos 2 t,... cosnQt sinΩ2t,sin20t.… sinnet T 其中:Ω基波频率,T基波周期。 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 注：1. 函数集不一定非要正交，但是在正交集中分解； a ） 分量系数 k a 可独立计算； b ） 平均功率 =各分量平均功率之和 ⇒Parseval 定理； 2. 正交函数集有很多，如三角函数集，指数函数集，Walsh 函数…… 例如，三角函数集： } t t n t T t t n t 2π , sin ,sin 2 , sin 1 ,cos ,cos 2 , cos Ω = Ω Ω Ω Ω Ω Ω L L L L 其中：Ω基波频率， T 基波周期
§3-3信号的傅立叶级数表示 三角形式 若信号f()满足 Dirichlet条件(仅充分条件),即 在一周期内有有限个间断点; 2.在一周期内有有限个极值点; t,+T 3 在一周期内能量有限,即J/)2d<+0 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 §3-3 信号的傅立叶级数表示 一、 三角形式 若信号 f ( t )满足 Dirichlet 条件（仅充分条件）， 即： 1． 在一周期内有有限个间断点； 2． 在一周期内有有限个极值点； 3． 在一周期内能量有限，即 ∫ + < +∞ t T t f t dt 1 1 2 ( )
则可以展成傅氏级数(FS): f(o)=0+2(a, cosnQ2t+bn sinnet), 2丌 t1+7 f(t). cosnQ2tdt=a_n, n=0, 1, 2 其中: t1+7 f(t)· sinnett=-bn,n=0,1,2… 即设b0=0 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 则可以展成傅氏级数（F.S ）： T a n t b n t a f t n n n 2 π ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 = + ∑ Ω + Ω Ω = ∞ = 其中： = ⋅ Ω = − = = ⋅ Ω = = − + − + ∫ ∫ L L ( ) sin , 0,1,2 2 ( ) cos , 0,1,2 2 1 1 1 1 f t n tdt b n T b f t n tdt a n T a n t T t n n t T t n 即设 b 0 = 0
+b=An,n=0,12 a.=A COS 或由 Sino →f()=2+∑4csg-n) 2 直流+各次谐波分量 东南大学移动通信国家重点实验宣
东南大学移动通信国家重点实验室 或由 n n n n n n n n a b tg A a b A n − − − ϕ = = −ϕ = + = = 1 2 2 , 0,1,2 L = ϕ = ϕ ⇒ n n n n n n b A a A sin cos ∑ ∞ = ⇒ = + Ω − ϕ 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 直流 + 各次谐波分量
指数形式 e 由欧拉公式c0s0t 2 f()=+∑e j(n22t-on)+e j(nQ2t-on) e 2 1= ∑ 2 2 +∑合en j(nQ2t+o-n) j(09t-90) j(nQ2t-oun) n 2 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 二、 指数形式 由欧拉公式 2 cos j t j t c c c e e t ω − ω + ω = 则 ∑ ∞ = Ω − − Ω − = + + 1 0 ( ) ( ) { } 2 2 ( ) n n j n t j n t n n e e A A f t ϕ ϕ ∑ ∑ ∞ = − Ω − Ω − ∞ = = + + 1 ( ) 0 ( ) 1 2 2 n 2 j n t n j n t n n n n e A A e A ϕ ϕ ∑ ∑ ∞ = Ω + Ω − Ω − − =−∞ − = + + − 1 ( ) 0 (0 ) ( ) 1 2 2 2 0 n j n t j t n j n t n n n n e A e A e A ϕ ϕ ϕ
再利用A,q的奇偶特性 ∑ p ∑ n oinT 已 其中: Jp, ib 1+T f(t) e ndt n=0,±1,±2…称作傅立叶复系数 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 再利用 A,ϕ的奇偶特性 ∑ ∑ ∞ =−∞ Ω • ∞ =−∞ Ω − = = n n jn t n n jn t j e A e e A n 2 2 ϕ 其中: L & ( ) , 0 , 1 , 2 2 1 1 = = ± ± = = − ∫ + − Ω − f t e dt n T A A e a jb t T t jn t n n j n n ϕn 称作傅立叶复系数
注:(1)Ao=Aoe0=Ao=ao (2)由 bn得An=A-n共轭对称 (3)指数形式是在虚指数函数集 j2Q2t Qt t e }中的分解,它正交完备, 设:f(1)=∑c1m,cn是分量系数。 If(te m jn Q2t e dt 则: +∫4 2 Qt 东南大学移动通信国家重点实验室
东南大学移动通信国家重点实验室 注： （ 1 ） 0 0 0 0 0 A A e A a j = = = − ϕ & ； （ 2）由 n n n A = a − jb & 得 n A n A − ∗ = & & 共轭对称； （ 3）指数形式是在虚指数函数集 { , ,1, , } L e − j 2 Ωt e − j Ωt e j Ωt e j 2 Ωt L 中的分解，它正交完备， 设： n n jn t n f ( t ) ∑ c e , c ∞ =−∞ Ω = 是分量系数。 则： 2 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 n t T t jn t t T t jn t t T t jn t n A f t e dt T e dt f t e dt c & = = = ∫ ∫ ∫ + − Ω + Ω + − Ω ；
