定理4若①(x,)正定：②广(x,)正定：则原点是不稳定的。 广(x,)正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。 参考定理2可推论：V(x,)正定，当(x,)正半定，且在非零状态不恒为零时，则原 点不稳定。 应注意到，李雅普诺夫函数[正定的V(x,)]的选取是不惟一的，但只要找到一个V(x,) 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的V(x,)不同而有所影响。 不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障 碍。如果V(x,)选取不当，会导致(x,)不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重 新选取V(x,) 以上定理按照V(x)连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统 可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李 雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。 具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数V(x,),通常选二次型函数，求其导数广(x,), 再将状态方程代入，最后根据广(x,)的定号性判别稳定性。 至于如何判断在非零状态下Lx(化，x,6人是否有恒为零的情况，可按如下方法进行： 令广(x,)=0,将状态方程代入，若能导出非零解，表示对x≠0，广(x,)=0的条件是成 立的：若导出的是全零解，表示只有原点满足V(X.)■0的条件。 例8-13试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性 名=x2-x(x+x) 元2=-x-x2(x+x) 解令六=0及元2=0，可以解得原点(x2=0,x=0)是系统的惟一平衡状态。 取李雅普诺夫函数为(x)=(x+x),则 (x)=2x元+2x22 将状态方程代入有 (x)=-2(x2+x) 显然户(x,)负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。因为只有一个平衡状态，该非线性系统 是大范围渐近稳定的。又因为(x,)与t无关，系统大范围一致渐近稳定。 例8-14试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 元=为2,2=-x-x 解令名=名2=0，得知原点是惟一的平衡状态。选V(x)=2x子+x子，则 (x)=2x,(x-x),当x>x2>0时，广(x)>0:当x2>x>0时，广x)<0,故(x) 不定，不能对稳定性作出判断，应重选V(x,)。 332332 定理 4 若① V x t ( , ) 正定；② V x t ( , ) 正定；则原点是不稳定的。 V x t ( , ) 正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。 参考定理 2 可推论： V x t ( , ) 正定，当 V x t ( , ) 正半定，且在非零状态不恒为零时，则原 点不稳定。 应注意到，李雅普诺夫函数[正定的 V x t ( , ) ]的选取是不惟一的，但只要找到一个 V x t ( , ) 满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的 V x t ( , ) 不同而有所影响。 不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障 碍。如果 V x t ( , ) 选取不当，会导致 V x t ( , ) 不定的结果，这时便作不出确定的判断，需要重 新选取 V x t ( , )。 以上定理按照 V x t ( , ) 连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统 可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李 雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。 具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数 V x t ( , ) ，通常选二次型函数，求其导数 V x t ( , ) ， 再将状态方程代入，最后根据 V x t ( , ) 的定号性判别稳定性。 至于如何判断在非零状态下 [ ( ; , ), ] 0 0 V x t x t t 是否有恒为零的情况，可按如下方法进行： 令 V(x,t)  0  ，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对 x  0 ，V(x,t)  0  的条件是成 立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足 V(x,t)  0  的条件。 例 8-13 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。 ( ) 2 2 2 1 2 1 1 x  = x − x x + x ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x  = −x − x x + x 解 令 x  1 = 0 及 x  2 = 0 ，可以解得原点（ x2 = 0 ， x1 = 0 ）是系统的惟一平衡状态。 取李雅普诺夫函数为 ( ) ( ) 2 2 2 1 V x = x + x ，则 2 1 1 2 2 2 V(x) x x  x x   = + 将状态方程代入有 2 2 2 1 2 V x x x ( ) 2( ) = − + 显然 V x t ( , ) 负定，根据定理 1，原点是渐近稳定的。因为只有一个平衡状态，该非线性系统 是大范围渐近稳定的。又因为 V x t ( , ) 与 t 无关，系统大范围一致渐近稳定。 例 8-14 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 1 2 x  = x ， 2 1 2 x  = −x − x 解 令 x  1 = x  2 = 0 ，得知原点是惟一的平衡状态。选 2 2 2 2 1 V(x) = x + x ， 则 ( ) 2 ( ) 2 1 2 V x = x x − x  ，当 x1  x2  0 时， V(x)  0  ；当 x2  x1  0 时， V(x)  0  ，故 V (x)  不定，不能对稳定性作出判断，应重选 V x t ( , )