选V(x)=x+x,则考虑状态方程后得广(x)=-2x,对于非零状态（如x,=0, x,≠0)存在(x)=0,对于其余非零状态，广(x)<0,故(x)负半定。根据定理2，原 点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。 例8-15下列线性系统平衡状态的稳定性： 元=k3(k>0)，元2=-x 解由元=元=0，可知原点是惟一平衡状态。选(x)=x子+k,考虑状态方程 则有 (x)=2kxx2-22x=0 对所有状态，(x)=0,故系统是李雅普诺夫意义下稳定的 例8-16试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 元1=X2,元2=-X+X2 解原点是惟一平衡状态。迷V(x)=+x号，则广(x)=2x子，(x)与x无关，故存 在非零状态（如x≠0，x2=0),使(x)=0,而对其余任意状态有(x)>0,故(x)正 半定。根据定理4的推论，系统不稳定。 例8-17试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 =32-1,2=-51-2+2 解二，=：，=1是系统的惟一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的 结果。作坐标变换x=-1，=52-1。得到元=x2,元2=-x一为。原状态方程在 Z状态空间(1,1)处的稳定性判别问题就变成变换后状态方程在X状态空间原点处的稳 定性判别问题。 选(x)=x+号，对其求导，考虑状态方程，得到广()=2x+x号=-2x,系统 原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态(1,1)处是大范围一致渐近稳定的。 注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。 例8-18试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 =ax+x2 解这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令文=0，得知系统有两个平 衡状态，x=0和x=-a。 对位于原点的平衡状态，选V(x)=x2,有 (x)=2ar2+2x2-2x2(a+x) 于是，当a<0时，系统在原点处的平衡状态是局部(x<-Q)一致渐近稳定的：根据定 理4，当a>0时，原点显然是不稳定的：a=0时原点也是不稳定的[x>0,广(x)>0]。 333 333 选 2 2 2 1 V(x) = x + x ，则考虑状态方程后得 2 2 2 V(x) = − x  ，对于非零状态（如 x2 = 0 ， x1  0 ）存在 V(x) = 0  ，对于其余非零状态， V(x)  0  ，故 V (x)  负半定。根据定理 2，原 点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。 例 8-15 下列线性系统平衡状态的稳定性： ( 0) x  1 = kx2 k  ， 2 1 x  = −x 解 由 x  1 = x  2 = 0 ，可知原点是惟一平衡状态。选 2 2 2 1 V(x) = x + kx ，考虑状态方程 则有 1 2 2 1 V x kx x kx x ( ) 2 2 0 =−= 对所有状态， V(x) = 0  ，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 例 8-16 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 1 2 x  = x ， 2 1 2 x  = −x + x 解 原点是惟一平衡状态。选 2 2 1 2 V x x x ( ) = + ，则 2 2 2 V(x) = x  ，V (x)  与 1 x 无关，故存 在非零状态（如 0, 0) x1  x2 = ，使 V(x) = 0  ，而对其余任意状态有 V(x)  0  ，故 V (x)  正 半定。根据定理 4 的推论，系统不稳定。 例 8-17 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 1 2 z z = −1， 2 1 2 z z z = − − + 2 解 1 1 z z = =1 是系统的惟一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的 结果。作坐标变换 1 1 x z = −1， 2 2 x z = −1 。得到 1 2 x  = x ， 2 1 2 x  = −x − x 。原状态方程在 Z 状态空间（1，1）处的稳定性判别问题就变成变换后状态方程在 X 状态空间原点处的稳 定性判别问题。 选 2 2 1 2 V x x x ( ) = + ，对其求导，考虑状态方程，得到 2 2 2 2 2 V(x) = 2x1 + x = −2x  ，系统 原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大范围一致渐近稳定的。 注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。 例 8-18 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 2 x ax x = + 解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令 x  = 0 ，得知系统有两个平 衡状态， x = 0 和 x a =− 。 对位于原点的平衡状态，选 2 V x x ( ) = ,有 2 3 2 V x ax x x a x ( ) 2 2 2 ( ) = + = + 于是，当 a  0 时，系统在原点处的平衡状态是局部 ( ) x a  − 一致渐近稳定的；根据定 理 4，当 a  0 时，原点显然是不稳定的； a = 0 时原点也是不稳定的[ x  0,V(x)  0  ]