正在加载图片...
第2期 王健安等：线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 .275. 2 Q+S1 0 T3 YT BI+XATZ -M-M 一S -hR hMA 0 -(1-d)0-hs2 hQ 0 0 (13) -hR 0 0 -hR 0 -0 其中 控制器K,类似于文献[9]，定义 T=Ax+XAT+Au Z+ZAh+BY+YTBT 「P01 T2=-ZT+AuM+X w=rt r I3=k(XAT+YTBT+ZTAf) 如果(8)式成立，可知Y2非奇异，从而W可逆，则 (14) P-1 0 则闭环系统(5)渐近稳定，且控制器增益K= w-()yp1() 定义 证明：如定理1成立，为从矩阵不等式(8)解出 T=diag w,01,R1,R-1,I, PAK+A P+Y1+YT PAL-Y1+Y? P+Y3 -hY1 hAkR AIK -Y2-Y2 -Y3 -hY2 hAlR 0 -(1-d)Q-hY3 0 H hR 0 0 -hR 0 * 对H进行合同变换，左乘T,右乘T,并令 的系统，因而更具有一般性 Q=Q-,X=P-,M=(Y3)-1, 注3：对于文献[1]所提出的四个Open Problem Z=-(Y5)-YfP-1, 之一，即如何有效地控制如下线性时滞系统 (t)=Ax(t)Aix(t-h)Bu(t)+Biu(t-h) Q=0,R=R-,Y=KX,S=Y2Y30, (15) S-P1Y301-(Y8)-1Y301,S2=01Y3R1. 定理2给出了一种新的控制设计方法，因为此时 经计算整理，如式(13)成立，有TrHT<0,则 d=0满足定理2的假设条件. 0.结合定理1，可知闭环系统(5)是渐近稳定 下面讨论系统(1)的时滞相关鲁棒镇定问题，同 的，且控制器增益K=YX一1. 时给出具体的控制器设计方法 注2：定理2给出了系统(5)经无记忆状态反馈 定理3给定常量h>0,d<1,如果存在X> 后可镇定的时滞相关充分条件及控制器设计方法， 0,R>0,Q>0,M,Z,S,S1,S2∈Rxm,Y∈RmXn 这一条件不仅适用于A1=0,同时也适用于A1≠0 以及e0,使得LMI成立： 12 0+S1 0 Ts YTBT+XATz ED T -M-M' -S -hR hMAi 0 0 Ts -(1-d)Q)-hs2 he 0 0 0 -hR 0 0 0 0 0 (16) -hR 0 EhD 0 米 -0 0 0 0 一e小Γ1 Γ2 Q＋S1 0 Γ3 Y T B T 1＋XA T 12 ∗ — M— M T —S —h R hM T A T 11 0 ∗ ∗ —（1— d） Q —hS2 h Q 0 ∗ ∗ ∗ —h R 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —h R 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q ＜0 （13） 其中 Γ1＝ AX＋XA T＋ A11Z＋Z T A T 11＋BY＋Y T B T Γ2＝—Z T＋ A11 M＋X Γ3＝h（XA T＋Y T B T＋Z T A T 11） （14） 则闭环系统 （5） 渐近稳定且控制器增益 K ＝ YX —1． 证明：如定理1成立为从矩阵不等式（8）解出 控制器 K类似于文献［9］定义 W＝ P 0 Y T 1 Y T 2 ． 如果（8）式成立可知 Y2 非奇异从而 W 可逆则 W —1＝ P —1 0 —（ Y T 2） —1Y T 1 P —1 （ Y T 2） —1 ． 定义 T＝diag｛W —1Q —1R —1R —1I｝ H＝ PAK＋ A T KP＋Y1＋Y T 1 PA11—Y1＋Y T 2 P＋Y T 3 —hY1 hA T KR A T 1K ∗ —Y2—Y T 2 —Y T 3 —hY2 hA T 11R 0 ∗ ∗ —（1— d） Q —hY3 hR 0 ∗ ∗ ∗ —hR 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —hR 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q —1 对 H 进行合同变换左乘 T T右乘 T并令 Q＝ Q —1X＝P —1M＝（ Y T 2） —1 Z＝—（ Y T 2） —1Y T 1 P —1 Q＝ Q —1R＝ R —1Y＝ KXS＝Y —1 2 Y T 3 Q —1 S1＝P —1Y3Q —1—（Y T 2） —1Y3Q —1S2＝Q —1Y3R —1． 经计算整理如式（13）成立有 T T HT＜0则 H＜0．结合定理1可知闭环系统（5）是渐近稳定 的且控制器增益 K＝YX —1． 注2：定理2给出了系统（5）经无记忆状态反馈 后可镇定的时滞相关充分条件及控制器设计方法 这一条件不仅适用于 A1＝0同时也适用于 A1≠0 的系统因而更具有一般性． 注3：对于文献［1］所提出的四个 Open Problem 之一即如何有效地控制如下线性时滞系统 x · （ t）＝Ax（ t）＋A1x（ t—h）＋Bu（ t）＋B1u（ t—h） （15） 定理2给出了一种新的控制设计方法因为此时 d＝0满足定理2的假设条件． 下面讨论系统（1）的时滞相关鲁棒镇定问题同 时给出具体的控制器设计方法． 定理3 给定常量 h＞0d＜1如果存在 X＞ 0R＞0Q＞0MZSS1S2∈R n× nY∈R m× n 以及ε＞0使得 LMI 成立： Γ1 Γ2 Q＋S1 0 Γ3 Y T B T 1＋XA T 12 εD Γ4 ∗ — M— M T —S —h R hM T A T 11 0 0 Γ5 ∗ ∗ —（1— d） Q） —hS2 h Q 0 0 0 ∗ ∗ ∗ —h R 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —h R 0 εhD 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ —εI 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ —εI ＜0 （16） 第2期 王健安等： 线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 ·275·