D0I:10.13374/i.issnl00It03.2009.02.025 第31卷第2期 北京科技大学学报 Vol.31 No.2 2009年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2009 线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 王健安刘贺平 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要讨论了同时具有输入时滞与状态时滞的不确定线性系统的时滞相关鲁棒镇定问题·运用矩阵分解思想和Lyapunov~ Karsovskii泛函方法，在处理V的导数时添加一个恰当的0项，引入自由权矩阵，基于LMI方法获得了系统经无记忆状态反馈 后可鲁棒镇定的时滞相关充分条件，同时获得了具体的控制器设计方法·数值例子说明所得结论具有较小的保守性· 关键词线性时滞不确定系统：时滞相关：鲁棒镇定：无记忆状态反馈：线性矩阵不等式 分类号TP273 Delay-dependent robust stabilization of linear time-delay uncertain systems WA NG Jian-an,LIU He-ping School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The delay-dependent robust stabilization of an uncertain linear system with both state and input delays was discussed. By combining the matrix decomposition idea with the Lyapunov-Krasovskii functional method,adding an appropriate zero term to the deviation of V,and introducing a free weight matrix,a delay-dependent sufficient condition based on linear matrix inequality was de- rived to ensure the system 's robust stabilization via memoryless state feedback,and a specified controller design met hod was proposed. A numerical example was given to illustrate that the new results were less conservative than the present literatures. KEY WORDS linear time-delay uncertain systems:delay-dependent:robust stabilization:memoryless state feedback:linear matrix inequality 近年来，线性时滞系统的时滞相关鲁棒控制得 换，否则会产生分布时滞，难以实现).首先考虑其 到了广泛的研究).解决时滞相关问题的基本思 标称系统的镇定问题，采用Lyapunov~Krsasovski泛 想是对系统进行模型变换，将原系统模型变换为与 函方法，利用牛顿一莱布尼兹公式得到一系列等式， 原系统等价的新系统，然后利用Lyapunov~ 在处理V的导数时添加一个恰当的0项，从而引入 Krasovskii泛函和LMI方法，引入各种技巧，获得时 自由权矩阵，得到基于LMI的时滞相关充分条件， 滞相关鲁棒稳定条件及鲁棒控制器，但是，采用这 其次，根据该充分条件获得标称系统的无记忆状态 种思想所得到的条件具有一定的保守性，如何减小 反馈控制器的设计方法，最后给出了原系统可鲁棒 保守性，扩大系统稳定的时滞界限，引起了广大研究 镇定的无记忆状态反馈控制器的设计方法，实例表 者的进一步关注一0，文献[3,9]引入了矩阵分解 明，本文所获得的时滞相关条件和鲁棒控制器，较已 的思想，将状态时滞矩阵分解，重新构造控制器，减 有文献具有较小的保守性 少了系统的保守性，取得了较好的结果 为考虑问题方便，本文沿用以下记号：P= 本文运用矩阵分解思想，讨论了同时具有输入 P>0表示对称正定矩阵；R”,Rx分别表示实数 与状态时滞的不确定线性系统的时滞相关鲁棒镇定 域上的n维向量空间与nXn维矩阵空间：I表示 问题，这样做的好处是不必对系统的模型进行变 具有适当维数的单位矩阵；diagA,B,,C}表示 收稿日期：2008-03-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(Na,60374032) 作者简介：王健安(1984-)，男，博士研究生；刘贺平(1951一)，男，教授，博士生导师，E-mail:hpx@ies~ustb.edu.cm
线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 王健安 刘贺平 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 讨论了同时具有输入时滞与状态时滞的不确定线性系统的时滞相关鲁棒镇定问题．运用矩阵分解思想和 LyapunovKarsovskii 泛函方法在处理 V 的导数时添加一个恰当的0项引入自由权矩阵基于 LMI 方法获得了系统经无记忆状态反馈 后可鲁棒镇定的时滞相关充分条件同时获得了具体的控制器设计方法．数值例子说明所得结论具有较小的保守性． 关键词 线性时滞不确定系统；时滞相关；鲁棒镇定；无记忆状态反馈；线性矩阵不等式 分类号 TP273 Delay-dependent robust stabilization of linear time-delay uncertain systems W A NG Jian-anLIU He-ping School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he delay-dependent robust stabilization of an uncertain linear system with both state and input delays was discussed． By combining the matrix decomposition idea with the Lyapunov-Krasovskii functional methodadding an appropriate zero term to the deviation of Vand introducing a free weight matrixa delay-dependent sufficient condition based on linear matrix inequality was derived to ensure the system’s robust stabilization via memoryless state feedbackand a specified controller design method was proposed． A numerical example was given to illustrate that the new results were less conservative than the present literatures． KEY WORDS linear time-delay uncertain systems；delay-dependent；robust stabilization；memoryless state feedback；linear matrix inequality 收稿日期：2008-03-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60374032） 作者简介：王健安（1984—）男博士研究生；刘贺平（1951—）男教授博士生导师E-mail：lhpjx＠ies．ustb．edu．cn 近年来线性时滞系统的时滞相关鲁棒控制得 到了广泛的研究［1—4］．解决时滞相关问题的基本思 想是对系统进行模型变换将原系统模型变换为与 原系 统 等 价 的 新 系 统然 后 利 用 LyapunovKrasovskii 泛函和 LMI 方法引入各种技巧获得时 滞相关鲁棒稳定条件及鲁棒控制器．但是采用这 种思想所得到的条件具有一定的保守性．如何减小 保守性扩大系统稳定的时滞界限引起了广大研究 者的进一步关注［5—10］．文献［39］引入了矩阵分解 的思想将状态时滞矩阵分解重新构造控制器减 少了系统的保守性取得了较好的结果． 本文运用矩阵分解思想讨论了同时具有输入 与状态时滞的不确定线性系统的时滞相关鲁棒镇定 问题．这样做的好处是不必对系统的模型进行变 换否则会产生分布时滞难以实现［9］．首先考虑其 标称系统的镇定问题采用 Lyapunov-Krsasovskii 泛 函方法利用牛顿—莱布尼兹公式得到一系列等式 在处理 V 的导数时添加一个恰当的0项从而引入 自由权矩阵得到基于 LMI 的时滞相关充分条件． 其次根据该充分条件获得标称系统的无记忆状态 反馈控制器的设计方法．最后给出了原系统可鲁棒 镇定的无记忆状态反馈控制器的设计方法．实例表 明本文所获得的时滞相关条件和鲁棒控制器较已 有文献具有较小的保守性． 为考虑问题方便本文沿用以下记号：P＝ P T＞0表示对称正定矩阵；R nR n× n分别表示实数 域上的 n 维向量空间与 n× n 维矩阵空间；I 表示 具有适当维数的单位矩阵；diag｛AB…C｝表示 第31卷 第2期 2009年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．31No．2 Feb．2009 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2009．02．025
第2期 王健安等：线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 273. 块对角矩阵；矩阵中的“”表示对称矩阵的对称 矩阵H、L,则 项 Q+HFL+LT FT H0,d 一个引理 0,R>0,Q>0以及Y1,Y2,Y3∈Rxm,使得以下 引理1刊给定矩阵Q=Q,以及适当维数的 LMI成立： PAK+AP+Y1+YI PAn-Y1+Y2 P+Y hY1 hAkR AIK -Y2-Y2 -Y3 hY2 hAiR 0 米 -(1-d)0hY3 hR 0 <0 (8) hR 0 0 -hR 0 则闭环系统(5)渐近稳定 (t)=2x'(t)P(t)+h(t)R(t)+ 证明：取Lyapunov-Krasovskii泛函 x(t)AIKQAikx(t)-(1-h(t))x"(t- )=roP(o)+J(o)R(sHad0t h(t))AikQAIKx(t-h(t))- nf()aAi.04eo (9) '()R(a,2r(Po+ 则V(t)沿系统(5)的轨线的导数为： hi(t)Ri(t)+x(t)AIKQAIKx(t)-
块对角矩阵；矩阵中的“∗”表示对称矩阵的对称 项． 1 系统描述 本文考虑如下同时具有状态时滞及输入时滞的 不确定线性系统： x · （ t）＝（A＋ΔA（ t）） x（ t）＋（A1＋ ΔA1（ t）） x（ t—h（ t））＋（B＋ ΔB（ t）） u（ t）＋B1u（ t—h（ t）） x（ t）＝●（ t） t∈［—h0］ （1） 其中状态向量 x（ t）∈R n；控制输入向量 u（ t）∈ R m；●（ t）是连续向量实值函数表示系统的初始状 态；h（ t）代表系统状态时滞和输入时滞是非负有 界函数满足 0≤h（ t）≤h＜∞0≤h · （ t）≤ d＜1h（0）＝0 （2） A、A1、B 和 B1 为已知的适当维数的矩阵ΔA（ t） 和ΔB（ t）是时间 t 的实矩阵函数体现了系统的时 变参数不确定性且具有如下形式： ［ΔA（ t） ΔA1（ t） ΔB（ t）］＝ DF（ t）［ E E1 Eb ］ （3） 其中D、E1 和 Eb 为已知常数矩阵时变未知实矩 阵 F（ t）满足对于∀t 有 F（ t） T F（ t）≤ I． 采用以下的无记忆线性状态反馈： u（ t）＝ Kx（ t） （4） 本文的主要目的是讨论不确定系统（1）在形如 （4）的控制器作用下可鲁棒镇定的时滞相关充分条 件及控制器设计问题．为后面叙述方便引入如下 一个引理． 引理1［4］ 给定矩阵 Q＝ Q T以及适当维数的 矩阵 H、L则 Q＋ HFL＋ L T F T H T＜0 对任意满足 F T F≤ I 的 F 成立的充要条件是存在 ε＞0使得 Q＋ε—1HH T＋εL T L＜0． 2 主要结果 为考虑问题方便首先讨论系统（1）的标称系统 经无记忆控制器（4）作用后时滞相关的渐近稳定充 分条件．此时闭环系统为： x · （ t）＝ （ A＋BK） x（ t）＋（ A1＋B1K） x（ t—h（ t）） （5） 引入文献［39］的思想将状态时滞矩阵 A1 作 如下分解： A1＝ A11＋ A12 其中 A11A12为常数实矩阵．于是系统（5）可表示 为： x · （ t）＝（ A＋BK） x（ t）＋ A11x（ t—h（ t））＋ （ A12＋B1K） x（ t—h（ t）） （6） 记： AK＝ A＋BKA1K＝ A12＋B1K． 令： ζT （ t）＝ ［ x T （ t） x T （ t—h（ t）） ｛A1Kx（ t—h（ t））｝T ］． 则系统（6）可以表示为： x · （ t）＝［ AK A11 I］ζ（ t） （7） 定理1 给定常量 h＞0d＜1如果存在 P＞ 0R＞0Q＞0以及 Y1Y2Y3∈R n× n使得以下 LMI 成立： PAK＋ A T KP＋Y1＋Y T 1 PA11—Y1＋Y T 2 P＋Y T 3 hY1 hA T KR A T 1K ∗ —Y2—Y T 2 —Y T 3 hY2 hA T 11R 0 ∗ ∗ —（1— d） Q hY3 hR 0 ∗ ∗ ∗ —hR 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —hR 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q —1 ＜0 （8） 则闭环系统（5）渐近稳定． 证明：取 Lyapunov-Krasovskii 泛函 V（ t）＝x T （ t）Px（ t）＋∫ 0 －∫h t t＋θ x ·T （s） R x · （s）dsdθ＋ ∫ t t－h（ t） x T （ s） A T 1KQA1Kx（ s）d s （9） 则 V（ t）沿系统（5）的轨线的导数为： V · （ t）＝2x T （ t） P x · （ t）＋h x ·T （ t） R x · （ t）＋ x T （ t） A T 1KQA1Kx（ t）—（1—h · （ t）） x T （ t— h（ t）） A T 1KQA1Kx（ t—h（ t））— ∫ t t－h x ·T （ s） R x · （ s）d s≤2x T （ t） P x · （ t）＋ h x ·T （ t） R x · （ t）＋x T （ t） A T 1KQA1Kx（ t）— 第2期 王健安等： 线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 ·273·
.274 北京科技大学学报 第31卷 (1-d)x"(t-h(t))ATKQAikx(t-h(t))- Y1-Y10 0nh(0(四R)ea 1 25(t) Y2 -Y20(t)- LY3 -Y30 (t)2()- 1 A2r( h(t)Jh) Yi Rx(s)h(t)ds (10) 2(t)Y2 J() i(s)ds=0, 其中 T PAu+hAkRAII P+hAkR Y+Yf -Y1+Y2 2=米 Y] kAT RAn hATR (t) Y2-YT -Y2-Y-Y(t)- L* 米 -(1-d)Q+hR Y3 -Y3 0 T=PAx十AkP+AIKOA1K+RAKRAK· 根据牛顿莱布尼兹公式，有： Yi x()-x(-h()=0 x(s)ds. 2(t) Y2 x(s)ds=0 (11) -h(t) Y3 所以 Yi 则 2F(t)Y2[x(t)-x(t-h(t)]- (T)=V(t)+0≤ LY3 1 h(t)J-() (t.s)(t,s)ds (12) 2(t) Y2 x(s)ds=0, h(t) 其中 5(t,s)=[S(t)h(t)(s)]P, T+Y1+YT PAu+AkRAn-Y1+Y P+hAR+Y3 -Y1 米 hAl RAu-Y2-Y! hATR-Y3 -Y2 -(1-d)Q+hR -Y3 米 在矩阵2两边左乘右乘diag I,I,I,hl,运用Schur补引理，得 PAK+AkP+Y1+YI PAn-Y1+Y? P+Y3 -hY1 hAkR AIK -Y2-Y2 -Y3 -hY2 hAiR 2'= 米 -(1-d)Q-hY3 hR 0 米 -hR 0 0 hR 0 -o 如果(8)式成立，有'0,d 的方法进行V的缩放，这样会在很大程度上增加结 0,R>0,Q>0,M,Z,S,S1,S2∈Rxn,Y∈ 论的保守性.本文在处理V的导数时通过添加一 RmX,使得以下LMI立：
（1— d） x T （ t—h（ t）） A T 1KQA1Kx（ t—h（ t））— 1 h（ t）∫ t t－h（ t） h（ t） x ·T （ s） 1 h R x · （ s） h（ t）d s＝ ζ T （ t）Σζ（ t）— 1 h（ t）∫ t t－h（ t） h（ t） x ·T （ s） 1 h · R x · （ s） h（ t）d s （10） 其中 Σ＝ Γ PA11＋hA T KRA11 P＋hA T KR ∗ hA T 11RA11 hA T 11R ∗ ∗ —（1— d） Q＋hR Γ＝PAK＋ A T KP＋ A T 1KQA1K＋hA T KRAK． 根据牛顿—莱布尼兹公式有： x（ t）—x（ t—h（ t））＝∫ t t－h（ t） x · （ s）d s． 所以 2ζ T （ t） Y1 Y2 Y3 ［ x（ t）—x（ t—h（ t））］— 2ζT （ t） Y1 Y2 Y3 ∫ t t－h（ t） x · （ s）d s＝0 2ζ T （ t） Y1 —Y1 0 Y2 —Y2 0 Y3 —Y3 0 ζ（ t）— 2ζT （ t） Y1 Y2 Y3 ∫ t t－h（ t） x · （ s）d s＝0 ζ T （ t） Y1＋Y T 1 —Y1＋Y T 2 Y T 3 Y2—Y T 1 —Y2—Y T 2 —Y T 3 Y3 —Y3 0 ζ（ t）— 2ζ T （ t） Y1 Y2 Y3 ∫ t t－h（ t） x · （ s）d s＝0 （11） 则 V · （ T）＝V · （ t）＋0≤ 1 h（ t）∫ t t－h（ t） ξ T （ ts）Ωξ（ ts）d s （12） 其中 ζ（ ts）＝［ζ T （ t） h（ t） x ·T （ s）］ T Ω＝ Γ＋Y1＋Y T 1 PA11＋hA T KRA11—Y1＋Y T 2 P＋hA T KR＋Y T 3 —Y1 ∗ hA T 11RA11—Y2—Y T 2 hA T 11R—Y T 3 —Y2 ∗ ∗ —（1— d） Q＋hR —Y3 ∗ ∗ ∗ — 1 h R ． 在矩阵 Ω两边左乘右乘 diag｛IIIhI｝运用 Schur 补引理得 Ω′＝ PAK＋ A T KP＋Y1＋Y T 1 PA11—Y1＋Y T 2 P＋Y T 3 —hY1 hA T KR A T 1K ∗ —Y2—Y T 2 —Y T 3 —hY2 hA T 11R 0 ∗ ∗ —（1— d） Q —hY3 hR 0 ∗ ∗ ∗ —hR 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —hR 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q —1 ． 如果（8）式成立有 Ω′＜0即Ω＜0则 V · （ t）＜ 0．于是由 Lyapunov-Krasovskii 稳定性定理知闭环 系统（5）是渐近稳定的． 注1：由于以往许多文献大都采取矩阵不等式 的方法进行 V 的缩放这样会在很大程度上增加结 论的保守性．本文在处理 V 的导数时通过添加一 个恰当的0项引入自由权矩阵 Y1、Y2 和 Y3．正 是这些矩阵的引入增加了设计的余度从而减少保 守性． 定理2 给定常量 h＞0d＜1如果存在 X＞ 0R ＞0Q ＞0MZSS1S2∈ R n× nY ∈ R m× n使得以下 LMI 立： ·274· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
第2期 王健安等：线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 .275. 2 Q+S1 0 T3 YT BI+XATZ -M-M 一S -hR hMA 0 -(1-d)0-hs2 hQ 0 0 (13) -hR 0 0 -hR 0 -0 其中 控制器K,类似于文献[9]，定义 T=Ax+XAT+Au Z+ZAh+BY+YTBT 「P01 T2=-ZT+AuM+X w=rt r I3=k(XAT+YTBT+ZTAf) 如果(8)式成立，可知Y2非奇异，从而W可逆，则 (14) P-1 0 则闭环系统(5)渐近稳定，且控制器增益K= w-()yp1() 定义 证明：如定理1成立，为从矩阵不等式(8)解出 T=diag w,01,R1,R-1,I, PAK+A P+Y1+YT PAL-Y1+Y? P+Y3 -hY1 hAkR AIK -Y2-Y2 -Y3 -hY2 hAlR 0 -(1-d)Q-hY3 0 H hR 0 0 -hR 0 * 对H进行合同变换，左乘T,右乘T,并令 的系统，因而更具有一般性 Q=Q-,X=P-,M=(Y3)-1, 注3：对于文献[1]所提出的四个Open Problem Z=-(Y5)-YfP-1, 之一，即如何有效地控制如下线性时滞系统 (t)=Ax(t)Aix(t-h)Bu(t)+Biu(t-h) Q=0,R=R-,Y=KX,S=Y2Y30, (15) S-P1Y301-(Y8)-1Y301,S2=01Y3R1. 定理2给出了一种新的控制设计方法，因为此时 经计算整理，如式(13)成立，有TrHT0,d 后可镇定的时滞相关充分条件及控制器设计方法， 0,R>0,Q>0,M,Z,S,S1,S2∈Rxm,Y∈RmXn 这一条件不仅适用于A1=0,同时也适用于A1≠0 以及e0,使得LMI成立： 12 0+S1 0 Ts YTBT+XATz ED T -M-M' -S -hR hMAi 0 0 Ts -(1-d)Q)-hs2 he 0 0 0 -hR 0 0 0 0 0 (16) -hR 0 EhD 0 米 -0 0 0 0 一e小
Γ1 Γ2 Q＋S1 0 Γ3 Y T B T 1＋XA T 12 ∗ — M— M T —S —h R hM T A T 11 0 ∗ ∗ —（1— d） Q —hS2 h Q 0 ∗ ∗ ∗ —h R 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —h R 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q ＜0 （13） 其中 Γ1＝ AX＋XA T＋ A11Z＋Z T A T 11＋BY＋Y T B T Γ2＝—Z T＋ A11 M＋X Γ3＝h（XA T＋Y T B T＋Z T A T 11） （14） 则闭环系统 （5） 渐近稳定且控制器增益 K ＝ YX —1． 证明：如定理1成立为从矩阵不等式（8）解出 控制器 K类似于文献［9］定义 W＝ P 0 Y T 1 Y T 2 ． 如果（8）式成立可知 Y2 非奇异从而 W 可逆则 W —1＝ P —1 0 —（ Y T 2） —1Y T 1 P —1 （ Y T 2） —1 ． 定义 T＝diag｛W —1Q —1R —1R —1I｝ H＝ PAK＋ A T KP＋Y1＋Y T 1 PA11—Y1＋Y T 2 P＋Y T 3 —hY1 hA T KR A T 1K ∗ —Y2—Y T 2 —Y T 3 —hY2 hA T 11R 0 ∗ ∗ —（1— d） Q —hY3 hR 0 ∗ ∗ ∗ —hR 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —hR 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q —1 对 H 进行合同变换左乘 T T右乘 T并令 Q＝ Q —1X＝P —1M＝（ Y T 2） —1 Z＝—（ Y T 2） —1Y T 1 P —1 Q＝ Q —1R＝ R —1Y＝ KXS＝Y —1 2 Y T 3 Q —1 S1＝P —1Y3Q —1—（Y T 2） —1Y3Q —1S2＝Q —1Y3R —1． 经计算整理如式（13）成立有 T T HT＜0则 H＜0．结合定理1可知闭环系统（5）是渐近稳定 的且控制器增益 K＝YX —1． 注2：定理2给出了系统（5）经无记忆状态反馈 后可镇定的时滞相关充分条件及控制器设计方法 这一条件不仅适用于 A1＝0同时也适用于 A1≠0 的系统因而更具有一般性． 注3：对于文献［1］所提出的四个 Open Problem 之一即如何有效地控制如下线性时滞系统 x · （ t）＝Ax（ t）＋A1x（ t—h）＋Bu（ t）＋B1u（ t—h） （15） 定理2给出了一种新的控制设计方法因为此时 d＝0满足定理2的假设条件． 下面讨论系统（1）的时滞相关鲁棒镇定问题同 时给出具体的控制器设计方法． 定理3 给定常量 h＞0d＜1如果存在 X＞ 0R＞0Q＞0MZSS1S2∈R n× nY∈R m× n 以及ε＞0使得 LMI 成立： Γ1 Γ2 Q＋S1 0 Γ3 Y T B T 1＋XA T 12 εD Γ4 ∗ — M— M T —S —h R hM T A T 11 0 0 Γ5 ∗ ∗ —（1— d） Q） —hS2 h Q 0 0 0 ∗ ∗ ∗ —h R 0 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ —h R 0 εhD 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ — Q 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ —εI 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ —εI ＜0 （16） 第2期 王健安等： 线性时滞不确定系统的时滞相关鲁棒镇定 ·275·
.276 北京科技大学学报 第31卷 其中(T1、2和T3如式(14)所定义) T4=XE十YTE+ZTEI 4结论 (17) Ts=MTEl 本文将矩阵分解思想应用于同时具有输入与状 则系统(1)可鲁棒镇定的，且控制器增益K=Yx1. 态时滯的线性系统的时滞相关镇定问题，利用牛 证明：考虑系统(1)，经过矩阵分解后，记 顿莱布尼兹公式得到一系列等式，在处理V的导 AK=A十BK十△A(t)+△B(t)K, 数时添加一个恰当的0项，从而引入自由权矩阵，基 A1k=A12+BK,A11=A1十△A1(t) 于LMI方法获得了系统经无记忆状态反馈后可镇 用AK和A11分别代替定理1中的AK和A11,结合 定的时滞相关充分条件，同时得到了具体的控制器 定理2及引理1，经过简单的变换，即可得证，在此 设计方法，数值例子表明了本文方法的有效性.很 从略， 容易将本文的结论推广到输入时滞与状态时滞不相 需要说明的是，本文对矩阵分解并没有提出一 等的情形 个确定的分解方法，在数值算例时主要采用参数的 调整来获得最优或次优结果，如何设计一个具体的 参考文献 矩阵分解方法，将是进一步研究的内容 [1]Richard J.Time-delay systems:an overview of some recent ad- 3数值例子 vances and open problems.Automatica.2003,39(10):1667 [2]Lien C H.Delay-dependent stability criteria for uncertain neutral 例1考虑系统(1)，其中 systems with multiple time varying delays via LMI approach. IEE Proc Control Theory Appl,2005.152(6):707 [3]Han Q L.Stability criteria for a dlass of linear neutral systems with time varying discrete and distributed delays.IMA Math B=0,D=0.21,E=1,E=0,E=0,0≤h(t)≤h Control1mf,2003,20(2):371 文献[6,9-10]讨论了系统(1)可镇定的时滞上 [4]Park P,Ko J W.Stability and robust stability for systems with a 界，得到的结果列于表1.应用本文方法，对A1作 time varying delay.Automatica.2007.43(10):1855 [5]Jiang X.Han Q L.On Hoo control for linear systems with interval 分解： A1=A11十A12 time varying delay.Automatica.2005.41(12):2099 [6]Moon Y S.Park P,Kwon W H.Robust stabilization of uncertain 取 「-0.8 0 input-delay systems using reduction method.Automatica,2001, A1=0-d ,d=0. 37(2):307 [7]Yue D.Robust stabilization of uncertain systems with unknown 利用定理3，当α=0.8时，所得到的结果也列于 input delay.Automatica.2004.40(2):331 表1.可见，利用本文定理3得到的最大时滞界限较 [8]Fridman E.Shaked U.An improved stabilization method for lin- 文献[6,9一-10]都要增大，因而具有较小的保守性， ear time-delay systems.IEEE Trans Autom Control,2002.47 (11):1931 同时，求得控制器增益： K=[-690.1332-379.02491 [9]Wu M.Zhang X M.She J H.Delay-dependent robust control for linear time-delay uncertain systems.Control Theory Appl,2005. 表1系统(I)可鲁棒镇定的最大时滞界限h 22(4):619 Table 1 Achieved maximum delay stability bounds h of System (1) (吴敏，张先明，佘锦华。线性时滞系统的时滞相关鲁棒控制 控制理论与应用，2005,22(4)：619) 文献方法 最大时滞 文献[6]定理2 0.4500 [10]Zhang X M.Wu M.He Y.Delay dependent robust control for 文献[10]定理3.2 0.6352 linear systems with multiple time varying delays and uncertain- ties.Control Decis,2004.19(5):496 文献[9]定理2 0.9498 (张先明，吴敏，何勇，不确定多时变时滞系统的时滞相关鲁 本文定理3 1.0185 棒控制.控制与决策，2004,19(5)：496)
其中（Γ1、Γ2 和 Γ3 如式（14）所定义） Γ4＝XE T＋Y T E T b＋Z T E T 1 Γ5＝ M T E T 1 （17） 则系统（1）可鲁棒镇定的且控制器增益 K＝YX —1． 证明：考虑系统（1）经过矩阵分解后记 AK＝ A＋BK＋ΔA（ t）＋ΔB（ t） K A1K＝ A12＋B1KA′11＝ A11＋ΔA1（ t）． 用 AK 和 A′11分别代替定理1中的 AK 和 A11结合 定理2及引理1经过简单的变换即可得证在此 从略． 需要说明的是本文对矩阵分解并没有提出一 个确定的分解方法在数值算例时主要采用参数的 调整来获得最优或次优结果．如何设计一个具体的 矩阵分解方法将是进一步研究的内容． 3 数值例子 例1 考虑系统（1）其中 A＝ 0 0 0 1 A1＝ —2 —0∙5 0 —1 B＝ 0 1 B1＝0D＝0∙2IE＝IE1＝0Eb＝00≤h（ t）≤h． 文献［69—10］讨论了系统（1）可镇定的时滞上 界得到的结果列于表1．应用本文方法对 A1 作 分解： A1＝ A11＋ A12． 取 A11＝ —0∙8 0 0 — a d＝0． 利用定理3当 a＝0∙8时所得到的结果也列于 表1．可见利用本文定理3得到的最大时滞界限较 文献［69—10］都要增大因而具有较小的保守性． 同时求得控制器增益： K＝［—690∙1332 —379∙0249］． 表1 系统（1）可鲁棒镇定的最大时滞界限 h Table1 Achieved maximum delay stability bounds h of System （1） 文献方法 最大时滞 文献［6］定理2 0∙4500 文献［10］定理3∙2 0∙6352 文献［9］定理2 0∙9498 本文定理3 1∙0185 4 结论 本文将矩阵分解思想应用于同时具有输入与状 态时滞的线性系统的时滞相关镇定问题．利用牛 顿—莱布尼兹公式得到一系列等式在处理 V 的导 数时添加一个恰当的0项从而引入自由权矩阵基 于 LMI 方法获得了系统经无记忆状态反馈后可镇 定的时滞相关充分条件同时得到了具体的控制器 设计方法．数值例子表明了本文方法的有效性．很 容易将本文的结论推广到输入时滞与状态时滞不相 等的情形． 参 考 文 献 ［1］ Richard J．Time-delay systems：an overview of some recent advances and open problems．A utomatica200339（10）：1667 ［2］ Lien C H．Delay-dependent stability criteria for uncertain neutral systems with multiple time-varying delays via LMI approach． IEE Proc Control Theory Appl2005152（6）：707 ［3］ Han Q L．Stability criteria for a class of linear neutral systems with time-varying discrete and distributed delays．IMA J Math Control Inf200320（2）：371 ［4］ Park PKo J W．Stability and robust stability for systems with a time-varying delay．A utomatica200743（10）：1855 ［5］ Jiang XHan Q L．On H∞ control for linear systems with interval time-varying delay．A utomatica200541（12）：2099 ［6］ Moon Y SPark PKwon W H．Robust stabilization of uncertain input-delay systems using reduction method．A utomatica2001 37（2）：307 ［7］ Yue D．Robust stabilization of uncertain systems with unknown input delay．A utomatica200440（2）：331 ［8］ Fridman EShaked U．An improved stabilization method for linear time-delay systems．IEEE T rans A utom Control200247 （11）：1931 ［9］ Wu MZhang X MShe J H．Delay-dependent robust control for linear time-delay uncertain systems．Control Theory Appl2005 22（4）：619 （吴敏张先明佘锦华．线性时滞系统的时滞相关鲁棒控制． 控制理论与应用200522（4）：619） ［10］ Zhang X MWu MHe Y．Delay dependent robust control for linear systems with multiple time-varying delays and uncertainties．Control Decis200419（5）：496 （张先明吴敏何勇．不确定多时变时滞系统的时滞相关鲁 棒控制．控制与决策200419（5）：496） ·276· 北 京 科 技 大 学 学 报 第31卷
