D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.11.017 第30卷第11期 北京科技大学学报 Vol.30 No.11 2008年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Now.2008 基于Pushover法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 宋波潘建仕 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要鉴于曲线桥每个墩柱的最大反应依赖于不同的地震输入角度，运用时程分析工作量大，本文基于Pushover法基本原 理，考虑曲线桥墩柱底部曲率与地震动力反应的关系，提出了曲线桥在地震作用下动力响应的最不利角度的简化计算方法， 通过具体曲线桥动力反应分析算例，采用非线性静力Pushover分析方法，计算了曲线桥的地震动最不利输入角度：同时结合 0~180°区间内的动力时程分析方法结果比较，验证了该方法在确定曲线桥地震反应最不利输入角度方面的适用性 关键词曲线桥：Pushover法：曲率；地震输入 分类号TU311.4 Pushover method-based analyses of critical angle to the seismic response of curved bridges SONG Bo,PAN Jianshi School of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT Considering the complexity of time history analysis on each curved bridge pier whose maximum response relies on the seismic angle,a relationship between the curvature at the bottom of the pier and the seismic response was presented based on the prin- ciple of Pushover method.The formula to calculate the critical angle was gained with non-liner Pushover method.Through the case of a curved bridge,the critical angle to the seismic response of the curved bridge was calculated with the non-linear statically analytical method.The results of dynamical time history analysis in the range fromto 180indicate that the formula is accurate to determine the critical angle to the seismic response of curved bridges. KEY WORDS curved bridge:Pushover method;curvature:seismic wave input 随着城市交通复杂化与桥梁发展，曲线桥梁的 度对曲线桥最大反应有较大影响，曲线桥每个桥墩 结构形式在不断增多.由于曲线桥梁结构形式相对 断面配筋设计，通常依赖于各自地震波最不利输入 特殊，各物理量动力反应不同于一般直线桥，曲线桥 角度下的地震反应分析计算结果， 的地震反应动力分析一直受到广泛关注，1971年 1975年，Penzien等2研究结果表明，在水平面 美国San Fernando地震后，针对地震中发生的曲线 内作用于结构的水平地震作用可分解为一个主要的 桥倒塌事件，Williams等对这座曲线桥进行了振 地震波和另一个与之垂直的次要地震波.1982年 动台模拟实验和计算分析，重点研究了伸缩缝对曲 Wilison等]在研究多向地震作用对不规则结构抗 线桥梁抗震的影响.曲线桥地震反应不同于直线桥 震影响时认识到这一点，但其研究范围和结论仅对 的根本原因在于曲线桥的不规则平面形式，对于直 单一振型成立，冯云田等以能量为确定最不利输 线桥，通常考虑地震在横桥向和纵桥向引起的结构入角度方向的标准，提出了结构抗震主轴的概念，并 振动反应，便可以满足桥梁的抗震设计；而曲线桥， 讨论一种计算方法一只要任取两个不同地震输入 由于其复杂的横桥和纵桥方向以及曲线桥的弯扭耦 方向，就可以得到任一点的最大应力.高晓安等] 合作用和弯矩的二轴相互关联特点，地震的输入角 全面地介绍了多向地震作用下结构反应最不利角度 收稿日期：2007-10-31修回日期：2007-11-23 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目(N。,90715007) 作者简介：宋波(962-)：男，教授，博士，E-mail:songbo@ces.ustb-edu:cm
基于 Pushover 法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 宋 波 潘建仕 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 摘 要 鉴于曲线桥每个墩柱的最大反应依赖于不同的地震输入角度运用时程分析工作量大本文基于 Pushover 法基本原 理考虑曲线桥墩柱底部曲率与地震动力反应的关系提出了曲线桥在地震作用下动力响应的最不利角度的简化计算方法． 通过具体曲线桥动力反应分析算例采用非线性静力 Pushover 分析方法计算了曲线桥的地震动最不利输入角度；同时结合 0～180°区间内的动力时程分析方法结果比较验证了该方法在确定曲线桥地震反应最不利输入角度方面的适用性． 关键词 曲线桥；Pushover 法；曲率；地震输入 分类号 TU311∙4 Pushover-method-based analyses of critical angle to the seismic response of curved bridges SONG BoPA N Jianshi School of Civil and Environmental EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT Considering the complexity of time history analysis on each curved bridge pier whose maximum response relies on the seismic anglea relationship between the curvature at the bottom of the pier and the seismic response was presented based on the principle of Pushover method．T he formula to calculate the critical angle was gained with non-liner Pushover method．T hrough the case of a curved bridgethe critical angle to the seismic response of the curved bridge was calculated with the non-linear statically analytical method．T he results of dynamical time history analysis in the range from0°to180°indicate that the formula is accurate to determine the critical angle to the seismic response of curved bridges． KEY WORDS curved bridge；Pushover method；curvature；seismic wave input 收稿日期：2007-10-31 修回日期：2007-11-23 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目（No．90715007） 作者简介：宋 波（1962—）男教授博士E-mail：songbo＠ces．ustb．edu．cn 随着城市交通复杂化与桥梁发展曲线桥梁的 结构形式在不断增多．由于曲线桥梁结构形式相对 特殊各物理量动力反应不同于一般直线桥曲线桥 的地震反应动力分析一直受到广泛关注．1971年 美国 San Fernando 地震后针对地震中发生的曲线 桥倒塌事件Williams 等［1］对这座曲线桥进行了振 动台模拟实验和计算分析重点研究了伸缩缝对曲 线桥梁抗震的影响．曲线桥地震反应不同于直线桥 的根本原因在于曲线桥的不规则平面形式．对于直 线桥通常考虑地震在横桥向和纵桥向引起的结构 振动反应便可以满足桥梁的抗震设计；而曲线桥 由于其复杂的横桥和纵桥方向以及曲线桥的弯扭耦 合作用和弯矩的二轴相互关联特点地震的输入角 度对曲线桥最大反应有较大影响曲线桥每个桥墩 断面配筋设计通常依赖于各自地震波最不利输入 角度下的地震反应分析计算结果． 1975年Penzien 等［2］研究结果表明在水平面 内作用于结构的水平地震作用可分解为一个主要的 地震波和另一个与之垂直的次要地震波．1982年 Wilison 等［3］在研究多向地震作用对不规则结构抗 震影响时认识到这一点但其研究范围和结论仅对 单一振型成立．冯云田等［4］以能量为确定最不利输 入角度方向的标准提出了结构抗震主轴的概念并 讨论一种计算方法———只要任取两个不同地震输入 方向就可以得到任一点的最大应力．高晓安等［5］ 全面地介绍了多向地震作用下结构反应最不利角度 第30卷 第11期 2008年 11月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．11 Nov．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．11．017
.1224 北京科技大学学报 第30卷 求解过程，总结了各种组合方法的差异，并进行了实 桥梁墩柱底截面曲率P与桥墩柱底所受到弯矩M 例计算，同时结合时程分析进行检验比较，朱东生 满足： 等[-研究了曲线桥桥墩类型支座形式等对其抗震 =M (2) 性能的影响，通过地震反应谱，利用任意一个方向的 EI 地震输入来确定结构的最不利输入角度.范立础和 因此， 聂利英等[)最不利角度的确定标准作了讨论， 4=L2 3 (3) 并用弹性反应谱确定最不利输入方向，利用叠加原 其中，L为墩柱高度，E1为抗弯刚度 理和CQC方法研究地震响应量最大值，来确定最不 如果墩柱底部进入塑性状态，假设塑性铰长度 利角度 为L。,假定墩柱本身曲率保持极限屈服状态不变， 复杂结构的抗震验算时，结构弹塑性时程反应 而所有塑性变形集中在墩柱底部的塑性铰长度范围 分析是比较可靠的方法，能判断结构的屈服机制、薄 内，塑性铰区域内的曲率为9.，如图1，于是，墩柱 弱环节以及可能的破坏类型，但是面对城市曲线 顶部的位移可以用下式表示： 桥，需要考虑不同的地震输入角度，其计算工作量 △=△十(9.-9o)L(L-0.5Lp)(4) 大，结果处理繁杂，因此相对简单的静力非线性抗震 分析方法受到了广泛关注[0山].静力非线性抗震 其中，△，为墩柱底部达到屈服极限时的顶部位移. 分析方法(Pushover法)在房屋建筑方面应用比较 质量中心 广，而在桥梁方面的分析正在逐步完善]；徐欣国 等I3]主要研究了Pushover法在桥梁双柱墩上的应 用，崔高航利用Pushover法分析了桥梁抗震和 结构的P一△效应，Saadeghvaziri等[l对多跨简支 桥梁作了二维和三维的模拟，通过弹塑性时程分析 方法和Pushover法，对比分析了两者的桥梁地震反 应，这些研究都主要是通过Pushover法研究桥梁位 移反应 图1单墩底部曲率与顶部位移关系图 对复杂桥梁结构的动力分析可以通过结构的位 Fig.I Relation between bottom curvature and top displacement of a 移和曲率实现，也就是广义位移的动力响应量，通常 single pier 这两个量分别在墩柱顶部和墩柱底部达到最大值， 把两种状态统一成一个形式，也就是： 当桥墩处于弹性状态时，对于桥梁墩柱同样的顶部 4p=4b十b(9。-9o) (5) 位移来说，墩柱本身高度不同，那么其底部发生的曲 其中， 率也不同.本文用Pushover法计算出在各个外荷载 9L2 方向时曲线桥墩柱底部曲率，通过建立曲率与地震 3 (9<9o) 波输入最不利角度的计算公式，进而使实际工程基 △ PoL2 于最不利角度进行的时程反应计算分析中的工作量 3 (9≥90) 大大简化 Lp(L-0.5Lp)（9<9o) 1 6= 基于Pushover法的曲线桥地震波输入最 (9≥o) 不利角度估算公式 Lp=0.2H-0.1D,且0.1D≤Lp≤0.5D. 1.1单墩位移与曲率关系 式中，o为墩柱底部的屈服曲率，9，为墩柱底部曲 对于单柱式桥墩，假设塑性铰形成于柱底部，水 率，H为桥墩高度，D为桥墩直径 平地震产生荷载作用在质量中心，也就是说不考虑 1.2二维双向地震输入 扭转效应，水平变形主要由墩柱在地震过程中受到 当单向地震波由结构水平面内任意方向输入 的弯矩作用产生，则在弹性范围内时，墩柱顶部位移 时，产生如图2所示位移最大反应，假设输入角度 △为： 与x轴夹角为α，那么对地震响应量作分解可以 L P(y)dydy= ML (1) 得到： u=ucos a十u,sina (6)
求解过程总结了各种组合方法的差异并进行了实 例计算同时结合时程分析进行检验比较．朱东生 等［6—7］研究了曲线桥桥墩类型支座形式等对其抗震 性能的影响通过地震反应谱利用任意一个方向的 地震输入来确定结构的最不利输入角度．范立础和 聂利英等［8—9］对最不利角度的确定标准作了讨论 并用弹性反应谱确定最不利输入方向利用叠加原 理和 CQC 方法研究地震响应量最大值来确定最不 利角度． 复杂结构的抗震验算时结构弹塑性时程反应 分析是比较可靠的方法能判断结构的屈服机制、薄 弱环节以及可能的破坏类型．但是面对城市曲线 桥需要考虑不同的地震输入角度其计算工作量 大结果处理繁杂因此相对简单的静力非线性抗震 分析方法受到了广泛关注［10—11］．静力非线性抗震 分析方法（Pushover 法）在房屋建筑方面应用比较 广而在桥梁方面的分析正在逐步完善［12］；徐欣国 等［13］主要研究了 Pushover 法在桥梁双柱墩上的应 用崔高航［14］ 利用 Pushover 法分析了桥梁抗震和 结构的 P—Δ效应．Saadeghvaziri 等［15］对多跨简支 桥梁作了二维和三维的模拟通过弹塑性时程分析 方法和 Pushover 法对比分析了两者的桥梁地震反 应这些研究都主要是通过 Pushover 法研究桥梁位 移反应． 对复杂桥梁结构的动力分析可以通过结构的位 移和曲率实现也就是广义位移的动力响应量通常 这两个量分别在墩柱顶部和墩柱底部达到最大值． 当桥墩处于弹性状态时对于桥梁墩柱同样的顶部 位移来说墩柱本身高度不同那么其底部发生的曲 率也不同．本文用 Pushover 法计算出在各个外荷载 方向时曲线桥墩柱底部曲率通过建立曲率与地震 波输入最不利角度的计算公式进而使实际工程基 于最不利角度进行的时程反应计算分析中的工作量 大大简化． 1 基于 Pushover 法的曲线桥地震波输入最 不利角度估算公式 1∙1 单墩位移与曲率关系 对于单柱式桥墩假设塑性铰形成于柱底部水 平地震产生荷载作用在质量中心也就是说不考虑 扭转效应水平变形主要由墩柱在地震过程中受到 的弯矩作用产生则在弹性范围内时墩柱顶部位移 Δ为： Δ＝∫ L∫0 y 0 φ（ y）d yd y＝ ML 2 3EI （1） 桥梁墩柱底截面曲率 φ与桥墩柱底所受到弯矩 M 满足： φ＝ M EI （2） 因此 Δ＝ φL 2 3 （3） 其中L 为墩柱高度EI 为抗弯刚度． 如果墩柱底部进入塑性状态假设塑性铰长度 为 Lp假定墩柱本身曲率保持极限屈服状态不变 而所有塑性变形集中在墩柱底部的塑性铰长度范围 内塑性铰区域内的曲率为 φu如图1．于是墩柱 顶部的位移可以用下式表示： Δ＝Δ0＋（φu—φ0） Lp（ L—0∙5Lp） （4） 其中Δ0 为墩柱底部达到屈服极限时的顶部位移． 图1 单墩底部曲率与顶部位移关系图 Fig．1 Relation between bottom curvature and top displacement of a single pier 把两种状态统一成一个形式也就是： Δtop＝Δ0＋b（φb—φ0） （5） 其中 Δ0＝ φb L 2 3 （φb＜φ0） φ0L 2 3 （φb≥φ0） b＝ Lp（ L—0∙5Lp） （φb＜φ0） 0 （φb≥φ0） Lp＝0∙2H—0∙1D且0∙1D≤ Lp≤0∙5D． 式中φ0 为墩柱底部的屈服曲率φb 为墩柱底部曲 率H 为桥墩高度D 为桥墩直径． 1∙2 二维双向地震输入 当单向地震波由结构水平面内任意方向输入 时产生如图2所示位移最大反应 u假设输入角度 与 x 轴夹角为α那么对地震响应量作分解可以 得到： u＝ uxcosα＋ uysinα （6） ·1224· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第11期 宋波等：基于Pushover法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 .1225. 其中，山：、山分别是位移反应量u沿x、y轴的 9o)]fsin2a+{[ul,x0十b1,x(91,x-9o)][u,0十 分量， b1,y(91.y一9o)]一[u2,x0+b2x(92,x-o)]· [u2,0+b1,y(91,y-9o)]}sin2a(13) 式(13)是关于a的函数，因此要求函数的最大 值，需要对α进行求导，这里对Q求导，就可以求得 曲率响应量的极值和相对应的最不利输入角度 tan2a=2{[ul,x0+b1,x(9,x-9o)][ul,y0+ 图2单向地震波输入位移分解 b1y(91.y一9o)]一[u2.x0十b2.x(92,x-9o)] Fig.2 Displacement decomposition of one-direction input seismic [u2,0十b1,y(91,y-9o)]}/八[l,0十b1,x(91,x wave 9o)]2+[u20十b1,(9y-90)]2-[u20十 对于曲线桥梁空间三维的桥墩来说，如果采用 b2,x(92.-9o)]2-[u1,0十b1,y(91y-)]2} Pushover法得到墩底部曲率，那么在给定的整体坐 (14) 标系下，墩柱的底部的最大曲率可以在z平面和 从结果的形式上看，所求得的角度会有两个，一 yz平面内作分解，得到这两个平面内的曲率分量， 个是地震动输入最不利角度，另一个对应的是极小 其中9和9，总是比总的曲率要小，也就是说，即使 值，因此算得的结果要代入式(13)，检验是否会产生 墩柱底部总曲率己经超过屈服极限曲率，分量曲率 曲率最大响应量，公式中出现了9x、92y、92x和 可能会还处于弹性阶段.9.和9，对应于图2中的 2,四个曲率值，它们可能都大于屈服曲率o,也可 位移分量和山，他们之间满足下式： ux=u0十bz(9x-9o) 能都比9小，这里简化如下： (7) (1)9%(=1,2;j=x,y)代入相应的u0 方向1或者方向2上的地震作用下位移反应量： 和b,得到： 1=uL,xcos a十u1,ysin a (9) tan2a=2(u0一b9o)(91,x十91.y一92，x一 u2=一u2,xsin a十u2,ycos (10) 92.y)十b(91.x91y-92.x91,y)/1(u0- 其中，u1x、u2y、u2x和u2,可根据式(7)、(8)得： b9o)[(91.+91y)-(2,x十2.y)]+ u=uj0十b.j(9.90)i=1,2;j=x,y b[(.+y)-(吃.十)]}(16) (11) 其他情况则直接代入式(14)计算 在这里，可以看到公式中应用的曲率值是基于 单墩的计算结果，和曲线桥的平面形状无关，考虑 到在计算曲率过程中是利用Pushover法对整座桥 进行分析，已经考虑了桥型的影响，因此式(13)可以 图3双向地震波输入位移分解 应用于曲线桥的最不利角度推定，但是，在最后反 Fig.3 Displacement decomposition of bidirectional input seismic 求角度中对α求导过程中，却没有考虑由于桥墩在 waves 整座曲线桥位置不同而导致的结果差异以及曲线桥 假定各个方向上的地震是相互独立的，则在双 桥型对单个桥墩的影响，因此在最后的角度求解过 向地震下的结构的总反应可得： 程中引入桥型对单个桥墩的影响系数B,也就是： u=ui+u (12) tan2 0o=Ptan2 a (17) 因此，将式(9)~(11)代入式(12)有 {w十b[.(a)-9]}2={[u1.0十b1.x(91.x- 2算例及其分析 90)]+[u2,0十b1.,(9.y-9)]2fcos2a+ 算例对象桥梁为一座六跨曲线桥（图4），采用 {[2,x0十b2x(92.x-9o)]2+[1,y0十b1,y（91.y- 橡胶支座.桥梁全长222.5m,整体跨径组合为
其中ux、uy 分别是位移反应量 u 沿 x、y 轴的 分量． 图2 单向地震波输入位移分解 Fig．2 Displacement decomposition of one-direction input seismic wave 对于曲线桥梁空间三维的桥墩来说如果采用 Pushover 法得到墩底部曲率那么在给定的整体坐 标系下墩柱的底部的最大曲率可以在 xz 平面和 yz 平面内作分解得到这两个平面内的曲率分量 其中 φx 和φy 总是比总的曲率要小也就是说即使 墩柱底部总曲率已经超过屈服极限曲率分量曲率 可能会还处于弹性阶段．φx 和φy 对应于图2中的 位移分量 ux 和 uy他们之间满足下式： ux＝ u0＋bx（φx—φ0） （7） uy＝ u0＋by（φy—φ0） （8） 当结构受任意角度输入的二维地震波时坐标 体系见图3图中1、2表示地震输入方向xy 坐标 系为结构计算坐标体系．用 u1 和 u2 来表示结构在 方向1或者方向2上的地震作用下位移反应量： u1＝ u1xcosα＋ u1ysinα （9） u2＝— u2x sinα＋ u2ycosα （10） 其中u1x、u2y、u2x和 u2y可根据式（7）、（8）得： uij＝ uij0＋bij（φij—φ0） i＝12；j＝ xy （11） 图3 双向地震波输入位移分解 Fig．3 Displacement decomposition of bidirectional input seismic waves 假定各个方向上的地震是相互独立的则在双 向地震下的结构的总反应可得： u 2＝ u 2 1＋ u 2 2 （12） 因此将式（9）～（11）代入式（12）有 ｛u0＋b ［φu（α）—φ0］｝2＝｛［ u1x0＋b1x（φ1x— φ0）］ 2＋［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］ 2｝cos 2α＋ ｛［ u2x0＋b2x（φ2x—φ0）］ 2＋［ u1y0＋b1y（φ1y— φ0）］ 2｝sin 2α＋｛［ u1x0＋b1x（φ1x—φ0）］ ［ u1y0＋ b1y（φ1y—φ0）］—［ u2x0＋b2x（φ2x—φ0）］· ［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］｝sin2α （13） 式（13）是关于 α的函数因此要求函数的最大 值需要对α进行求导．这里对α求导就可以求得 曲率响应量的极值和相对应的最不利输入角度． tan2α＝2｛［ u1x0＋b1x（φ1x—φ0）］ ［ u1y0＋ b1y（φ1y—φ0）］—［ u2x0＋b2x（φ2x—φ0）］· ［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］｝／｛［ u1x0＋b1x（φ1x— φ0）］ 2＋［ u2y0＋b1y（φ1y—φ0）］ 2—［ u2x0＋ b2x（φ2x—φ0）］ 2—［ u1y0＋b1y（φ1y—φ0）］ 2｝ （14） 从结果的形式上看所求得的角度会有两个一 个是地震动输入最不利角度另一个对应的是极小 值因此算得的结果要代入式（13）检验是否会产生 曲率最大响应量．公式中出现了 φ1x、φ2y、φ2x 和 φ2y四个曲率值它们可能都大于屈服曲率 φ0也可 能都比 φ0 小这里简化如下： （1） φij＜φ0（ i＝12；j＝ xy）．代入相应的 u0 和 b得到： tan2α＝2 φ1xφ1y—φ2xφ1y （φ2 1x＋φ2 1y）—（φ2 2x＋φ2 1y） （15） （2） φij＞φ0（ i＝12；j＝ xy）．代入相应的 u0 和 b得到： tan2α＝2（ u0—bφ0）（φ1x＋φ1y—φ2x— φ2y）＋b（φ1xφ1y—φ2xφ1y）／｛（ u0— bφ0）［（φ1x＋φ1y）—（φ2x＋φ2y）］＋ b ［（φ2 1x＋φ2 1y）—（φ2 2x＋φ2 1y）］｝ （16） 其他情况则直接代入式（14）计算． 在这里可以看到公式中应用的曲率值是基于 单墩的计算结果和曲线桥的平面形状无关．考虑 到在计算曲率过程中是利用 Pushover 法对整座桥 进行分析已经考虑了桥型的影响因此式（13）可以 应用于曲线桥的最不利角度推定．但是在最后反 求角度中对 α求导过程中却没有考虑由于桥墩在 整座曲线桥位置不同而导致的结果差异以及曲线桥 桥型对单个桥墩的影响因此在最后的角度求解过 程中引入桥型对单个桥墩的影响系数 β也就是： tan2α0＝βtan2α （17） 2 算例及其分析 算例对象桥梁为一座六跨曲线桥（图4）采用 橡胶支座．桥梁全长222∙5m整体跨径组合为 第11期 宋 波等： 基于 Pushover 法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 ·1225·
,1226 北京科技大学学报 第30卷 (34.5十4×38.7+33.2)m,采用逆T式桥台，桥墩 种，地基状况属一二类场地，计算实例平面图如图5 均采用圆形独柱墩，各墩直径4m,橡胶支承可动方 所示 向为切向和法向，基础构造为直接基础加桩基两 34500 PD 38700 2 38700 (P3 38700 P4 38700 P5) 33200 4000 8000 8000 8000 8000 8000 图4六跨曲线桥示意图 Fig.4 Sketch map of a six"span curve bridge 用下两个垂直方向上弯矩的M,和M:二轴相关曲 线如图9所示.以各个桥墩的M一P关系为基础，根 10 P4 P5 12 18 24 30 时间s a=15°，30°，45°，，180 A2 图71995年神户地震记录的地震波 Fig.7 Seismic waves recorded in 1995 Kobe earthquake 图5曲线桥平面示意图 Fig.5 Plane sketch of the six-span curve bridge 图6是曲线桥的计算简化模型.在该计算模型 中，采用弹性梁单元模拟上部梁结构，用非线性单元 来模拟桥墩，时程分析过程输入的地震波采用 1995年神户地震记录的地震波（图7） 0 曲率103m 图8P2桥墩底部曲率和弯矩时程分析结果 Fig.8 Relation between curvature and bending moment at Pier P2 bottom by time history analysis 36000 18000 图6曲线桥计算简化模型 Fig.6 Simplified model for calculation of the curve bridge 运用New mark-3积分法(B=1/4),积分间隔 -18000 △T=0.002s,地震波的输入方向为逆时针从0°到 180°，每15°为一个增量进行计算.计算中考虑了两 -360900 -22000 0 22000 44000 轴相关及轴力对应力应变的影响；当地震波以135° M./(kN-m) 输入时，以P2桥墩为例，底部曲率和弯矩的关系时 图9P2桥墩底部弯矩二轴相关 程分析结果如图8所示，曲线桥P2桥墩在地震作 Fig.9 Twoaxis related bending moment at Pier P2 bottom
（34∙5＋4×38∙7＋33∙2）m采用逆 T 式桥台桥墩 均采用圆形独柱墩各墩直径4m橡胶支承可动方 向为切向和法向．基础构造为直接基础加桩基两 种地基状况属一二类场地计算实例平面图如图5 所示． 图4 六跨曲线桥示意图 Fig．4 Sketch map of a six-span curve bridge 图5 曲线桥平面示意图 Fig．5 Plane sketch of the six-span curve bridge 图6是曲线桥的计算简化模型．在该计算模型 中采用弹性梁单元模拟上部梁结构用非线性单元 来模拟桥墩．时程分析过程输入的地震波采用 1995年神户地震记录的地震波（图7）． 图6 曲线桥计算简化模型 Fig．6 Simplified model for calculation of the curve bridge 运用 Newmark-β积分法（β＝1／4）积分间隔 ΔT＝0∙002s地震波的输入方向为逆时针从0°到 180°每15°为一个增量进行计算．计算中考虑了两 轴相关及轴力对应力应变的影响；当地震波以135° 输入时以 P2桥墩为例底部曲率和弯矩的关系时 程分析结果如图8所示．曲线桥 P2桥墩在地震作 用下两个垂直方向上弯矩的 My 和 Mz 二轴相关曲 线如图9所示．以各个桥墩的 M—φ关系为基础根 图7 1995年神户地震记录的地震波 Fig．7 Seismic waves recorded in1995Kobe earthquake 图8 P2桥墩底部曲率和弯矩时程分析结果 Fig．8 Relation between curvature and bending moment at Pier P2 bottom by time history analysis 图9 P2桥墩底部弯矩二轴相关 Fig．9 Two-axis related bending moment at Pier P2bottom ·1226· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第11期 宋波等：基于Pushover法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 .1227. 据时程解析结果，各个桥墩的最不利地震输入方向 0.0020 ◆P1 如图10所示.图10中对应曲线峰值点的角度就是 ◆P2 0.0015 由时程分析求得的该结构地震输入最不利角度， 在采用Pushover法进行静弹塑性分析时，荷载 g0.0010 输入角度和时程分析一样，静荷载分为100阶，使质 0.0005 量成比例地在水平方向的分布荷载上增加，作非线 -P4 P5 性分析，由此得到整体坐标系中对应各地震输入角 00306090120150180 度时各个墩柱的两个方向的曲率，列于表1， 地震波输人角度() 在利用式(14)~(17)确定最不利地震输入角度 图10各墩最不利角度时程分析结果 o时，需要两个垂直方向1和g的地震输入结 Fig-10 Critical angles of each pier by time-history analysis 表1由Pushover法计算各个桥墩底部曲率值 Table I Bottom curvature of each pier according to Pushover-based method 地震输入 Pl P2 P3 P4 P5 角度/() 9 9 9 g 9 9, 号 中y 8多 9 0 0.00915 0.00039 0.00882 0.00054 0.00800 0.00046 0.00483 0.00005 0.00039 0.00004 15 0.00801 0.00089 0.00788 0.001280.00740 0.00142 0.00498 0.00151 0.00054 0.00031 30 0.00544 0.00149 0.00616 0.00262 0.00627 0.00312 0.00495 0.00328 0.00126 0.00152 45 0.00215 0.00111 0.00418 0.00334 0.00498 0.00482 0.00453 0.00539 0.00241 0.00505 60 0.00049 0.00044 0.00246 0.00356 0.00359 0.00626 0.00344 0.00758 0.00229 0.00846 75 0.00020 0.00041 .D11 .5359 0.0194 0.00743 0.00193 .0930 0.00120 0.01091 90 0.00001 0.00032 0.00003 0.00368 0.00004 0.00804 0.00005 0.00999 0.00038 0.01174 103 0.00023 0.00046 0.00124 0.00430 0.00173 0.00816 0.00179 0.00977 0.00165 0.01117 120 0.00057 0.00049 0.00334 0.00486 0.00400 0.00747 0.00371 0.00811 0.00273 0.00841 135 0.00391 0.00203 0.00570 0.00487 0.00610 0.00626 0.00473 0.00581 0.00258 0.00465 150 0.00707 0.00225 0.00776 0.00399 0.00760 0.00452 0.00499 0.00338 0.00092 0.00094 165 0.00889 0.00150 0.00884 0.00244 0.00834 0.00255 0.00512 0.00153 0.00053 0.00023 180 0.009110.000380.008730.000540.008180.000460.004980.000040.000380.00004 果.先从表1中取一个输入角度α作为方向1地震 0.0006还是0.0012，对于同一个桥墩结构，选取不 输入，并提取相对应的P.和9，作为91x和9y:然后 同地震波输入角度的曲率来推算最不利角度进行计 取输入角度90十α作为方向2地震输入，并提取向 算得到的结果不完全相同（表2和表3中的一列）， 对应的9.和9，作为P2和2，·将这些数据代入式 这与之前分析不一致.导致这种不一致的原因在 (14)一(17)，就可以确定由这个a输入地震是算得 于：在曲线桥的简化计算过程中，考虑不同的地震输 的曲线桥地震反应输入最不利角度，这里，对于不 表2屈服曲率0.0006时的五个桥墩最不利角度计算结果 同的桥墩P1~P5,根据试算分别取影响系数β为 Table 2 Calculated critical angles of five piers at a yield curvature of 0.5,1.0,2.0,1.0和0.5. 0.0006 (9 计算过程需对桥梁墩柱底部的屈服曲率参数作 地震输入方向角度P1 P2 P3 P4 P5 设定，本文考虑了两种上部自重的情况，也就是两种 (0,90) 2 173 173 89 89 不同的屈服曲率P,下的情况：计算参数取屈服曲 (15,105) 5 172 170 81 85 率9=0.0006，计算结果列于表2；计算参数取屈 (30,120) 9 159 168 2 81 服曲率9o=0.0012,计算结果列于表3， (45,135) 汤 157 158 62 50 根据式(14)和(17)，从表1中选取任意两组数 (60,150) 11 159 144 97 85 据代入公式计算，最后求得的最不利角度结果应当 (75,165) 6 166 165 87 87 是不变的，和地震输入的两个方向1和？选取无 (90,180) 2 176 165 87 88 关，比较分析表2和表3，无论取屈服曲率为
据时程解析结果各个桥墩的最不利地震输入方向 如图10所示．图10中对应曲线峰值点的角度就是 由时程分析求得的该结构地震输入最不利角度． 在采用 Pushover 法进行静弹塑性分析时荷载 输入角度和时程分析一样静荷载分为100阶使质 量成比例地在水平方向的分布荷载上增加作非线 性分析．由此得到整体坐标系中对应各地震输入角 度时各个墩柱的两个方向的曲率列于表1． 在利用式（14）～（17）确定最不利地震输入角度 α0时需要两个垂直方向 α1 和 α2 的地震输入结 图10 各墩最不利角度时程分析结果 Fig．10 Critical angles of each pier by time-history analysis 表1 由 Pushover 法计算各个桥墩底部曲率值 Table1 Bottom curvature of each pier according to Pushover-based method m —1 地震输入 角度／（°） P1 P2 P3 P4 P5 φx φy φx φy φx φy φx φy φx φy 0 0∙00915 0∙00039 0∙00882 0∙00054 0∙00800 0∙00046 0∙00483 0∙00005 0∙00039 0∙00004 15 0∙00801 0∙00089 0∙00788 0∙00128 0∙00740 0∙00142 0∙00498 0∙00151 0∙00054 0∙00031 30 0∙00544 0∙00149 0∙00616 0∙00262 0∙00627 0∙00312 0∙00495 0∙00328 0∙00126 0∙00152 45 0∙00215 0∙00111 0∙00418 0∙00334 0∙00498 0∙00482 0∙00453 0∙00539 0∙00241 0∙00505 60 0∙00049 0∙00044 0∙00246 0∙00356 0∙00359 0∙00626 0∙00344 0∙00758 0∙00229 0∙00846 75 0∙00020 0∙00041 0∙00111 0∙00359 0∙00194 0∙00743 0∙00193 0∙00930 0∙00120 0∙01091 90 0∙00001 0∙00032 0∙00003 0∙00368 0∙00004 0∙00804 0∙00005 0∙00999 0∙00038 0∙01174 103 0∙00023 0∙00046 0∙00124 0∙00430 0∙00173 0∙00816 0∙00179 0∙00977 0∙00165 0∙01117 120 0∙00057 0∙00049 0∙00334 0∙00486 0∙00400 0∙00747 0∙00371 0∙00811 0∙00273 0∙00841 135 0∙00391 0∙00203 0∙00570 0∙00487 0∙00610 0∙00626 0∙00473 0∙00581 0∙00258 0∙00465 150 0∙00707 0∙00225 0∙00776 0∙00399 0∙00760 0∙00452 0∙00499 0∙00338 0∙00092 0∙00094 165 0∙00889 0∙00150 0∙00884 0∙00244 0∙00834 0∙00255 0∙00512 0∙00153 0∙00053 0∙00023 180 0∙00911 0∙00038 0∙00873 0∙00054 0∙00818 0∙00046 0∙00498 0∙00004 0∙00038 0∙00004 果．先从表1中取一个输入角度 α作为方向1地震 输入并提取相对应的 φx 和φy 作为φ1x和φ1y；然后 取输入角度90＋α作为方向2地震输入并提取向 对应的 φx 和φy 作为φx2和 φ2y．将这些数据代入式 （14）～（17）就可以确定由这个 α输入地震是算得 的曲线桥地震反应输入最不利角度．这里对于不 同的桥墩 P1～P5根据试算分别取影响系数 β为 0∙51∙02∙01∙0和0∙5． 计算过程需对桥梁墩柱底部的屈服曲率参数作 设定本文考虑了两种上部自重的情况也就是两种 不同的屈服曲率 φ0 下的情况：计算参数取屈服曲 率 φ0＝0∙0006计算结果列于表2；计算参数取屈 服曲率 φ0＝0∙0012计算结果列于表3． 根据式（14）和（17）从表1中选取任意两组数 据代入公式计算最后求得的最不利角度结果应当 是不变的和地震输入的两个方向 α1 和 α2 选取无 关．比 较 分 析 表 2 和 表 3无 论 取 屈 服 曲 率 为 0∙0006还是0∙0012对于同一个桥墩结构选取不 同地震波输入角度的曲率来推算最不利角度进行计 算得到的结果不完全相同（表2和表3中的一列） 这与之前分析不一致．导致这种不一致的原因在 于：在曲线桥的简化计算过程中考虑不同的地震输 表2 屈服曲率0∙0006时的五个桥墩最不利角度计算结果 Table2 Calculated critical angles of five piers at a yield curvature of 0∙0006 （°） 地震输入方向角度 P1 P2 P3 P4 P5 （090） 2 173 173 89 89 （15105） 5 172 170 81 85 （30120） 9 159 168 72 81 （45135） 20 157 158 62 50 （60150） 11 159 144 97 85 （75165） 6 166 165 87 87 （90180） 2 176 165 87 88 第11期 宋 波等： 基于 Pushover 法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 ·1227·
,1228 北京科技大学学报 第30卷 表3屈服曲率0.0012时的五个桥墩最不利角度计算结果 三 180 Table 3 Calculated critical angles of five piers at a yield curvature of 150 0.0012 (9 120 ◆P1墩·P3墩P5墩 。-P2墩◆P4墩 地震输入方向角度 P2 P3 P4 P5 90 60 (0,90) 3 173 147 93 90 30 ◆ (15,105) 6 173 138 95 85 04 15 30 456075 90 (30,120) 12 173 139 101 81 地震波输入角度a取值() (45,135) 9 146 135 103 91 图12屈服曲率0.0012时各墩最不利角度公式求解结果 (60,150) 9 160 160 98 86 Fig-12 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of (75,165) 5 149 149 c 88 0.0012 (90,180) 2 150 150 89 将以上两图的曲线与表4中的时程分析结果比 入的方向α时对曲线桥上部结构的刚度差异考虑 较可以看出，最不利角度的变化幅值在各个桥墩时 不足 程分析求得结果附近，以后者为中心波动，通过算 结合图10，比较时程分析结果和表3计算结果 例看出，选定垂直的两个地震输入方向，在这两个方 可知，除了个别数据外，误差均在输入角度计算增量 向上对整个桥作Pushover分析，将所得的桥墩底部 (15)以内.为了方便从宏观上观察计算结果和时 曲率代入文中公式求解最不利角度，所得到的结果 程分析结果的一致性，如果考虑对表2和表3中的 具有一定的精度，与时程分析得到的最不利角度一 一列取平均值作为计算最不利角度结果均值（表4 致，可以满足工程精度上的要求， 所示)，可以看到取屈服曲率0.0012时，误差可控 同时，从两组计算中可以发现，选取不同屈服曲 制在13°内，从图11可以看到，在屈服曲率取为 率会对求解结果的离散性有影响，在图9和图10中 0.0006的情况下计算所得的各桥墩的最不利角度 表现为计算结果曲线的光滑度不一样.造成这种不 结果都围绕某一值而上下浮动.同样，从图12可以 同的原因在于屈服曲率是判断结构是否处于塑性状 看到类似的情况 态关键参数，其大小与结构在竖直平面内的荷载有 表4时程分析结果和两种屈服曲率下的最不利角度计算结果比较 关，如果这种竖向荷载不可忽略，那么结构的受力状 Table 4 Comparison of critical angles between time history analysis and 态需要考虑其水平状态和竖向状态的矢量叠加，计 formula calculation with the two different yield curvat ures 算中所取屈服曲率参数不同，也会影响结构最不利 桥墩 时程分析的 表2计算 表3计算 角度求解的精确性， 编号 结果 结果均值 结果均值 pl 0 8 6 3结论 P2 165 166 161 (1)地震的输入角度对曲线桥梁桥墩底部曲率 p3 135 163 148 的地震反应影响较大，基于墩底曲率的地震最不利 P4 90 82 99 输入角度明显 P5 90 81 87 (2)在橡胶支承的曲线桥、等高桥墩的条件下， 本文以Pushover法为基础，推导了结构受地震作用 180 时，以桥墩底部曲率为标准的最不利角度的计算公 150 式(14)和(17) 区人区定公所 120 (③)不同桥墩存在各自的地震最不利输入角 90 60 ◆P1嫩◆一P3墩P5墩 度，同一座桥的几个桥墩的最不利角度不存在紧密 30 。-P2墩●-P4墩 联系，各墩的屈服曲率对最不利角度也有影响 ◆ 15 30456075 90 (4)基于Pushover法，通过桥墩底部曲率来推 地藏波输入角度α取值/() 定地震波最不利输入角度，可以简化对曲线桥梁最 图11屈服曲率0.0006时各墩最不利角度公式求解结果 不利输入角度的计算过程.与时程分析方法相比， Fig-11 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of 这种方法是牺牲少量的计算精度来大量缩短计算时 0.0006 间，在实际工程设计中具有重要的意义
表3 屈服曲率0∙0012时的五个桥墩最不利角度计算结果 Table3 Calculated critical angles of five piers at a yield curvature of 0∙0012 （°） 地震输入方向角度 P1 P2 P3 P4 P5 （090） 3 173 147 93 90 （15105） 6 173 138 95 85 （30120） 12 173 139 101 81 （45135） 9 146 135 103 91 （60150） 9 160 160 98 86 （75165） 5 149 149 98 88 （90180） 2 150 150 89 89 入的方向 α时对曲线桥上部结构的刚度差异考虑 不足． 结合图10比较时程分析结果和表3计算结果 可知除了个别数据外误差均在输入角度计算增量 （15°）以内．为了方便从宏观上观察计算结果和时 程分析结果的一致性如果考虑对表2和表3中的 一列取平均值作为计算最不利角度结果均值（表4 所示）可以看到取屈服曲率0∙0012时误差可控 制在13°内．从图11可以看到在屈服曲率取为 0∙0006的情况下计算所得的各桥墩的最不利角度 结果都围绕某一值而上下浮动．同样从图12可以 看到类似的情况． 表4 时程分析结果和两种屈服曲率下的最不利角度计算结果比较 Table4 Comparison of critical angles between time history analysis and formula calculation with the two different yield curvatures （°） 桥墩 编号 时程分析的 结果 表2计算 结果均值 表3计算 结果均值 P1 0 8 6 P2 165 166 161 P3 135 163 148 P4 90 82 99 P5 90 81 87 图11 屈服曲率0∙0006时各墩最不利角度公式求解结果 Fig．11 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of 0∙0006 图12 屈服曲率0∙0012时各墩最不利角度公式求解结果 Fig．12 Calculated critical angles of each pier at a yield curvature of 0∙0012 将以上两图的曲线与表4中的时程分析结果比 较可以看出最不利角度的变化幅值在各个桥墩时 程分析求得结果附近以后者为中心波动．通过算 例看出选定垂直的两个地震输入方向在这两个方 向上对整个桥作 Pushover 分析将所得的桥墩底部 曲率代入文中公式求解最不利角度所得到的结果 具有一定的精度与时程分析得到的最不利角度一 致可以满足工程精度上的要求． 同时从两组计算中可以发现选取不同屈服曲 率会对求解结果的离散性有影响在图9和图10中 表现为计算结果曲线的光滑度不一样．造成这种不 同的原因在于屈服曲率是判断结构是否处于塑性状 态关键参数其大小与结构在竖直平面内的荷载有 关如果这种竖向荷载不可忽略那么结构的受力状 态需要考虑其水平状态和竖向状态的矢量叠加．计 算中所取屈服曲率参数不同也会影响结构最不利 角度求解的精确性． 3 结论 （1） 地震的输入角度对曲线桥梁桥墩底部曲率 的地震反应影响较大基于墩底曲率的地震最不利 输入角度明显． （2） 在橡胶支承的曲线桥、等高桥墩的条件下 本文以 Pushover 法为基础推导了结构受地震作用 时以桥墩底部曲率为标准的最不利角度的计算公 式（14）和（17）． （3） 不同桥墩存在各自的地震最不利输入角 度同一座桥的几个桥墩的最不利角度不存在紧密 联系各墩的屈服曲率对最不利角度也有影响． （4） 基于 Pushover 法通过桥墩底部曲率来推 定地震波最不利输入角度可以简化对曲线桥梁最 不利输入角度的计算过程．与时程分析方法相比 这种方法是牺牲少量的计算精度来大量缩短计算时 间在实际工程设计中具有重要的意义． ·1228· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第11期 宋波等：基于Pushover法的曲线桥地震波输入最不利角度分析 .1229. 参考文献 标准问题.同济大学学报：自然科学版，2003,31(6)：631) [1]Williams D.Godden W.Seismic response of long curved bridge [9]Nie L Y.LiJZ.Fan L C.Principle and effect of critical angle of structures:experimental model studies.Earthquake Eng Struct complicated structure in dynamic analysis.J Earthquake EngEng Dym,1979,7(2):107 Vib,2003,23(3):37 (聂利英，李建中，范立础.复杂结构地震动输入方向的基本 [2]Pergien J.Watabe M.Characteristics of 3-dimensional earth- quake ground motions.Int JEarthquake Eng Struct Dyn.1975. 原理及其影响.地震工程与工程振动，2003,23(3)：37) 4(3):365 [10]Zhou Y.An Y.Research and development of performance-based [3]Wilison E L,Button M R.Three-dimensional dynamic analysis seismic design theory and method.World Earthquake Eng, 2001,17(2):1 for multi-component earthquake spectra.Earthquake Eng Struct Dyn,1982,10:471 (周云，安宇.基于性态抗震设计理论和方法的研究与发展 世界地震工程，2001,17(2)：1) [4]Feng YT,Li M R.Lin CZ.Elastic earthquake response analysis for complex structures.Earthquake Eng Eng Vib.1991.11 [11]Qian J R.Luo W B.Displacement based seismic design method- (4):77 ology for building structures.Build Struct.2001.31(4):3 (冯云田，李明瑞，林春哲。复杂结构的弹性地震反应分析 (钱稼茹，罗文斌。建筑结构基于位移的抗震设计，建筑结 地震工程与工程振动，1991,11(4)：77) 构，2001,31(4)：3) [5] Gao X A.Zhou X Y.Multi-component seismic response analysis [12]Liu C G.Lin G.Research on push-over method for earthquake- for curved bridges.Spec Struct,2005,22(1):56 resistant performance of bridge structure.J Dalian Univ Tech- (高晓安，周锡元，曲线桥梁在多向地震作用下的动力分析方 nol,2005,45(3):395 法.特种结构，2005,22(1)：56) (柳春光，林皋.桥梁结构Pushover方法抗震性能研究.大连 [6]Zhu D S.Liu S Z.Yu L S.Research on seismic response of 理工大学学报.2005,45(3)：395) curved girder bridges.ChinaJ Highway Transp.2002.15(3): [13]Xu X G.Tang G Wu.Zheng G.Application of push-over ana 42 lytic method to seismic resistance performance evaluation of dou (朱东生，刘世忠，虞庐松.曲线桥地震反应研究中国公路 ble column piers.Technol Highway Transp.2005.6(3):88 学报，2002,15(3)：42) (徐欣国，唐光武，郑罡.Pushover分析方法在双柱桥墩抗震 [7]Zhu DS.Yu L S,Liu S Z.The study of earthquake input princi- 性能评价上的应用.公路交通技术，2005,6(3)：88) pal direction for irregular bridges.Lanzhou Jiootong Univ. [14]Cui G H.Studies on Push-over Method of Bridge Structure 2000,19(6):37 Dissertation ]Beijing:Institute of Engineering Mechanics, (朱东生，虞庐松，刘世忠·不规则桥梁地震动输入主方向的 China Earthquake Administration.2003:36 研究.兰州铁道学院报，2000,19(6)：37) (崔高航，桥梁结构PUSH-OVER方法研究[学位论文]·北 京：中国地震工程力学研究所，2003,36) [8]Fan L C.Nie L Y,Li JZ.Discussion on standard of critical angle of seismic wave in seismic analysis of complicated structures. [15]Ala Saadeghvaziri M.Yadani-Motlagh A R.Seismic behavior Tongji Univ Nat Sei,2003.31(6):631 and capacity/demand analyses of three multi-span simply sup (范立础，聂利英，李建中，复杂结构地震波输入最不利方向 ported bridges.Eng Struct,2008.30(1):54
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