D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1996.05.015 第18卷第5期 北京科技大学学报 Vo1.18No.5 1996年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.1996 同心圆柱套筒间接触热阻的研究（二）： 参数影响分析 殷晓静)Degiovanni A2 1)北京科技大学，北京1000832)LAMTA-NPL-France 摘要应用同心圆柱套筒间接触热阻的三维稳态传热数学模型，分析了不同几何形状参数对收 缩热阻的影响，给出了收缩函数A的极限值表达式；还讨论了热物性参数和接触面上的压力对 接触热阻的影响. 关键词接触热阻，热传导，数学模型/同心圆柱 中图分类号TK124 本文在同心圆柱套简间接触热阻的三维稳态传热数学模型，斗的基础上，分析了不同几 何参数、力学参数和热物性参数对接触热阻的影响. 1几何形状对收缩热阻的影响 在本文的第一部分，给出了收缩热阻的特征函数A的表达式.分析表明，函数A取决 于7个参数，即： A=f(a,B,,8o,l1/a,l21a,入2/，) (1) 同样，也可以选用下面定义的参数来表达函数A: k,=v=(R+H)9'/b;k,=vB/a=(R。+l)9。/as=aB:8。l1/al31a;2/11 显然，k,和k,'分别为单元体的实际接触面积(S')及表观接触面积(S)的宽度与长度 的比值，它们定义了单元体的形状参数日。为单元体在接触面圆周上所占的角度，体现了单 元体的弯曲程度.B。可以由交界面半径与单元体长度的比值代替，定义为：R”=(R,+H) 大旧。日。值越小，单元体的弯曲程度也就越小；当0。值趋近于零，或者当R趋近于无 穷大时，圆柱面接触就变成平面接触. 1.1参数1/a的影响 在讨论单元体接触热阻时，通常假定单元体是足够厚的，即1》α，因而单元体端部 的边界条件不再影响接触面上的传热过程.为了得到单元体厚度与单元体长度的比值的 临界值.，假定，=l2,并对函数A进行数值计算.计算结果表明，当比值11>0.8时，无论l1a 取什么值，函数A的结果不再变化.因此，以后的计算均假定单元体是足够厚的，即比值 1995-09-04收稿第一作者女39岁副教授博士
第 1 8卷 第5期 1 9 9 6年 1 0月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n i v e r s iyt o f S e i e n e e a n d T e e h n o l o gy B e ij i n g V o l . 1 8 N o 一 5 O C t 。 1 9 9 6 同心 圆柱套筒 间接触热阻 的研究 ( 二) : 参数影 响分析 殷晓静 ` ) D 塔i o v a n n i 注’ ) l )北 京科 技大学 , 北京 10 0 0 8 3 2 ) L A M T A 一 NI P L 一 F ra n e e 摘要 应 用 同心 圆柱套 筒间接 触热阻 的三维稳态 传热数 学模型 , 分 析 了不 同几何 形状参数 对收 缩热 阻的 影响 , 给 出了 收缩 函数 A 的极 限值 表达式 ; 还 讨论 了热物性 参数和接触 面上 的压 力对 接触热 阻的影 响 . 关键词 接触热阻 , 热传导 , 数 学模 型 / 同心 圆柱 中图分类 号 T K 12 4 本文 在 同心 圆柱 套 筒 间接 触 热 阻 的三 维稳 态 传热 数学模 型 【` ,z] 的基 础 上 , 分析 了不 同几 何参 数 、 力 学 参数 和 热物性 参数 对接触 热 阻的影 响 . 1 几何形状对收缩热 阻 的影响 在本 文的第 一部 分 fl] , 给 出 了收缩 热阻 的特 征 函 数 A 的表达 式 . 分 析表 明 , 函 数 A 取决 于 7 个参数 , 即 : A =f ( a , 月 , v , 0 。 , l , / a , 几/ a , 又2 / 又1 ) ( l ) 同样 , 也 可 以 选用下 面 定义 的参数来 表 达 函 数 A : ks 一 v 一 (R。 + 1 1 )0 ` / b ; k , 一 v 月/ a = (R 。+ 1 1 ) 0 。 / a ; s ’ 一 a 月; 0 。; l : / a ; 几/ a ; 几2 / 又, 显然 , ks 和 ks ’ 分 别 为单 元 体 的 实 际接 触 面积 (S ` ) 及 表观 接 触 面积 (S ) 的宽 度 与 长度 的 比 值 , 它 们 定 义 了 单 元 体 的 形状 . 参 数 口。为 单元 体在 接 触 面 圆周 上所 占的角度 , 体现 了 单 元 体 的 弯 曲程 度 . 日。 可 以 由交界 面半 径 与单 元 体 长度 的 比 值 代 替 , 定 义 为 : R 、 ’ 一 (凡+l l ) 喊 ’ 0/ . 0 。 值 越小 , 单 元体的 弯 曲程 度 也就 越小 ; 当 e 。 值 趋 近于 零 , 或 者 当 R i ’ 趋 近于 无 穷 大 时 , 圆柱 面 接 触就 变 成平 面接 触 . L l 参数 l/ a 的影 响 在 讨 论 单 元体 接触 热 阻 时 , 通 常 假定 单元 体 是 足够 厚 的 , 即 l 》 a , 因而 单元 体端 部 的边 界 条 件 不 再 影 响 接触 面上 的 传热 过 程 . 为 了得 到 单元 体厚 度 与单元 体长度 的 比值 的 临界 值 , 假 定 1 1一 1 2 , 并 对 函 数 A 进 行 数值计 算 · 计算 结果 表 明 , 当比值 l a/ > .0 8 时 , 无 论 l a/ 取 什 么 值 , 函 数 A 的结 果 不 再 变 化 . 因此 , 以 后 的 计 算均 假 定 单 元 体是 足 够 厚 的 , 即 比值 19 9 5 一 0 9 一 0 4 收 稿 第 一 作 者 女 3 9 岁 副 教 授 博 士 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1996. 05. 015
Vol.18 No.5 殷晓静等：同心圆柱套简间接触热阻的研究（二）参数影响分析 ·465: 11a>0.8 1.2表观接触面为正方形 为了简化计算，假定入，=1，即相互接触的材料是同种材料.在这种情况下，若接触 面形状一定(k和k,'固定)，函数A仅取决于参数s*和R*.下面计算的目的在于揭示触 面形状参数k,和k,'对函数A=f(s*,R)的影响.图1中给出了几种典型的接触面形 状.对于表观接触面为正方形的情况，即图1()的情况，参数k,=1;实际接触面的形状则 随着参数k,变化，图中顺次给出了k,=1,5,0.2,10,0.】的情况.为了便于比较，对相应 的平面接触的函数A的计算曲线也同时进行了计算.结果表明，在各种情况下，圆柱曲面 间的接触所造成的收缩热阻无论在数值上，还是在随参数(5*)2变化特性上，都与平面接 触的情况相吻合 13实际接触面为正方形 当实际接触面为正方形时（化，=1），讨论不同形状的单元体，即变化参数k,’,针对图 1(b)中的6种典型情况计算函数A, M 计算结果见图2.当k,=02时，圆柱 (a) =1 曲面间接触的收缩热阻值均大于平面 接触的收缩热阻；而当k,=5时情 况正好相反.由此可以推断热流线在 k=0.2 10 k=0,1 轴向的变形程度大于在周向的变形 k=1 k,=1 (b) 当然只要增加交界面的半径，或者改 k,=5 人=4 变表征接触面的形状，函数A的曲 线均向平面接触的函数A曲线趋近. =0.2 =0.25 k,=0.5 根据计算结果，当交界面的无量纲半 径大于5.09，即当一个圆周上有大于 20个单元体时，圆柱曲面间接触的收 =0.2 缩热阻值可以用平面接触的收缩热阻 k=5 0.2 (c) 值代替 图1各种几何形状单元体示意图 1.4实际接触面与表观接触面形状类似 图1（©）给出了实际接触面与表观接触面类似的情况.由计算结果可知，在这种情况 下，圆柱曲面间接触的收缩函数A与平面接触的收缩函数A是完全重合的. 2收缩函数的极限值 进一步研究单元体实际接触面和表观接触面的几何形状对函数A的影响.在图2中
V o 1 . 1 8 N o . 5 殷晓静等: 同心圆柱套筒间接触热阻的研究 ( 二) 参数 影响分 析 . 4 6 5 . l / a >0 . 8 . L Z 表观接触面 为正 方形 为了 简化计算 , 假 定 又, = 又2 , 即相 互接 触 的材料 是 同种材 料 · 在 这种情 况 下 , 若接 触 面 形 状一 定 ( ks 和 ks ’ 固定 ) , 函 数 A 仅 取决 于参数 *s 和 尺 * . 下 面计 算 的 目的在 于揭 示 触 面 形 状 参数 ks 和 ks ` 对 函 数 A =f (*s , 尺*) 的 影 响 . 图 l 中给 出 了几 种 典 型 的 接触 面形 状 . 对于表 观接 触 面为 正方 形 的情 况 , 即图 l a( ) 的情 况 , 参数 ks ` 一 ;l 实 际接 触面的形 状 则 随着 参数 ks 变 化 , 图中顺次 给 出了 ks 一 l , 5 , 0 2 , 10 , 0 . 1 的情 况 . 为 了便 于 比较 , 对相 应 的平 面接 触 的 函 数 A 的 计算 曲线 也 同 时进行 了计 算 . 结 果 表 明 , 在各 种情 况 下 , 圆柱 曲面 间 的接触 所造 成 的收缩 热阻 无论 在数值上 , 还是在 随参数 ( : * ) “ ’ 变 化 特性 上 , 都 与平 面接 触 的情况 相 吻合 . 1.3 实际接 触面 为正 方形 当实 际接 触 面 为 正 方 形 时 ( ks 二 l), 1 b( ) 中 的 6种 典 型 情 况 计 算 函 数 A , 计算 结果 见 图 2 . 当 ’xs 二 0 2 时 , 圆 柱 曲面 间 接 触 的 收缩 热 阻值 均 大 于平 面 接 触 的 收 缩 热 阻 ; 而 当 叮 二 5 时 情 况 正 好 相 反 . 由此 可 以 推 断热 流 线 在 轴 向 的变 形 程 度 大 于 在 周 向 的 变 形 . 当然 只 要 增加 交 界 面 的半 径 , 或者 改 变 表 征 接触 面 的 形状 , 函 数 A 的 曲 线 均 向 平 面 接 触 的 函 数 A 曲 线 趋 近 . 根 据 计算 结果 , 当交 界 面 的 无 量 纲半 径 大 于 .5 0 9 , 即 当一个 圆周 上 有 大 于 2 0 个 单 元 体时 , 圆柱 曲 面 间 接 触 的 收 缩 热 阻 值 可 以 用平 面 接 触 的 收 缩 热 阻 值代 替 . 讨论不 同形状 的单 元体 , 即变 化参数 ks ` . 针 对 图 ks瓦l 一 曰黔 厂万刁无= l o 这上目 ks 一 l ks日= 住 2 七国= 10 弋= I ks = l 允= l 哈 4 翰 } 日。 1 目 凡一 0 ’ 2 , 巨ks = 0 . 1 凡= l 妇=ks5口 无= 奋 二二 ks = 5 凡= 5 ; 凡二 0 2 ks = 0 2 以~ , } 图 1 各种几何形状单元体示意 图 1 . 4 实 际接触 面与 表观接 触面形 状类 似 图 1 ( 。 ) 给 出 了实 际接 触 面 与 表 观 接 触 面类 似 的情 况 . 由计 算 结 果 可 知 , 在 这 种 情 况 下 , 圆柱 曲面 间接 触 的收 缩 函 数 A 与 平面接 触 的 收缩 函 数 A 是 完全 重合 的 . 2 收缩 函 数的极 限 值 进一 步研究 单 元体 实 际接 触 面 和 表 观接 触 面 的几 何形 状 对 函 数 A 的影 响 . 在 图 2 中
·466· 北京科技大学学报 1996年No.5 分别给出了实际接触面为正方形(k,=1)和矩形(k,=5)的函数A随参数(s)2的变化曲线. 由这两组曲线可知，函数A不仅随实际接触面的形状变化，而且也随单元体的形状变化但 当参数(5*)2的值很小时，单元体实际接触面的形状对函数A的影响会起主导作用.实际 上，当(s*)2趋近于零时，对于具有同样形状的实际接触面的单元体，函数A趋近于同一极 限值这个极限值Am的解析表达式为2，： Am-[k/sinh(k)+k/sinh(k+(1+-(1+k3)1/3/3]/[(π)'2(k,)' (2) 0.90 0.85 0.80 k 平面：0k,=5和021 1 5 1 圆柱：一k,=0.2 k-1 0.70 oconO 0.80 --k=5 ,=I 0.60 11=2R=1.27 050 15 0.75 615 0.40 6 0.30 0.7 0.000.100.200.300.400.50 0.20 35 (G*)2 0.10 A1=入2 4。 图2实际接触面为正方形时函数A的变化 0.00 0.000.200.400.600.801.00 (s*)2 3其他参数的影响 图3参数k,及k,对函数A的影响 如果满足以下3个条件：1)单元体的形状为正方形，即0(R。+1)=a;2)单元体的厚 度相对于单元体的尺寸足够大，1,1》a,9(R。+1;3)两种材料的粗糙尺寸相同，6，=62， 则可将接触热阻的表达式整理为儿个量纲为一的参数的函数： R=.440-s)1a2+44/网2+6*1-s162 2。天')Ψ21-s)+1"1-3y15)2+44以'"1m83) 于是上述式中： 入m=21121(0,+12元，=2八入2/（八，+）51′=12/九m1”=r/m ò*=2⊙，+ò2)1*)12，A20.85-1.1)2 这样，单位面积的接触热阻R取决于以下5个参数： 6,s,1′，1"，(112/1m 其中，1'，入”和入是由材料的导热系数所决定的参数，反映了内外层材料的热物性对 接触热阻的影响；6·和(S'2是与材料表面状态有关的参数；3·是与材料的Vikers硬度 HV和接触压力P有关的参数，s*=PHV;s·通常是工程问题中所关心的参数，其大小 取决于零件的配合公差尺寸和制造工艺. 为了从理论上分析。·对接触热阻的影响，采取两种方式考虑、*的变化.首先考虑由 于接触压力的增加使得单元体接触表面积增大(b增加)的情况，这时单元体尺寸不变(a不 变)：然后考虑由于接触压力的增加使得单位面积上的接触点增加，因单元体接触表面积保 持不变，而导致单元体尺寸减小(a减小).由图4可以看出，对于同样的变化范围(s·<0.5)
. 4 6 6 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1 9 9 6 年 N o . 5 分别 给 出 了 实 际接 触 面 为 正方 形 (ks 一 1) 和矩 形 (气一5) 的 函 数 A 随参数 (s* ) ’ “ 的变 化 曲线 . 由这 两组 曲线可 知 , 函 数 A 不 仅 随实 际接 触 面的形 状 变化 , 而 且也 随单元体的形 状变化 . 但 当参数 (*s ) ’ 泛 的值 很 小 时 , 单 元 体 实 际接 触面 的 形状 对 函 数 A 的影 响 会起 主 导 作用 . 实 际 上 , 当 (*s ) ’ 2/ 趋近 于零 时 , 对于具 有 同样 形状 的实 际接触 面 的单元 体 , 函数 A 趋 近于 同一极 限 值 . 这 个极 限值 A , i m 的解析 表 达式 为 12, 3] : A .* m一 [k/ s i n h (ks ) + 心/ s i n h (气 , ) + ( l + 心一 ( l + 对) ’ ` ’ ) / 3 ] / [恤 ) ’ ` ’ (ks ) ’ ` ’ ] ( 2 ) 0 . 8 5 平面 : 。 凡= 5 和 圆 柱 : 一戒= 0 2 一 ks = 5 几一又2 0 0 0 . 1 0 0 . 2 0 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 s( * ) , , 2 实际接触面为正方形时 函数月 的变化 气 kJ s 二 1 . ù一K 0 . 8 0 已 丫 0 . 7 5 0 . 7 0 0 图2 3 其他参数 的影 响 图3 参数戒及ks 对 函数月 的影 响 如果 满足 以 下 3 个条 件 : l) 单 元 体的形 状为 正方 形 , 即 0 。 (R 。 十 l , ) = ;a 2) 单 元体 的厚 度 相 对于 单元 体的尺 寸足 够大 , 汽 , 1 2》 a , e 。 (R 。 + l , ;) 3) 两种 材料 的粗 糙 尺寸相 同 , d , 一 占2 , 则 可将 接 触热 阻 的表 达式 整理 为几 个 量纲 为一 的参数 的 函 数 : (翌兰 . 4A 产 ` ( ` 一 s ` ) / ( “ ) ’ ` ’ + 4A 产 ” , ’ / ( ” ) ’ ` 2 + “ ’ ( ` 一 s ’ ) / ( s ’ ) ’ ` 2 双 。 又 ` ( s ` ) “ ’ ( l 一 s ’ ) + 又 “ ( l 一 s ’ ) , / ( s ’ ) , ` 2 + 4 A产 ` 几 “ / ( 二 ) ’ ` ’ 。 ’ (3 ) 于是 上 述 式 中: 几。 一 以 ,又2 / 以 , 十 勺; 又 。 二 叭几2 / 俱 : + 均; 又 ’ 一 又 。 / 礼 ; 又 “ 二 又f /娜 d ’ 一 2 (d , + d Z ) / ( s * ) “ 2 : A 。里 0 . 8 5 一 1 . 1 ( , · ) , ` ’ 这样 , 单 位 面积 的接 触热 阻 R 。取 决于 以 下 5 个参数 : d ’ , S ’ , 几 ` , 又 “ , ()S ’ ` ’ / 又m 其 中 , 几 ` , 又 “ 和 几m 是 由材 料 的导 热 系数 所决 定 的参 数 , 反 映了 内外 层 材料 的 热物 性 对 接触 热 阻 的影 响 ; d ’ 和 (习 ’ ` “是 与材 料 表面 状态 有关 的参数 ; 、 ` 是 与材料 的 v ik er s 硬 度 H v 和 接 触压 力 尸 有 关 的参 数 , 、 ` = 尸/H V 4I] ; 、 , 通 常是 工 程 间题 中所 关 心 的参数 , 其 大小 取决 于零 件 的配 合公 差 尺 寸 和制 造工 艺 . 为 了从理 论 上 分 析 、 , 对 接 触 热 阻 的影 响 , 采 取 两种 方 式 考 虑 、 , 的变 化 . 首 先 考 虑 由 于 接 触压 力 的增加 使 得单 元体 接 触表 面积 增大 b( 增 加 ) 的情况 , 这 时单 元 体尺 寸不 变 a( 不 变 ) ; 然 后考 虑 由于 接 触压 力 的增 加 使 得 单位 面 积上 的 接 触点 增 加 , 因单 元 体接 触 表 面 积保 持 不 变 , 而 导 致 单元 体 尺 寸减 小 (a 减 小 ) . 由图 4 可 以 看 出 , 对于 同样 的变 化 范 围 ( , ’ < .0 5)
Vol.18 No.5 殷晓静等：同心圆柱套筒间接触热阻的研究（二）参数影响分析 ·467· 则两种情况接触热阻的变化趋势是不同的. 进一步的推导证明，在第一种情况 6 a求b 下R∝(s)-112,第二种情况下Rc(s)-L, 1 3×106a= 0.3×106300×106 3 3×106 b= 4结论 4 0.3×106 30×106 应用同心圆柱套间接触热阻的三维 代全= 4 0 稳态传热数学模型，分析了单元体尺寸和 0.000.100.200.300.400.50 几何形状对收缩热阻的影响.分析指出， 图4接触热阻与接触压力的关系 只要满足1/a>0.8,即可认为单元体是 足够厚的；与平面接触的情况相比，只要增加交界面的半径，或者改变表观接触面的形状( 趋近正方形)，圆柱曲面间接触的收缩热阻值可以用平面接触的收缩热阻值代替.文中还给 出了收缩函数A的极限值，从单元体接触表面积增大和单位面积上的接触点增加两个方面 讨论了接触压力对接触热阻的影响. 参考文献 】殷晓静，Degiovanni A.同心圆柱套简间接触热阻的研究（一）：数学模型.北京科技大学学报，1996,18(4)： 383~386 2 Yin X.Determination de Resistances Thermiques de Contact en Geometrie Cylindrique:These de Doctorat de I'INPL.Nancy.France,1993 3 Jaeger J C.Approximation on Transient Surface Heating.Aust J Sci Res A,1952(5):1~9 4 Loewen E G Shaw M C,On the Analysis of Cutting-tool Temperatures.Trans Amer Soc Mech Engrs,1951,76:217~231 Study of Contact Thermal Resistance between Two Coaxial Cylindrical Layers (ID):Parameter Analysis Yin Xiaojing Degiovanni A 1)University of Science and Technology Beijing,100083 PRC,2)LAMTA-INPL-France ABSTRACT The mathematical model of three-dimensional steady-state heat conduction in the contact surface between two coaxial cylindrical layers is used for analysing the effects of geometric,mechanical and thermal parameters on the contact thermal resistance. The limit value of the constriction function A is found and the influence of contact pres- sion is studied. KEY WORDS thermal contact resistance,heat transfer,mathematical models,coaxial cylindcrial
V 1 o . N 殷 晓静等 1 s o 8 同心 圆柱套筒 间接 触热 阻的研究 : 二 参 数影 响分析 ( ) · 6 7 4 . 一 · 沐 ·园 · N 乞一日 x 、叫 则 两 种 情 况接 触 热 阻 的变 化趋 势 是 不 同的 . 进 一 步 的 推 导 证 明 , 在 第 一 种 情 况 下 R 。 oc ( : * ) 一 ’ ` 2 , 第二 种情 况下 R c OC (s * ) 一 ’ . 4 结论 应用 同 心 圆 柱 套间 接 触热 阻 的 三 维 稳态 传 热 数 学模 型 , 分 析 了 单元 体 尺 寸 和 几 何 形 状 对 收 缩 热 阻 的 影 响 . 分 析 指 出 , 只 要 满 足 I/ a > .0 8 , 即 可 认 为单 元 体是 0 . 0 0 0 . 1 0 0 . 2 0 0 3 0 0 . 4 0 0 . 5 0 s * 图4 接 触热阻与接触压力的关系 足够 厚的 ; 与平 面接 触 的情 况 相 比 , 只要 增 加交 界面 的半 径 , 或者 改 变表观 接 触 面的形 状 ( 趋 近 正 方 形) , 圆 柱 曲 面 间接 触 的 收缩 热 阻值 可 以 用平 面接 触 的 收 缩热 阻 值代替 . 文 中还 给 出 了收缩 函数 A 的极 限值 , 从单 元体 接 触 表面 积增 大 和单 位 面积 上 的接触 点 增加 两 个方 面 讨论 了接触 压力 对接 触热 阻 的影 响 . 参 考 文 献 l 殷 晓静 , D ge i o v an in A . 同心 圆柱套筒间接触热阻的研究 ( 一:) 数 学模型 . 北京科技大学学报 , 1 9% , 1 8 (4) : 3 8 3 一 3 8 6 2 Y i n X . D e t e rm i n a t i o n d e ’ R e s i s at n e e s T h e rm i q u e s d e C o n at e t e n G e o m e itr e C y lin 面q u e : T h e s e d e D o e t o r a t d e l ’ I N P L . N a n e y , Fra n e e , 19 9 3 3 J a e g e r J C . A P P r o x im a t i o n o n T ra n s i e n t S u rfa e e H e at i n g · A u s t J S e i R e s A , 19 5 2 ( 5 ) : 1 一 9 4 L o e w e n E G S h a w E n g r s , 1 9 5 1 , 7 6 M C , O n ht e nA a ly s i s o f C u t i n g 一 t o o l T e m P e ar trU e s · T r a n s A m e r S o c M e c h 2 1 7 一 2 3 1 S tu d y o f C o n t a e t T h e rm a l R e s i s t a n c e b e tw e e n T w o C o a x i a l C y l i n d r i e a l L a y e r s ( 11) : P a r a m e t e r A n a ly s i S 万n ixa oj i n g , ) D 塔lo v a n n i 翅’ ) l ) U n i v e r s l yt o f S e l e n e e a n d T e e hn o l o g y B e ij i n g , 10 0 0 8 3 P R C , 2 ) L A M T A 一 I N P L 一 F r an e e A B S T R A C T T h e m a t h e m a t i e a l m o d e l o f t hr e e 一 d im e n s i o n a l s t e a d y 一 s t a t e h e a t c o n d u e t i o n in th e e o n t a e t s u r af e e b e tw e e n tw o c o a x 一a l e y li n d r i e a l l a y e r s 1 5 u s e d of r a n a l y s i n g t h e e fe c t s o f g e o m e tr i e , m e c h a n i e a l a n d th e mr a l P a r a m e t e r s o n ht e c o n at c t t h e mr a l r e s i s at n c e . T h e lim i t v a l u e o f ht e c o n s t r i e t i o n fu n e t i o n A 1 5 fo u n d a n d ht e i n fl u e n e e o f c o n t a e t Pr e s - s i o n 1 5 s ut d i e d . K E Y WO R D S t h e mr a l e o n t a e t r e s 一s t a n e e , h e at tr a n s fe r , m a th e m a t i e a l m o d e l s , e o a x i a l e y li n d e r i a l
