端点之间的直线距离大大缩短。卷曲越厉害,末端间直线距离越短。因此可以用高分子链 末端的距离一一末端距h来表征高分子链的形态。当然,因为分子内旋转经常在改变它们 的构象,因此必须用统计平均的方法即所谓的“均方末端距”h2,它是指高分子链两端 间的直线距离h平方的平均值。下面我们从无规行走问题来推导均方末端距h2。 一维空间的无规行走是数学上早已解决的问题。它假定有一盲人在一直线上无目的地 乱走,每走一步的距离为 b。因为是无规行走,因 Zb m b +zb 此向前走和向后走的几率 相同,均为1/2,问走了 图3一维空间的无规行走 N步以后,他走了多少距 离(图3)?显然这距离是不确定的,在多次实验后可得到一个分布。设他在走了N步以后 到达m点,m>0,所以向前走的步数比向后走的步数多,即有(Mm)/2步是向前的, (Mm)/2步是向后的,则到达m的几率W(m,M应为它们之间多种可能的组合数 2 2 N+m(N-m)(2 实际情况总是N≥1和m≤N,则可利用阶乘的 Stirling近似 hnn=nhnn-n+hn√2m In W(m, M= In NIIn N+m\-In(2 m +nIn n+m, n+m =NlN-N+h√2zN N N+m N-m. N hn,|2 NIn 化简,并为利用m≤N的条件,把变数写m,当N足够大时,A(M/均忽略不 计,则上式简化为2 端点之间的直线距离大大缩短。卷曲越厉害，末端间直线距离越短。因此可以用高分子链 末端的距离——末端距 h 来表征高分子链的形态。当然，因为分子内旋转经常在改变它们 的构象， 因此必须用统计平均的方法即所谓的“均方末端距” 2 h ，它是指高分子链两端 间的直线距离 h 平方的平均值。下面我们从无规行走问题来推导均方末端距 2 h 。 一维空间的无规行走是数学上早已解决的问题。它假定有一盲人在一直线上无目的地 乱走，每走一步的距离为 b。因为是无规行走，因 此向前走和向后走的几率 相同，均为 1/2，问走了 N 步以后，他走了多少距 离(图 3)？显然这距离是不确定的，在多次实验后可得到一个分布。设他在走了 N 步以后 到达 m 点，m ＞0， 所以向前走的步数比向后走的步数多， 即有(N+m)/2 步是向前的， (N+m)/2 步是向后的，则到达 m 的几率 W(m，N)应为它们之间多种可能的组合数 • Ｗ(m，N ) = 2 2 2 1 2 1 ! 2 ! 2 ! N m N m N m N m N + −                   −       + = N N m N m N             −       + 2 1 ! 2 ! 2 ! 实际情况总是 N≥1 和 m≤N， 则可利用阶乘的 Stirling 近似 ln n!= nln n − n + ln 2n 则 ln W(m，N) = 2 1 ! ln 2 ! ln 2 ln ! ln N N m N m N  +      −  −      + − = 2 ln 2 ln ln 2 N m N m N N N N + + − +  − 2 ln 2 2 ln 2 2 N m N m N − m N − m − + −  + +  2 1 ln 2 ln 2 2 N N m N m + − −  − +  化简，并为利用 m≤N 的条件，把变数写成 N m ，当 N 足够大时，凡 2       N m 项均忽略不 计，则上式简化为 图 3 一 维 空 间 的 无 规 行 走 -Zb mb +Zb 0 M