In w(m, N) N+mn1+ 2 N 再利用 (1±x) 并忽略|m|项,则 I m 2 所以在走了N步后,到达m点的几率W(m,N)为 w(m, N Arne 3n (N>>1m<<N) 这是一个高斯分布函数。 若m点离原点的距离x=mb,而△x=2b,则在走了N步后,行走距离在x+△x 之间的几率为 (,N)△Mm B 这里B 2Nb 可以把这结果推广到三维空间无规行走(图4)。假定每走一步b的方向与x轴的夹角 为,则b在x轴上的投影b2=bcos,它平方的平均值为 =b cOS 但 42c、1 cos 0=cos<rb2 sin20 所以 b b,3 ln W(m，N) = N N N m m N N m m  2 ln 1 ln 2 ln 1 2  +      + −  −      + + − 再利用 ln (1±x) =  − + 2 2 x x 并忽略 2       N m 项，则 ln W(m，N) = N N m  2 ln 2 1 2 − + 所以在走了 N 步后，到达 m 点的几率 W(m，N)为 W(m，N) = N m e N 2 2 2 −  ( N＞＞1 m＜＜ N ) 这是一个高斯分布函数。 若 m 点离原点的距离 x = mb， 而 △x= 2b，则在走了 N 步后，行走距离在 x+△x 之间的几率为 ( ) b x e N W x N m N m 2 2 , 2 2   =   −  ( ) e dx Nb W x N dx Nb x 2 2 2 2 2 1 , − =   = e dx x 2 2    −   这里 2 2 2 1 Nb   = 可以把这结果推广到三维空间无规行走（图 4）。假定每走一步 b 的方向与 x 轴的夹角 为θ，则 b 在 x 轴上的投影 bx = bcos ， 它平方的平均值为  2 2 2 b b cos x = 但 3 1 4 2 sin cos cos 0 2 2 2 2 2 = =         d b b 所以 3 2 2 b bx = 或 3 2 b bx =