经济数学基础 第一章函数 定义1.8—初等函数 由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函 数 这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数.我们在前面所见到的分段 函数就是非初等函数的例子 思考问题1:为什么要求u=φ(x)的值域包含在U中? 答案:如若不然,存在x0∈X,但p(x)gU,则此时f(o(xo)没有意义 三、例题讲解 例1已知函数y=x)的定义域为0,1,求函数y=e)的定义域 分析:要使函数=e的值域包含于函数y=(x)的定义域中,由这个约束条件 重新确定x的取值范围 解:设lF=e,它的值域要包含于y=(x)的定义域中,即0≤exs1,由此得-∞ (已知函数h他他是单调增加的,显然有pht<he'shl ,由此得一∞<x<0) 由此可知复合函数y=e)的定义域是(-∞,0] 例2将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算: (1)J=esnx+2)2 (2)J=2 h cos2x 分析:由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得 到的.具体解决的步骤是:先看函数表达式有无四则运算,如有,则对每一个运算 项进行分析,看其是否为复合函数,如是,则选择适当的中间变量将其化为基本初 等函数.依此步骤反复进行 解:(1)y=e",=snv,v=2,w=x+2经济数学基础 第一章 函数 ——17—— 定义 1.8——初等函数 由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函 数． 这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数．我们在前面所见到的分段 函数就是非初等函数的例子． 思考问题 1：为什么要求 u=φ(x)的值域包含在 U 中？ 答案:如若不然，存在 x0X，但 φ(x0)U，则此时 f(φ(x0))没有意义． 三、例题讲解 例 1 已知函数 y=f(x)的定义域为[0，1]，求函数 y=f(ex )的定义域． 分析：要使函数 u=ex 的值域包含于函数 y=f(x)的定义域中，由这个约束条件 重新确定 x 的取值范围． 解：设 u=ex，它的值域要包含于 y=f(x)的定义域中，即 0≤ex≤1，由此得－∞ ＜x≤0. （已知函数 ln 他他是单调增加的，显然有 lim ln ln e ln1 0   → + x t t ，由此得－∞＜x≤0） 由此可知复合函数 y=f(ex )的定义域是(－∞，0]． 例 2 将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算： （1） 2 sin( 2) e + = x y ；（2） y x x 2 = 2 ln cos 分析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得 到的．具体解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，如有，则对每一个运算 项进行分析，看其是否为复合函数，如是，则选择适当的中间变量将其化为基本初 等函数．依此步骤反复进行． 解：(1) u y = e ，u = sin v， 2 v = w ，w = x + 2