Fx)+z2F(x)=∑-1)pqf2(x)+x2(-1)pqf)(x) ∑(-1)pqf2)( =(-l" f2+(x)+p*q-f(x)=p"rf(x) 其中利用了f是2N次多项式,因此f2M2)(x)=0。 再令g(x)=F(x)snx-mF(x)cosm,则 8(x)=F(x)+r F(xlsin n= p" r f(x)sin x 且F(1)+F(O)=-[g(1)-g(0。利用 Lagrange中值定理得,存在5∈(0,1),使得 F(1)+F(0)=-g()=pm()snx5。 由∫的定义可知0<f(4)<1,于是0<(5mx<1,因此 0<F(1)+F(0)=pz(5)sn5 P 但已经知道F(O∈Z,F(1)∈Z,因此F(1)+F(0)∈Z,与上式矛盾。这就证明 了丌是无理数( 1) ( ) ( ) ( ), ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) (2 2) 1 1 2 (2 ) 0 (2 ) 1 1 1 1 1 1 1 (2 ) 0 (2 2) 2 0 2 q f x p q f x p f x p q f x p q f x F x F x p q f x p q f x N N N N N j N j j j N j j N j j N j j j N j j j N j j N j j N j j                                        其中利用了 f 是 2N 次多项式，因此 ( ) 0 (2 2)   f x N 。 再令 g(x)  F(x)sinx F(x)cosx ，则 g x F x F x x p f x x N ( ) [ ( )  ( )]sin   ( )sin  2 2      。 且 [ (1) (0)] 1 F(1)  F(0)  g  g  。利用 Lagrange 中值定理得，存在  (0,1) ，使得       ( ) ( )sin 1 F(1) F(0) g p f N     。 由 f 的定义可知 ! 1 0 ( ) N  f   ，于是 ! 1 0 ( )sin N  f    ，因此 1 ! 0  (1)  (0)  ( )sin   N p F F p f N N      。 但已经知道 F(0)Z， F(1)Z ，因此 F(1)  F(0)Z ，与上式矛盾。这就证明 了  是无理数