它运算,它的平方等于0,这是外不得了的,这它就过以造一它除法,有它 商( quotient).这样得到一它除法,现在叫做同调( homology).现在许多数学 的发展都是有它运算,加两次等于0,你就能造一它 quotien t,怎么样呢,什 么叫 quotient呢?就是你把成有的满足da=0的a,被成有d3来除,即 Halda=01/dB 1.17 要是a=d的话,因为=0,成以da=0.因此你取成有的成谓的闭形 式( close form),被过以写成d什么的东西来除,就得到在数学里头用一它唬 人的名字叫 homology.也就是取成有的k次的微分式,它们是封闭的(被d作 用为0),被成有的d的除,造一它商结构,这它商结构就叫做 homology.你过 以用到这它d,也过以用到这它边界用到边界的,历史上,是在拓扑里头,先 有用边界的,因为用的是0的 homology叫上同调( cohomology).这是由于历 史的关系,名字用掉了,成以叫 cohomology.这它外厉害,假使你有一它流 形,它是紧致的,它的 cohomology forn是有限维的,这它有限维的维数叫这 它空间的Bett数( Bett i Number).这是拓扑的内容,单学微积分,过以不必 去题,不从这它领域整它的有重要的发展,是近来数学的发展基本内容,当 然外要紧了.你有一它外大的空间,成有微分式组成的空间大得不得了,它 有结构,你过以加减,也过以求外微分,大得不得了,然后呢,它有些几何的 性质,取 quotient,这它 quotient是有限的,这它有限有它好处,得到数目有限, 是说有限维的维数是多少.得到一组数,这组数目就是这它空间的重要性 质,因为得知 Betti数是一它整数,有一群整数外要紧,比方说,球称球称有 这种 Bet ti数,环称也有 Betti数,它们是不一样,下称搞拓扑的人想法要证 明这种 Betti数是拓扑不变量,因此拓扑在数学的运用中就要紧了➬ä➤,➬④➨✵⑧➉0, ❨✹✐❳③ê④, ❨➬Ò✱✶✆✘➬ø✛, ❿➬ Û(quotient). ❨ø③t✘➬ø✛, ✙ó✇✮✸➤(homology). ✙ó➂õ❥➛ ④✕✵Ñ✹❿➬ä➤, ✜Ü✬⑧➉0, ✜Ò✕✆✘➬quotien t, ✍➃ø✑, ✤ ➃✇quotient✑? Ò✹✜➨➘❿④✇✖dα = 0④α, ú➘❿dβ✉ø, ý {α|dα = 0}/dβ. (1.17) ✞✹α = dβ④➏, ❖➃d 2 = 0, ➘✶dα = 0. ❖✩✜❘➘❿④➘➣④✔♦ ✯(close form), ú✱✶❯➘d✤➃④➚Ü✉ø, Ò③tó❥➛➦❃⑦✘➬➂ ⑤④Ö✠✇homology. ✎Ò✹❘➘❿④k✬④❻■✯, ➬➣✹❯✔④(úd✯ ⑦➃0), ú➘❿④dβ④ø, ✆✘➬Û❼è, ❨➬Û❼èÒ✇✮homology. ✜✱ ✶⑦t❨➬d, ✎✱✶⑦t❨➬✣➂. ⑦t✣➂④, ➺✩Þ, ✹ó❴➚➦❃, ☛ ❿⑦✣➂④, ❖➃⑦④✹∂④homology ✇Þ✸➤(cohomology). ❨✹❸➉➺ ✩④✞ø, Ö✠⑦➠ê, ➘✶✇cohomology. ❨➬✐➳✸, ✧✫✜❿✘➬✖ ♦, ➬✹➏➋④, ➬④cohomology form✹❿✦➅④, ❨➬❿✦➅④➅❥✇❨ ➬✽✲④Betti ❥(Bett i Number). ❨✹❴➚④✓➂, ❭➛❻è■, ✱✶❳✗ ❱☛, ❳✱❨➬☛➢r➬④❿➢✞④✕✵, ✹↔✉❥➛④✕✵äý✓➂, ❤ ❧✐✞➏ê. ✜❿✘➬✐▲④✽✲, ➘❿❻■✯✜➘④✽✲▲③❳③ê, ➬ ❿❼è, ✜✱✶✜❃, ✎✱✶❋✐❻■, ▲③❳③ê, ❧⑨✑, ➬❿❏✁❬④ ✉➓,❘quotient, ❨➬quotient✹❿✦④, ❨➬❿✦❿➬Pÿ, ③t❥ø❿✦, ✹⑨❿✦➅④➅❥✹õè. ③t✘✜❥, ❨✜❥øÒ✹❨➬✽✲④➢✞✉ ➓, ❖➃③⑧Betti ❥✹✘➬r❥, ❿✘❦r❥✐✞➏, ✞✵⑨, ❊➪,❊➪❿ ❨➠Bet ti ❥, ➣➪✎❿Betti ❥, ➬➣✹❳✘ø, ✆➪➫❴➚④⑤✳✛✞② Ò❨➠Betti ❥✹❴➚❳★Þ, ❖✩❴➚ó❥➛④ä⑦➙Ò✞➏ê. 9