个是等于区域的边界的运算,一个是等于外微分的积分,这两个有简单的 关系.假使我们把外微分的积分写成这个关系 (0△,a)=(△,da) (1 这个外微分成一个矢量空间( Vector Space),可以加减,这个区域也是另外 个矢量空间,也可以加减.假使这两个矢量空间经过积分,因此就有一个所 谓的“对”(pair),这个矢量空间的一点和那个矢量空间一点连在一起是得到 个正数,得到一个数,那么 St okes定理就是说这个 paring使得对△的作用 的算子∂与外微分d是伴随的( adjoint),是对偶的“对,这就是 Stokes定理的 意义.高维时,及任意维时都是对的龚升教授在他的小书里说,这个是微积 分的基本定理.从它就给出我们普通微积分的基本定理.因为假使k=1, 那么我们的区域是一个线段,从a到b的线段,这个线段就是△,它的边界呢, 是b点减a点a在这里是一个函数,上次讲的d是个积分,在一维的情形就 是用到直线上.因此在一维的情形△是个线段,它的边界是b-a,a是一个函 数∫,所以da是df,于是 (b-a,=(4,40)→f(b)-f(a)=/可f 这就是说函数在b点的值减去函数在a点的值等于可在这个线段上的积分, 这个就是所谓微积分的基本定理.也就是说右边是从a到b积分可,左边就 是f(b)-∫f(a),这就是我们的基本定理,所以 Stokes定理是微积分的基本定 理在高维的推广.因此在多元的微积分里头也是个进步,非常有用,因为外 微分包含很多材料.有一个公式很容易证明的,就是你把两个外微分的式 子a跟β相乘,而求这个的外微分, d(a∧B)=daAB+(-1) (1.16) 这个公式很容易证明,因为简单为只要假定α和β都单项就行了.这是由于对 于a和β都是线性的.假定它们都是单项的,就可以写成dx1,…,drk,…,dxn, 前头乘个函数一算就可以得到了.所以它们这个乘法之间和外微分有这 样一种简单的关系.这个关系不但如此,还可以更远的,因为假使有✘➬✹⑧➉❑➢④✣➂④ä➤, ✘➬✹⑧➉✐❻■④è■, ❨Ü➬❿❀❭④ ✞ø. ✧✫➲➣➨✐❻■④è■❯➘❨➬✞ø, (∂∆, α) = (∆, dα). (1.14) ❨➬✐❻■➘✘➬✪Þ✽✲(Vector Space), ✱✶✜❃, ❨➬❑➢✎✹☞✐✘ ➬✪Þ✽✲,✎✱✶✜❃. ✧✫❨Ü➬✪Þ✽✲➨✱è■, ❖✩Ò❿✘➬➘ ➣④“é”(pair), ❨➬✪Þ✽✲④✘➎❩￾➬✪Þ✽✲✘➎❐ó✘å✹③t ✘➬t❥, ③t✘➬❥, ￾➃St okes➼➤Ò✹⑨❨➬paring✫③é∆④✯⑦ ④➤✝∂ ➛✐❻■d ✹✃➧④(adjoint), ✹é❙④“é”, ❨Ò✹Stokes➼➤④ ❄❇. ➦➅✣, ù⑧❄➅✣Ñ✹é④.×☞s●ó➷④❇❱➦⑨, ❨➬✹❻è ■④äý➼➤. ✱➬Ò➱ñ➲➣✃✴❻è■④äý➼➤. ❖➃✧✫k = 1, ￾➃➲➣④❑➢✹✘➬✧ã, ✱a tb④✧ã, ❨➬✧ãÒ✹∆, ➬④✣➂✑, ✹b➎❃a➎. α ó❨➦✹✘➬❁❥, Þ✬❨④dα✹➬è■, ó✘➅④❁♦Ò ✹⑦t❺✧Þ. ❖✩ó✘➅④❁♦∆✹➬✧ã, ➬④✣➂✹b − a, α✹✘➬❁ ❥f,➘✶dα✹df, ➉✹ (b − a, f) = (∆, df) =⇒ f(b) − f(a) = Z b a df. (1.15) ❨Ò✹⑨❁❥ób➎④❾❃❱❁❥óa➎④❾⑧➉dfó❨➬✧ãÞ④è■, ❨➬Ò✹➘➣❻è■④äý➼➤. ✎Ò✹⑨➁✣✹✱atbè■df, ✫✣Ò ✹f(b) − f(a), ❨Ò✹➲➣④äý➼➤, ➘✶Stokes➼➤✹❻è■④äý➼ ➤ó➦➅④▼✒. ❖✩óõ➹④❻è■➦❃✎✹➬➓❩, ✿➒❿⑦, ❖➃✐ ❻■Ý✾✐õ❛î. ❿✘➬Ú✯✐➂✹②Ò④, Ò✹✜➨Ü➬✐❻■④✯ ✝α❐β★➷, ✌❋❨➬④✐❻■, d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)degαα ∧ dβ, (1.16) ❨➬Ú✯✐➂✹②Ò, ❖➃❀❭➃➄✞✧➼α❩βÑ❭✶Òqê. ❨✹❸➉é ➉α❩βÑ✹✧✉④. ✧➼➬➣Ñ✹❭✶④, Ò✱✶❯➘dx1, · · · , dxk, · · · , dxn, ✄❃➷➬❁❥✘➤Ò✱✶③tê. ➘✶➬➣❨➬➷✛❷✲❩✐❻■❿❨ ø✘➠❀❭④✞ø. ❨➬✞ø❳❜➌✩, ↕✱✶❮Ï④, ❖➃✧✫❿✘ 8