对x1的一个偏微分,那么再用一次呢,它的系数就是从x;到x微分a2,a1 是∫的对x1的微分,所以这是f对从x;到x的二一阶微分 d(aid.ri=odx, A d ri (1.12 这个函数对于i,j是对称的.事实上我们知道一个函数微分两次的话跟次 序没有关系,是对称的如果一个对称的函数是 dz A dy的系数,而 d. A dy是 反对称的,那么它就等于0了.d是一个外微分,是对外代数的多以式的 个运算,这个运算运用两次就等于0了,这是一个了不得的关系.因为几何 上讲,假使你有一个区域,你取这个区域的边界,再取这个边界的边界,就 没有边界了.假使你取的边界是整个球,那么球没有边界.所以几何上讲有 个运算求边界,求边界的话,用两次,就等于0.有一个区域的求一次边界 是一个很好的区域,即不再有边界了,这个几何的性质跟外微分的性质是对 偶的.求两次边界一定等于0,这是个几何的性质;求外微分两次等于0,是 个分析的性质.这两个东西不是两个互不相关的东西,是完全对偶的,是 回事.一个边界通常用符号表示,边界两次等于0,即02=0.它跟外微分 是对偶的.这是一个了不得的几何关系,了不得的数学上的关系,妙得不得 了,因为求边界是一个几何的问题,更是一个整体的问题,一定要拿整个区 域乘上边界,但是求外微分是个分析的问题,是个局部的问题.要外微分只 要知道这个微分式在一点附近的性质就有了.这一个局部的运算跟一个整 体的运算有这系对偶的关系是很难得的事情,是一个重要的几何现象,是重 要的数学现象.为什么对偶呢?其实这就是格林定理的推广,就是 Stokes定 理. Stokes定理讲,假使有一个区域,把它封闭上,△是这系一个k维的区 域,所以它的边界就是边界△k.那么假使有一个微分式叫做a,它的次数 是k-1(dega=k-1),于是我们就有这么一个关系:a在边界的积分等 于d在△的积分, 这是重要极了的定理,通常用 Stokes名义. Stokes是英国的应用数学家,你 们大概在这个课中已经听到 Stokes定理. Stokes定理就把两个普通的运算 7éxi④✘➬➔❻■, ￾➃ò⑦✘✬✑, ➬④ø❥Ò✹✱xi txj❻■ai , ai ✹f④éxi ④❻■, ➘✶❨✹fé✱xitxj④✓⑦❻■: d(aidxi) = ∂ai ∂xj dxj ∧ dxi , (1.12) ❨➬❁❥é➉i, j✹é➪④. ✴✧Þ➲➣⑧✇✘➬❁❥❻■Ü✬④➏❐✬ ➇➊❿✞ø, ✹é➪④. ➌✯✘➬é➪④❁❥✹dx ∧ dy④ø❥, ✌dx ∧ dy✹ ✬é➪④, ￾➃➬Ò⑧➉0 ê. d ✹✘➬✐❻■, ✹é✐❙❥④õ✶✯④✘ ➬ä➤, ❨➬ä➤ä⑦Ü✬Ò⑧➉0 ê, ❨✹✘➬ê❳③④✞ø. ❖➃✁❬ Þ❨, ✧✫✜❿✘➬❑➢, ✜❘❨➬❑➢④✣➂, ò❘❨➬✣➂④✣➂, Ò ➊❿✣➂ê. ✧✫✜❘④✣➂✹r➬❊, ￾➃❊➊❿✣➂. ➘✶✁❬Þ❨❿ ✘➬ä➤❋✣➂, ❋✣➂④➏, ⑦Ü✬, Ò⑧➉0. ❿✘➬❑➢④❋✘✬✣➂ ✹✘➬✐P④❑➢, ý❳ò❿✣➂ê, ❨➬✁❬④✉➓❐✐❻■④✉➓✹é ❙④. ❋Ü✬✣➂✘➼⑧➉0,❨✹➬✁❬④✉➓; ❋✐❻■Ü✬⑧➉0, ✹ ➬■Û④✉➓. ❨Ü➬➚Ü❳✹Ü➬➄❳★✞④➚Ü, ✹q❭é❙④, ✹✘ ➹✴. ✘➬✣➂✴➒⑦♥❘∂✱✰, ✣➂Ü✬⑧➉0, ý∂ 2 = 0. ➬❐✐❻■ ✹é❙④. ❨✹✘➬ê❳③④✁❬✞ø, ê❳③④❥➛Þ④✞ø, ➱③❳③ ê, ❖➃❋✣➂✹✘➬✁❬④➥☛, ❮✹✘➬r✍④➥☛, ✘➼✞ür➬❑ ➢➷Þ✣➂, ❜✹❋✐❻■✹➬■Û④➥☛, ✹➬Û❭④➥☛. ✞✐❻■➄ ✞⑧✇❨➬❻■✯ó✘➎➂↔④✉➓Ò❿ê. ❨✘➬Û❭④ä➤❐✘➬r ✍④ä➤❿❨øé❙④✞ø✹✐✡③④✴❁, ✹✘➬➢✞④✁❬✙✻, ✹➢ ✞④❥➛✙✻. ➃✤➃é❙✑ÚÙ✧❨Ò✹➶õ➼➤④▼✒, Ò✹Stokes➼ ➤. Stokes➼➤❨, ✧✫❿✘➬❑➢, ➨➬❯✔Þ, ∆k✹❨ø✘➬k➅④❑ ➢, ➘✶➬④✣➂Ò✹✣➂∂∆k . ￾➃✧✫❿✘➬❻■✯✇✮α, ➬④✬❥ ✹k − 1(degα = k − 1), ➉✹➲➣Ò❿❨➃✘➬✞ø: α ó✣➂④è■⑧ ➉dα ó∆k④è■, Z ∂∆k α = Z ∆k dα. (1.13) ❨✹➢✞ôê④➼➤, ✴➒⑦Stokes Ö❇. Stokes ✹❪✮④❛⑦❥➛✛, ✜ ➣▲➊ó❨➬✶➙✳➨✫tStokes ➼➤. Stokes ➼➤Ò➨Ü➬✃✴④ä➤, 7