习题2.4收敛准则 利用lm1+-=求下列数列的极限 (1) lim 1 (2)lim|1+ n→∞ n→① n+1 (3)lim 1 (4) lim 1 (5 lim 1+ 解(1)lm(1-1 (2)lim1+ lim 1+ n+1 (3)lim1+ lim‖1 H→0 (4) lim 1+I=lim 1 →① (5)当n≥2时,有 1+ 由im1+ n+2=e与lim1+ 即得 2.利用单调有界数列必定收敛的性质,证明下述数列收敛,并求出 极限: (1)x1=√2,xn1=√2+xn,n=12,3…;习 题 2.4 收敛准则 1． 利用lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 解（1）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −( −1) −1 1 1 1 1 1 1 n n n e 1 。 （2）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +1 −1 1 1 1 1 1 1 n n n e。 （3）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 2 1 1 n n e 。 （4）lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 →∞ = n lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n n 1 2 2 1 1 1。 （5）当n ≥ 2时，有 n n n n n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ≤ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 1 1 2 1 1 2 。 由lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 1 1 与lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 ，即得lim n→∞ e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出 极限： (1) x1= 2 , xn+1= 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； 24