=lim (-1)n 极限不存在,但lim=0 2n-1 7.设0<λ<1, lim a=a,证明 x2an2+…+2a0) 证记k=x-,则an+lan1+…+"ao= k"an+k"an1+…+a ,利用 Stolz 定理 n(an+Man-1+2an2+…+2a)=limk"an+1+…+ao li n→k"(k-1)1-2 8.设An=∑a,当n→∞时有极限。{Pn}为单调递增的正数数列,且 pn→+∞0(n→∞)。证明 P1a1+P2a2+…+Pna Pn 证设lmA1n=A,作代换a=A4-Ak-1,得到 P1a1+P2a2+…+pnan=Aa A(P2-P)+A(P3-P2)+…+An1(PnPn=), P P 对上式求极限,在求后一分式的极限时应用Solz定理, lim P yt P22+fInan P lim A.-lim A(p2-P1)+A2(P3-P2)+.+An-1(Pn-Pn-l n→)0 pn 4-lim A,(Pn -Pn-12=4-4=0 Pn- p2 1 ( 1) lim 1 − − = − →∞ n n n n 极限不存在，但lim n→∞ x y n n = 0。 7. 设 0＜λ ＜1，lim ，证明 n→∞ an = a lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 证 记k = λ −1 ，则 n n n n n n n n k k a k a a a a a 1 0 1 1 0 + + + + + + = − − − " λ " λ ，利用 Stolz 定理， lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " n n n n n n k k a k a a 1 0 1 lim + + + = − − →∞ " ( 1) lim 1 − = − →∞ k k k a n n n n − λ = 1 a 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 证 设 An A，作代换 n = →∞ lim ak = Ak − Ak−1，得到 = + + + n n n p p a p a " p a 1 1 2 2 n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) 1 2 − 1 + 2 3 − 2 + + −1 − −1 − " ， 对上式求极限，在求后一分式的极限时应用 Stolz 定理， lim n→∞ n n n p p1a1 + p2a2 +"+ p a n n n n n n n p A p p A p p A p p A ( ) ( ) ( ) lim lim 1 2 1 2 3 2 −1 −1 →∞ →∞ − + − + + − = − " = A − lim n→∞ 1 1 ( ) − − − − n n n n n p p A p p = A − A = 0。 23