(2)lim 12+32+52+…+(2n+1)2 3[1+3-2+…+(2n+1)2]-4 3n2 imn232n+12-4n2+4-) lim 24n-1 4 3n2-3(n-1 5.利用 Stolz定理,证明: (1)lim 10gan=0(a>1); (2)lim-=0(a>1,k是正整数) 证(1)1im1ogn =0。 (2)lim PkI(n) a"-(a-1) 其中P-1(n)为关于n的k-1次多项式;重复上述过程k次即得到 P lin Pk_(n)=lim lim- Po(n) 0。 6.(1)在Solz定理中,若im3-xm1=∞,能否得出im3=∞的结 yn-y 论? (2)在Stoz定理中,若m如x不存在,能否得出lm3不存 在的结论? 解(1)不能。考虑例子xn=(-)"n,yn=n,im--m n→Vn-yn =m(-1)2n-1)=∞,但Imx=lm(-1y极限不存在。 n→① (2)不能。考虑例子x,=1-2+3-4++(-1)n,yn=n2,1imx-x（2）lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " →∞ = n lim 2 2 2 2 3 3 3[1 3 (2 1) ] 4 n + +"+ n + − n →∞ = n lim 2 2 2 3 3 3 3( 1) 3(2 1) 4 4( 1) − − + − + − n n n n n →∞ = n lim 4 6 3 24 1 = − − n n 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1，k 是正整数)。 证 （1）lim n→∞ loga n n = lim n→∞ 0 1 log = n − n a 。 （2）lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − −1 ( 1) n n k k a a n n lim n→∞ ( 1) ( ) 1 1 − − − a a P n n k ， 其中Pk−1 (n)为关于n的k −1次多项式；重复上述过程k 次即得到 lim n→∞ n a k n =lim n→∞ = − − − ( 1) ( ) 1 1 a a P n n k lim n→∞ = − − − 2 2 2 ( 1) ( ) a a P n n k →∞ = n " lim 0 ( 1) ( ) 0 = − n−k k a a P n 。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞，能否得出lim n→∞ x y n n = ∞的结 论? (2) 在 Stolz 定理中，若lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出lim n→∞ x y n n 不存 在的结论? 解 （1）不能。考虑例子 x n , n n = −( )1 y n n = ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 →∞ = n lim = ∞ − − 1 ( 1) (2n 1) n ， 但 lim n→∞ x y n n n n = lim(−1) →∞ 极限不存在。 （2）不能。考虑例子 x n n = −1 2 + 3 − 4+"+( ) −1 n−1 , yn = n 2 ，lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 22