I Ina, +lna (2)ln(a1a2…an) +1nan,由 lim I.==,可知 lim In(a1a2…an) 从而 lim(a1a2…an)=0。 3.证明 (1)设{xn}是无穷大量,|yn|≥8>0,则{xnyn}是无穷大量; (2)设{x}是无穷大量,im,=b≠0,则{xnx}与二}都是无穷大 量 证(1)因为{xn}是无穷大量,所以vG>0,N,n>N,成立n|> 于是vn>N,成立xnyn>G,所以{xnyn}也是无穷大量 (2)由im,y2=b≠0,可知N,Wm>N,成立,==2。因为{x} 是无穷大量,所以vG>0,N",m>N",成立>m012 取N=ma,N,v>N,成立x>G与图>G,所以{x,y,}与 都是无穷大量。 4(1)利用 Stolz定理,证明: 12+32+52+…+(2n+1)24 (2)求极限加m+3+5++(2+2-4 解(1)m12+32+52+…+(2n+D=m(2n+D2L。（2） n a a an 1 1 2 ln( " ) n a a an ln 1 + ln 2 + + ln = " ，由 = −∞ →∞ n n lim ln a ，可知 = −∞ →∞ n n n a a a 1 1 2 lim ln( " ) ，从而 lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) n n = 0。 3. 证明： (1) 设{ x }是无穷大量，｜ y ｜≥ > δ 0，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量，lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大 量。 证 （1）因为{ xn }是无穷大量，所以∀G > 0，∃N ，∀n > N ，成立 δ G xn > 。 于是∀n > N ，成立 xn yn > G ，所以{ xn yn }也是无穷大量。 （2）由lim ≠0，可知 ' n→∞ yn = b ∃N ，∀n > N'，成立 y b b n 2 2 ≤ ≤ 。因为{ } 是无穷大量，所以 ， xn ∀G > 0 ∃N"，∀n > N"，成立 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > b G b G xn ,2 2 max 。 取 N = max{ } N',N" ，∀n > N ，成立 xn yn > G 与 G y x n n > ，所以{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 解（1）lim n→∞ = + + + + + 3 2 2 2 2 1 3 5 (2 1) n " n lim n→∞ 3 4 ( 1) (2 1) 3 3 2 = − − + n n n 。 21