习题2.3无穷大量 1.按定义证明下述数列为无穷大量 2n+1 ga 3)in-arc tan n); √n+1√n+2 证(1)vG>0,取N=[3o],当n>N时,成立m+>">G。 2n+13 (2)yG>0,取N=a?],当n>N时,成立lg11=10gn>G。 (3)vG>0,取N=G+],当n>N时,成立-acmn>G (4)VG>0,取N=[2G2],当n>N时,成立 2.(1)设iman=+(或-∞),按定义证明 a1+a2+…+a +∞(或-∞) (2)设an>0, lim a=0,利用(1)证明: lim(a1a2…an)=0 证(1)设 lim a=+0,则vG>0,3N1>0,Ⅶn>N1:an>3G。对固定的M, 彐N>2N1,Vn>N +吗+a<9,于是 a1+a2+…+an、alN+1+aN1+2+…+ 1+a2+…+a 3G G 同理可证当 lim a=-∞时,成立 lim -12++an=习 题 2.3 无穷大量 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log (a > 1)； (3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 证（1）∀G > 0，取 N = [3G]，当n > N 时，成立 G n n n > > + + 2 1 3 1 2 。 （2）∀G > 0，取 N = [aG ]，当n > N 时，成立 n G n a ⎟ = a > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ log 1 log 。 （3）∀G > 0，取 ] 2 [ π N = G + ，当n > N 时，成立 n − arctan n > G。 （4）∀G > 0，取 N = [2G2 ]，当n > N 时，成立 G n n n n n + + > > + + + 2 2 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设lim n→∞ an = +∞ (或− ∞ )，按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或− ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ (a a an n 1 2 1 " ) = 0。 证（1）设 = +∞，则 →∞ n n lim a ∀G > 0,∃N1 > 0,∀n > N1 : an > 3G 。对固定的 N1， 2 , : ∃N > N1 ∀n > N 2 1 1 2 G n a a aN < + +"+ ，于是 ≥ + + + n a1 a2 " an n aN +1 + aN +2 +"+ an 1 1 G G G n a a aN > − = + + + − 2 2 1 2 " 1 3 。 同理可证当lim 时，成立 n→∞ an = −∞ lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = −∞ 。 20