第6期 穆岩，等：基于小波HMM的UUV传感器数据孤立点检测 ·553. 式中：山（地）为山(t)的傅里叶转换，其Z变换为 ag≥0， (z)= 6121+62z2+6323+64z4+6z U=1 入121+入222+23+42+25+26 利用马尔可夫链表示预测跟踪过程中小波变换 式中：e=ema-i0,A1=-66,A2=15e2,入3= 重构后的数据异常情况.将小波转换后的小波系数 -20e3,入4=158°，入5=-6e5,入6=6， 所表示的数据分为2种情况，即正常数据和异常数 8,=[(fT)3/3-(afT)/4+(fT)5/5]·6, 据，其中s1表示正常数据，5。表示异常数据.根据这 一划分标准，模型的状态变量总数N=2 62=[10(fT)3-25(gT)4+26(gT)]·e2/15, 状态和观测值之间的随机过程用观测值概率矩 8,=[66(σfT)3-30(σfT)3]·s3/15, 阵B=(ba)wxv描述.ba表示状态q,为s:时第k时刻 8,=[10(gfT)3+25(gT)4+26(fT)]·e/15, 小波系数W,(kT,)与正常数据小波系数W的相 δ5=[10(fT)3+5(fT)4+2(fT)3]·e3/30. 似率，观测概率矩阵元素和相似率分别为 则小波系数的Z变换形式为 bu P[W,W,(kTf)s=s;], W(z)=TF[s(z)·(z)]. (1) P[W,W.(kTf)s k]N[W.(kT f)w.W]= 式中：s(z)为数据s(t)的Z变换，T表示周期f表示 频率通过对式(1)进行Z反变换，可以得到小波系 exp-(W.(KT/)-w.)w(W.(T/)-w). 数表示如下： 式中：W[·|·]为正态分布，Wm为正常小波系数方差 由于隐马尔可夫过程的实质是当前时刻的状态 W,(kT,f)=fT{δs[(k-1)T,f月+δ2s· 只与其前一时刻的状态相关，因此，小波系数和正常 [(k-2)T月+δs[(k-3)Tf月+δs[(k-4)Tf月+ 数据小波系数的相似率的度量也只与其前一时刻的 δ5s[(k-5)Tf]-入，W[(k-1)Tf1- 状态相关，而与更早时刻的状态无关采用递归最小 A2W.[(k-2)Tf刀-入3W[(k-3)Tf月- 二乘法估计参数W和W): 入Ww[(k-4)Tf月-入5W,[(k-5)T,f月- W(kT)=σW.[(k-1)T]+(1-σ)W(kT), 入6W,w[(k-6)T,f月}. (2) W(kT)=g+(1-σ)[W(kT,f)-W(k-1)T]T· 式中：小波系数为因果序列.因此，可以利用前6个 [W,(kTf)-W(k -1)T]. 时刻的系数递归求取当前时刻的系数，实时性即得 已知观测序列和HMM模型参数，求得最优状 以保证 态序列是Viterbi算法所要解决的问题.文中预测跟 2基于HMM的UUV异常数据检测 踪过程中传感器所采集的信息为观测变量，只要对 观测序列中的数据进行优化即可实现孤立点的检 隐马尔可夫模型(HMM),即隐马尔可夫模型随 测，因此，利用Viterbi算法对原始数据所属状态（即 机动态系统，是双重随机过程：1)描述模型内部状 原始数据的属性为正常数据s1或为异常数据$。)进 态变化的基本随机过程，即马尔可夫过程q,;2)描 行实时判断.正常数据的分布较异常数据的规律性 述状态和观测值之间关系的随机过程 更强，更容易寻找规律，所以，通过考察正常数据的 马尔可夫过程由初始状态概率分布π=（π1， 分布情况，以正常数据分布作为基准，判断出异常数 T2,…,T)和状态转移矩阵A=(a)x来进行描 据的分布，即可检测出原始数据中的孤立点，并予以 述.其中，N表示模型的状态变量总数.令q,表示状 别除，以便得到干净的数据来进行UUV预测跟踪过 态过程，S={s1,s2,…,s}为隐藏状态集合，则初始 程中行为的自主决策。 状态概率元素描述为 定义1令E:=P:(We,W(kT,f月9，=s1) T;=P(q1=s:). (3)》 式(3)表示初始时刻过程状态为s:的概率.状态转 Hs≥0,1≤i≤N,aa=ITaI/∑‖T,‖，aw= 移矩阵元素描述为 I7/∑IT,,其中·1为集合的基数，T, a=P(9=s9-1=s:),1≤i,j≤N.(4) 式(4)表示t-1时刻状态为s,t时刻状态为s,的概 {ts(t)=js(t-l)=i},有p=∑(a(-e)-∑尚 率因为是标准随机约束，所以满足： (a1s:),则称p为异常值分布判定函数式中： ψ ＾ （ｗ） 为 ψ（ｔ） 的傅里叶转换，其 Ｚ 变换为 ψ（ｚ） ＝ δ１ ｚ －１ ＋ δ２ ｚ －２ ＋ δ３ ｚ －３ ＋ δ４ ｚ －４ ＋ δ５ ｚ －５ λ１ ｚ －１ ＋ λ２ ｚ －２ ＋ λ３ ｚ －３ ＋ λ４ ｚ －４ ＋ λ５ ｚ －５ ＋ λ６ ｚ －６ ． 式中： ε ＝ ｅ －ｆＴ（σ－ｉｗ０ ） ， λ１ ＝ － ６ε ， λ２ ＝ １５ε ２ ， λ３ ＝ － ２０ε ３ ， λ４ ＝ １５ε ４ ， λ５ ＝ － ６ε ５ ， λ６ ＝ ε ６ ， δ１ ＝ （σｆＴ） ３ ／ ３ － （σｆＴ） ４ ／ ４ ＋ （σｆＴ） ５ [ ／ ５]·ε， δ２ ＝ １０ （σｆＴ） ３ － ２５ （σｆＴ） ４ ＋ ２６ （σｆＴ） ５ [ ]·ε ２ ／ １５， δ３ ＝ ６６ （σｆＴ） ５ － ３０ （σｆＴ） ３ [ ]·ε ３ ／ １５， δ４ ＝ １０ （σｆＴ） ３ ＋ ２５ （σｆＴ） ４ ＋ ２６ （σｆＴ） ５ [ ]·ε ４ ／ １５， δ５ ＝ １０ （σｆＴ） ３ ＋ ５ （σｆＴ） ４ ＋ ２ （σｆＴ） ５ [ ]·ε ５ ／ ３０． 则小波系数的 Ｚ 变换形式为 Ｗｓ（ｚ） ＝ Ｔ ｆ [ｓ（ｚ）·ψ（ｚ） ] ． （１） 式中：ｓ（ｚ）为数据 ｓ（ｔ）的 Ｚ 变换，Ｔ 表示周期，ｆ 表示 频率．通过对式（１）进行 Ｚ 反变换，可以得到小波系 数表示如下： Ｗｓ，ψ（ｋＴ，ｆ） ＝ ｆＴ ｛δ１ ｓ [（ｋ － １）Ｔ，ｆ] ＋ δ２ ｓ· [（ｋ － ２）Ｔ，ｆ] ＋ δ３ ｓ [（ｋ － ３）Ｔ，ｆ] ＋ δ４ ｓ [（ｋ － ４）Ｔ，ｆ] ＋ δ５ ｓ [（ｋ － ５）Ｔ，ｆ] － λ１Ｗｓ，ψ [（ｋ － １）Ｔ，ｆ] － λ２Ｗｓ，ψ [（ｋ － ２）Ｔ，ｆ] － λ３Ｗｓ，ψ [（ｋ － ３）Ｔ，ｆ] － λ４Ｗｓ，ψ [（ｋ － ４）Ｔ，ｆ] － λ５Ｗｓ，ψ [（ｋ － ５）Ｔ，ｆ] － λ６Ｗｓ，ψ [（ｋ － ６）Ｔ，ｆ] ｝． （２） 式中：小波系数为因果序列． 因此，可以利用前 ６ 个 时刻的系数递归求取当前时刻的系数，实时性即得 以保证． ２ 基于 ＨＭＭ 的 ＵＵＶ 异常数据检测 隐马尔可夫模型（ＨＭＭ），即隐马尔可夫模型随 机动态系统，是双重随机过程：１） 描述模型内部状 态变化的基本随机过程，即马尔可夫过程 ｑｔ ；２）描 述状态和观测值之间关系的随机过程． 马尔可夫过程由初始状态概率分布 π ＝ （π１ ， π２ ，…，πＮ） 和状态转移矩阵 Ａ ＝ （ａｉｊ） Ｎ×Ｎ 来进行描 述．其中，Ｎ 表示模型的状态变量总数．令 ｑｔ 表示状 态过程，Ｓ ＝ ｛ｓ１ ，ｓ２ ，…，ｓＮ ｝为隐藏状态集合，则初始 状态概率元素描述为 πｉ ＝ Ｐ（ｑ１ ＝ ｓｉ）． （３） 式（３）表示初始时刻过程状态为 ｓｉ 的概率．状态转 移矩阵元素描述为 ａｉｊ ＝ Ｐ（ｑｔ ＝ ｓｊ ｑｔ－１ ＝ ｓｉ），１ ≤ ｉ，ｊ ≤ Ｎ． （４） 式（４）表示 ｔ－１ 时刻状态为 ｓｉ，ｔ 时刻状态为 ｓｊ 的概 率．因为是标准随机约束，所以满足： ａｉｊ ≥ ０， ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ａｉｊ ＝ １． ì î í ï ï ïï 利用马尔可夫链表示预测跟踪过程中小波变换 重构后的数据异常情况．将小波转换后的小波系数 所表示的数据分为 ２ 种情况，即正常数据和异常数 据，其中 ｓ１ 表示正常数据， ｓ０ 表示异常数据．根据这 一划分标准，模型的状态变量总数 Ｎ ＝ ２． 状态和观测值之间的随机过程用观测值概率矩 阵 Ｂ＝ （ｂｋｉ） Ｎ×Ｎ描述．ｂｋｔ表示状态 ｑｔ 为 ｓｉ 时第 ｋ 时刻 小波系数 Ｗｓ（ ｋＴ，ｆ）与正常数据小波系数 Ｗｍ 的相 似率，观测概率矩阵元素和相似率分别为 ｂｋｔ ＝ Ｐ Ｗｍ ，Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） ｓ ＝ ｓｉ [ ] ， Ｐ [Ｗｍ，Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） ｓ ＝ ｋ] ＝ Ｎ Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） Ｗｍ，Ｗｖａｒ [ ] ＝ ｅｘｐ － １ ２ Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） － Ｗｍ ( ) ＴＷ －１ ｖａｒ Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） － Ｗｍ ( ) é ë ê ê ù û ú ú ． 式中：Ｎ[· ·] 为正态分布，Ｗｖａｒ为正常小波系数方差． 由于隐马尔可夫过程的实质是当前时刻的状态 只与其前一时刻的状态相关，因此，小波系数和正常 数据小波系数的相似率的度量也只与其前一时刻的 状态相关，而与更早时刻的状态无关．采用递归最小 二乘法估计参数 Ｗｍ 和 Ｗｖａｒ ［５］ ： Ｗｍ（ｋＴ） ＝ σＷｍ [（ｋ － １）Ｔ] ＋ （１ － σ）Ｗｓ（ｋＴ，ｆ）， Ｗｖａｒ（ｋＴ） ＝ σ ＋ （１ － σ） [Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） － Ｗｖａｒ（ｋ － １）Ｔ] Ｔ· [Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） － Ｗｖａｒ（ｋ － １）Ｔ] ． 已知观测序列和 ＨＭＭ 模型参数，求得最优状 态序列是 Ｖｉｔｅｒｂｉ 算法所要解决的问题．文中预测跟 踪过程中传感器所采集的信息为观测变量，只要对 观测序列中的数据进行优化即可实现孤立点的检 测，因此，利用 Ｖｉｔｅｒｂｉ 算法对原始数据所属状态（即 原始数据的属性为正常数据 ｓ１ 或为异常数据 ｓ０ ）进 行实时判断．正常数据的分布较异常数据的规律性 更强，更容易寻找规律，所以，通过考察正常数据的 分布情况，以正常数据分布作为基准，判断出异常数 据的分布，即可检测出原始数据中的孤立点，并予以 剔除，以便得到干净的数据来进行 ＵＵＶ 预测跟踪过 程中行为的自主决策． 定义 １ 令 εｉ ＝ ｐｉ Ｗａｖｅ ， Ｗｓ（ｋＴ，ｆ） ｑｔ ＝ ｓ１ ( ) ， ∀ε ≥０，１ ≤ ｉ ≤ Ｎ，ａｉ１ ＝ ‖Ｔｉ１‖／∑ Ｎ ｊ ＝ １ ‖Ｔｉｊ‖，ａｉ０ ＝ ‖Ｔｉ０‖／∑ Ｎ ｊ ＝ １ ‖Ｔｉｊ‖ ，其中‖·‖为集合的基数，Ｔｉｊ ＝ {ｔ：ｓ（ｔ）＝ｊ ｓ（ｔ－１）＝ｉ} ，有 φ＝ ∑ Ｎ ｉ＝１ ａｉ０ １－εｉ ( ( ) ) － ∑ Ｎ ｉ ＝ １ ａｉ１εｉ ( ) ，则称 φ 为异常值分布判定函数． 第 ６ 期 穆岩，等：基于小波 ＨＭＭ 的 ＵＵＶ 传感器数据孤立点检测 ·５５３·