推论,(G)=GG(FF)=G(F,F),如果G为实变函数 62,0(:p 物理意义:点源'处产生的势传播到F处:G(F,F),再对整体求和,加上边界 条件产生的势,总和为产处的势分布。 4!. Green函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1).(有)无界区域Gren函数--基本解G(r,r) a)无界区域:LG=-6(F-F).设解为G(F,F)(详解见下),则基本解G(F,F)为有 限形式,且中心对称(与|-F有关)以及关于F=户发散(奇异性与维度D有关) b)有界区域:G=G+G,LG0=-6(-F)和LG=0,G=-G=-G(ΣF).因 为基本解G有奇异性,所以直接影响分布。点源P通过边界Σ,ie,-G(ΣF)对产 处的分布有直接影响。 2), Helmholtz Equation(v2+k2)G=-6(-F)的解G(Fp在F=P附近的奇 异性(具体求解见下节):3D:G∝ F-产,发散;2DGln-1 ,对数发 散,1D:G连续,G-Gk=-1,导数发散 由此可见: Green函数的奇异性随空间维数的降低而减弱。 143Gren函数的求法 1.方程齐次化法:将非齐次项-6(F-F)变为边界条件。 1)Helmholtz Equation G"+kG=0.(x≠x) I(G"+kGLer =-8 G=Aex1:G(x,x)=G(x;x)→积分得A=i/(2k) -1=「(G"+kGdx=G"l-G"-(奇异性,G=Ae-滑)→A=i/(2k) b). 2D: G+G+kG=-S(x-x)S0-y')5 推论， * ( ) ; ( , ') ( ', ) G G G r r G r r    ，如果 G 为实变函数。 总之， 1 ( ') ( , ') ( ) ( , ') ( ')d ' ( , ') ( ') d . 4 u r G r r u r G r r r r G r r u r n n                     物理意义：点源 r ' 处产生的势传播到 r 处： G r r ( , '), 再对整体求和，加上边界 条件产生的势，总和为 r 处的势分布。 4. Green 函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1).（有）无界区域 Green 函数----基本解 0 G r r ( , '). a).无界区域：LG r r  ( ').     设解为 0 G r r ( , ') （详解见下），则基本解 0 G r r ( , ') 为有 限形式，且中心对称（与 | '| r r  有关）以及关于 r r  ' 发散（奇异性与维度 D 有关）。 b).有界区域：G G G  0 1 , 0 LG r r  ( ')     和 1 1 0 0 LG G G G r 0, | | ( , ')          . 因 为基本解 G0 有奇异性，所以直接影响分布。点源 r ' 通过边界  ，i.e.， 0   G r ( , ') 对 r 处的分布有直接影响。 2). Helmholtz Equation 2 2 ( ) ( ')      k G r r  的解 G r r ( , ') 在 r r  ' 附近的奇 异性（具体求解见下节）：3D: 1 1 , | ' | G r r r   发散; 2D: 1 ln | ' | G     ，对数发 散; 1D: G 连续， 0 0 | | 1 x x x x G G      ，导数发散。 由此可见：Green 函数的奇异性随空间维数的降低而减弱。 14.3 Green 函数的求法 1. 方程齐次化法：将非齐次项  ( ') r r 变为边界条件。 1) Helmholtz Equation: a). 1D: 2 G k G x x '' ( ')      2 2 ' '' 0, ( ') ( '' ) | ( '). x x G k G x x G k G x x               | '| ' 2 | '| ' ' ' [ ( , ') ( ', )] / (2 ) : 1 ( '' )d ' | ' | ( ) / (2 ). ik x x x ik x x x x x G Ae G x x G x x A i k G k G x G G G Ae A i k                            BC 代入 积分得 奇异性, 光滑 b). 2D: 2 ( ') ( ') G G k G x x y y xx yy        