第五讲相似矩阵及二次型 考试内容及要求 1,考试内容 (1)矩阵的特征值和特征向量的概念，性质，相似变换，相似矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角化的充 分必要条件及相似对角矩阵，实对称矩阵的特征值，特征向量及其相似对角矩阵向量的内积，线性无关向量 组的正交规范化方法，规范正交基，正交矩阵及其性质， 二次型的秩惯性定理，二次型的标准形和规范形，用正 2、考试要求 ()理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量 (②)理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵 的方法： (③)掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质； (④)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的 标准形、规范形的概念以及惯性定理： (⑤)掌握用 交变换化 次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形： (6)理解正定二次型，正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 矩阵的特征值与特征向量及相关概念 L.矩阵的特征值与特征向量的定义设A是n阶矩阵，若存在数入及非零的n维列向量a,使得4a=A ()成立则称入是矩阵A的特征值，称非零向量α是矩阵A的属于特征值入的特征向量 2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念 由()得(AE-A)a=0(或(A-AE)a=0),因此，齐次线性方程组(AE-A)r=0有非零解，故行列 式AE-A4=0,即 -a1 -a12… A-Al= -a21入-a22…-a2m =0 (*) -0a1 -0nm2··入-0m (*)是入的n次方程，称为A的特征方程，左端是λE-A是入的n次多项式，记为(A),即fA)=AE-AL, 称为矩阵A的特征多项式。A的特征值即为A的特征方程的阶特征方程在复数范围内恒有解，其个数等于 方程的次数（重根按重数计算）， 如：若3阶矩阵的特征的形式为f)=(公-1)2(a-3),则4的3个特征值为1(2重)，3（单根） 两个重要结论：设n阶矩阵A=(ay)的特征值为A1,2,…,入n,则回)1+2+…+入n=a1+a2+ 因此A=0台A有一个特征值为0，等价地说，4≠0台A的特征值均不为0， 二特征值与特征向量的性质 若非零向量α是矩阵A的属于特征值入的特征向量.由定义（的）得 11 ˘ Éq› 9g. £SN9ᶠ1,£SN (1) › Aä⁄Aï˛Vg,5ü,ÉqCÜ,Éq› Vg95ü,› åÉqÈzø ©7á^á9ÉqÈ› ,¢È°› Aä,Aï˛9ŸÉqÈ› .ï˛S»,Ç5Ã'ï˛ |5âzê{,5âƒ,› 9Ÿ5ü. (2) g.9Ÿ› L´, ‹”CÜÜ‹”› ,g.ù,.5½n,g.IO/⁄5â/,^ CÜ⁄ê{zg.èIO/,g.9Ÿ› ½5 2!£á¶ (1) n)› Aä⁄Aï˛Vg95ü,¨¶› Aä⁄Aï˛; (2) n)Éq› Vg!5ü9› åÉqÈzø©7á^á,›ºÚ› zèÉqÈ› ê{; (3) ›º¢È°› Aä⁄Aï˛5ü; (4) ›ºg.9Ÿ› L´, )g.ùVg, )‹”CÜÜ‹”› Vg, )g. IO/!5â/Vg±9.5½n; (5) ›º^CÜzg.èIO/ê{,¨^ê{zg.èIO/; (6) n)½g.,½› Vg,ø›ºŸO{. ò › AäÜAï˛9É'Vg 1. › AäÜAï˛½¬ A¥n› ,e3Íλ9ö"nëï˛α,¶Aα = λα (*)§·,K°λ ¥› AAä,°ö"ï˛α¥› A·uAäλ Aï˛. 2. › Aıë™ÜAêßVg d(∗)(λE − A)α = 0(½(A − λE)α = 0), œd,‡gÇ5êß|(λE − A)x = 0kö"), 1 ™|λE − A| = 0, = |λE − A| =            λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n . . . . . . . . . −an1 −an2 · · · λ − ann            = 0 (**) (∗∗)¥λ ngêß, °èAAêß, ܇¥|λE − A|¥λngıë™,Pè(λ),=f(λ) = |λE − A|, °è› AAıë™. AAä=èAAêß.Aêß3EÍâåSðk), ŸáÍu êßgÍ(­äU­ÍOé). X:e3› A/™èf(λ) = (λ − 1)2 (λ − 3),KA3áAäè1(2­), 3(¸ä). ¸á­á(ÿ: n› A = (aij )Aäèλ1, λ2, · · · , λn, K(i) λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A), λ1λ2 · · · λn = |A|. œd|A| = 0 ⇔ AkòáAäè0, d/`, |A| 6= 0 ⇔ AAä˛ÿè0.  AäÜAï˛5ü eö"ï˛α¥› A·uAäλAï˛.d½¬(*) 1