奥例2翡肉强食 问自然界中同一环境下两个种群之间的生存方式 模型食饵(甲)的密度x(0辅食者(乙的密度 题相互竞争相互依存弱肉强食 x/x=rr>0 甲独立亭的增长率 x/x=r-叫y,a>0己健甲的增长亭魂小 弱肉种群甲靠丰富的自然资源生存食饵(Prey) 视小量与y北万比 强食 y/y=-d,d>0 立存的死亡率d 种群乙靠捕食种群甲为生捕食者( Predator) j/y=-(d-bx),b>0甲宽乙韵死亡小 个种聊的款量如变? 小量与x下比 =(r-ay)x=rx-axy Volterra模型 x(0)=x,y(0)=y x(,y()无解析解 实2翡肉强食型的教解 2弱肉强食型的解析 a=0.1,b=0.02 MATLAB 6.5.1.Ink I-a x(O)=xo,y(0)=yo xo=25,yo=shier.m,shier.m j=-(d-bx)y dy -(d-bx)y 由↓始条确宠 可以相机能是射朗曲能Hx(),y(是屠期函数 证明(c在一定此圆內) 求x()y(0-周期的平均值:x,y j(0=-d-bx)y 4 x(0=(/y+d)/b 猜 测x(0,y(0是期函款;y(x)是封朗曲能 1 Iny(T)-In y(o), d x 数值积分计算一个周期的平均值:x≈25,y≈10 x(odu b (学静学实鉴 (大学数学实验) 实向2翡肉强食桃型的析解 值算法的收煞性和宠性 x(y()一周期的平均值: 收敛性步长h→0时数值解无限接近解析解x 欧拉和龙格库塔方法的共同点只用vn计算ym单步法 r=1d=05,a=01.b=002F=25下=10与计 r~食饵增长率 显式)单步法:{x=+加(x,h 释 结果解 a~捕食者对食饵的捕获能力 单步法有P阶精度局部截断误差O(p+1) x=(r-a ly=-(d-bx)y d-撸食者死亡率 ox,y,h)-(x,,≤少y-(L>0) d单步法收做 b~食饵对捕食者的喂养能力 d整体误差c=xn=Oh)0(b-0) r个a→y个d↑b↓→x个既相工制约 向前欧拉公式改进欧拉公式4阶龙格库塔公式 又相互伉存 燕你溪差en=O(en=O(2) en=O(h)5 实 例 2 弱肉强食 问 题 自然界中同一环境下两个种群之间的生存方式 相互竞争 相互依存 弱肉强食 弱肉 强食 种群甲靠丰富的自然资源生存 食饵(Prey) 种群乙靠捕食种群甲为生 捕食者(Predator) 两个种群的数量如何演变? 实 例 2 弱肉强食 模型 食饵(甲) 的密度x(t), 捕食者(乙)的密度y(t) x&/ x = r, r > 0 甲独立生存的增长率r x& / x = r − ay, a > 0 乙使甲的增长率减小, 减小量与 y 成正比 y& / y = −d, d > 0 乙独立生存的死亡率d y& / y = −(d − bx), b > 0 甲使乙的死亡率减小, 减小量与 x成正比 0 0 ( ) ( ) (0) , (0) x r ay x rx axy y d bx y dy bxy x xy y ⎧ =− =− ⎪ ⎨ =− − =− + ⎪ ⎩ = = & & Volterra模型 x(t), y(t)无解析解 实例2 弱肉强食 模型的数值解 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − + = − 0 0 x(0) x , y(0) y y dy bxy x rx axy & & 0 0 1, 0.5 0.1, 0.02 25, 2 r d a b x y = = = = = = 0 5 10 15 0 20 40 60 80 100 x(t) y(t) 0 20 40 60 80 100 0 5 10 15 20 25 30 x y 猜测 x(t), y(t)是周期函数; y(x)是封闭曲线 数值积分计算一个周期的平均值： x y ≈ ≈ 25, 10 MATLAB 6.5.1.lnk shier.m, shier1.m d bx y r ay x dy dx ( ) ( ) − − − = 实例2 弱肉强食 模型的解析解 ⎩ ⎨ ⎧ = − − = − y d bx y x r ay x ( ) ( ) & & x e y e c d xx r ay = − − 相轨线 ( )( ) dy y r ay dx x d bx − = − + c由初始条件确定 相轨线是封闭曲线 (c在一定范围内) 求x(t),y(t)一周期的平均值: x , y 可以 证明 y&(t) = −(d −bx)y x(t) = ( y& / y + d ) / b ∫ = T x t dt T x 0 ( ) 1 b d x = x(t), y(t)是周期函数 (周期记作T) ) ln ( ) ln (0) ( 1 b dT b y T y T + − = 实例2 弱肉强食 模型的解析解 r y a x(t),y(t)一周期的平均值: = b d x = r =1, d = 0.5, a = 0.1, b = 0.02 x = 25, y =10 r ~食饵增长率 a ~捕食者对食饵的捕获能力 d ~捕食者死亡率 b ~食饵对捕食者的喂养能力 结果解释 ⎩ ⎨ ⎧ = − − = − y d bx y x r ay x ( ) ( ) & & 与计算结果同 r ↑, a↓⇒y↑ d ↑, b↓⇒x ↑ 既相互制约 又相互依存 欧拉和龙格-库塔方法的共同点:只用yn计算yn+1 1 0 0 ( , ,) ( ) n n nn y y h xyh y yx ⎧ + = + ϕ ⎨ ⎩ = 单步法 步长h→0时数值解yn无限接近解析解y(xn 收敛性 ) 单步法有p阶精度(局部截断误差O(hp+1)) ϕ ϕ ( , , ) ( , , ) ( 0) xyh xyh Ly y L − ≤− > 向前欧拉公式 改进欧拉公式 4阶龙格-库塔公式 数值算法的收敛性和稳定性 (显式)单步法: 整体误差 en=O(h) en=O(h2) en=O(h4) 单步法收敛 整体误差 en=y(xn)-yn=O(hp)→0 (h→0)